“最值” 妙計(jì)：數(shù)學(xué)最值問題解題思路

在數(shù)學(xué)的浩瀚星空中，最值問題猶如一顆璀璨的明珠，散發(fā)著獨(dú)特的魅力。無論是在日常的課堂學(xué)習(xí)中，還是在高考考場(chǎng)上，頻繁出現(xiàn)的最值問題一直都是我們無法回避的挑戰(zhàn)。它不僅考查我們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，還十分鍛煉我們的邏輯思維和創(chuàng)新能力。

想象一下，當(dāng)我們規(guī)劃一次旅行的路線時(shí)，應(yīng)該如何選擇最短的路程？當(dāng)我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)容器時(shí)，應(yīng)該怎樣使其容積最大？這些實(shí)際問題的背后都隱藏著數(shù)學(xué)最值問題的身影。掌握最值問題的解題思路是我們學(xué)習(xí)的重中之重。

一、尋根究底一認(rèn)識(shí)最值問題的本質(zhì)

（一）定義與分類

最值問題即求函數(shù)或變量在一定條件下的最大值或最小值，根據(jù)問題的性質(zhì)及其涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，可分為函數(shù)最值問題、不等式最值問題和幾何最值問題三大類。

函數(shù)最值問題主要通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等，來確定函數(shù)的最值。

不等式最值問題主要利用各種不等式的性質(zhì)，如均值不等式、柯西不等式等，來求解變量的最值。

幾何最值問題主要借助幾何圖形的性質(zhì)，如兩點(diǎn)間距離公式、圓的性質(zhì)等，來確定幾何圖形中的最值。

（二）特點(diǎn)分析

以函數(shù) y=x²-2x+3 為例，這是一個(gè)二次函數(shù)。通過配方可得 y=（x-1）²+2 。從這個(gè)式子可以看出，當(dāng) x=1 時(shí)，函數(shù)取得最小值2。這個(gè)例子體現(xiàn)了函數(shù)最值問題的解題特點(diǎn)：函數(shù)的最值往往與函數(shù)的極值點(diǎn)、對(duì)稱軸等特殊點(diǎn)有關(guān)。

對(duì)于不等式最值問題，以均值不等式 （ a，bgt;0 ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)）為例。當(dāng)我們求兩個(gè)正數(shù) a 和 b 的和的最小值時(shí)，就可以考慮利用均值不等式。例如，已知 a+2b=6 ，求 a²+2b² 的最小值。我們可以將 a=6-2b 代入 a²+2b² 中，得到關(guān)于 b 的函數(shù)后，再利用均值不等式求解。這個(gè)例子展示了不等式最值問題的解題特點(diǎn)：通過巧妙運(yùn)用不等式的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為可求解的形式。

幾何最值問題則常常需要我們發(fā)揮空間想象力。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn) P（x，y） 到直線Ax+By+C=0的距離的最小值。我們可以利用點(diǎn)到直線的距離公式d=14++C| 來求解。這個(gè)例子體現(xiàn)了幾何最值問題的解題特點(diǎn)：借助幾何圖形的性質(zhì)和公式，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行求解。

二、利器在手一常用解題方法剖析

（一）函數(shù)法

1.一次函數(shù)與最值

一次函數(shù) y=kx+b（k≠0） 的最值取決于 k 的正負(fù)。當(dāng) kgt;0 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增， y 無最大值，只有最小值；當(dāng) klt;0 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減， y 無最小值，只有最大值。

例如，對(duì)于一次函數(shù) y=-2x+5 ，因?yàn)?k=-2lt;0 ，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng) x 取最大值時(shí)， y 取得最小值。

假設(shè) x 的取值范圍是[1，3]，那么當(dāng) x=3 時(shí)， x 取得最小值為 -2×3+5=-1 ○

2.二次函數(shù)與最值

二次函數(shù) y=ax²+bx+c（a≠0） 的最值與函數(shù)的開口方向和對(duì)稱軸有關(guān)。當(dāng) agt;0 時(shí)，函數(shù)開口向上，有最小值；當(dāng) alt;0 時(shí)，函數(shù)開口向下，有最大值。對(duì)稱軸公式為

例如，對(duì)于二次函數(shù) y=2x²-4x+3 ，因?yàn)?a=2gt;0 ，所以函數(shù)開口向上。對(duì)稱軸為 當(dāng) x=1 時(shí)，函數(shù)取得最小值為 2×1²-4×1+3=1 。

3.反比例函數(shù)與最值

反比例函數(shù) 在不同的區(qū)間有不同的最值。當(dāng) kgt;0 時(shí)，函數(shù)在一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)單調(diào)遞減，無最大值和最小值；當(dāng) klt;0 時(shí)，函數(shù)在二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)單調(diào)遞增，也無最大值和最小值。例如，對(duì)于反比例函數(shù)y=-2， 在區(qū)間 （-∞，0） 和 （0，+∞） 上都是單調(diào)遞增，但無最值。

（二）不等式法

1.均值不等式的應(yīng)用

均值不等式 （ a，bgt;0 ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)）是求最值的有力工具。

例如，求函數(shù) 的最小值。根據(jù)均值不等式， ，當(dāng)且僅當(dāng) 士，即 x=1 時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為2。

2.神奇的柯西不等式

柯西不等式為 ，當(dāng)且僅當(dāng) ad=bc 時(shí)取等號(hào)。其在求最值問題中也有廣泛應(yīng)用。例如，已知 x²+y²=1 ，求 2x+3y 的最大值。根據(jù)柯西不等式， 即 1×13≥（2x+3y） 2，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)。

（三）幾何法

1.兩點(diǎn)間距離公式與最值

兩點(diǎn)間距離公式 可以用來求幾何圖形中的最值問題。

例如，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（1，2） ，點(diǎn)B在直線 y=x 上運(yùn)動(dòng)，求AB的最小值。設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （x，x） ，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式， 。對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)可得， +。當(dāng)x=時(shí)，AB取得最小值

2.圓的性質(zhì)與最值

圓的性質(zhì)在求最值問題時(shí)也有重要作用。例如，已知點(diǎn) P（x，y） 在圓 （x-2）²+y²=4 上運(yùn)動(dòng)，求 2x+y 的最大值。設(shè) 2x+y=b ，則 y=-2x+b ，此時(shí)可將問題轉(zhuǎn)化為求直線 y=-2x+b 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)， b 的最大值。當(dāng)直線與圓相切時(shí)， b 取得最大值。利用點(diǎn)到直線的距離公式可知，圓心（2，0）到直線的距離等于半徑2，即 2×（-2）+0×（-1）+b丨=2，解得b=4±25，所以2x+y的最大值為 。