初中數(shù)學(xué)解題中的類比法應(yīng)用研究

【摘要】數(shù)學(xué)具有抽象性和邏輯嚴(yán)密性，學(xué)生在面對(duì)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系不顯著的數(shù)學(xué)概念時(shí)，常面臨應(yīng)用難題.本文圍繞結(jié)構(gòu)化類比、跨學(xué)科類比等方法展開探討，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決過程中形成深刻理解，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新解題策略.教師在設(shè)計(jì)課程和教學(xué)活動(dòng)時(shí)應(yīng)重視引入類比法，促進(jìn)學(xué)生鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容、形成堅(jiān)實(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；類比法；解題方法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)，初中階段應(yīng)發(fā)展學(xué)生核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特利用歸納和類比法幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)關(guān)系、規(guī)律，形成猜想、驗(yàn)證命題.結(jié)構(gòu)化類比與跨學(xué)科類比等高階思維技巧能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活力，使學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而提升解決復(fù)雜問題的效率.

1"結(jié)構(gòu)化類比

初中學(xué)生對(duì)解題公式和定理存在孤立認(rèn)知，較難洞察不同題目間的本質(zhì)聯(lián)系，從而在遇到復(fù)雜問題時(shí)顯得無力.實(shí)質(zhì)上，盡管數(shù)學(xué)題目表現(xiàn)形式多樣，其結(jié)構(gòu)和解題邏輯卻存在一致性，因此教師和學(xué)生應(yīng)更加關(guān)注于題型的內(nèi)在規(guī)律與結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)化類比法使學(xué)生能從已解決問題的基本構(gòu)成中提取關(guān)鍵元素，進(jìn)而運(yùn)用這些元素來構(gòu)建未知問題的解決策略，若能將解題思維建立在結(jié)構(gòu)類比基礎(chǔ)之上，學(xué)生便可將已熟悉的題型作為解決新題目的框架，攻克數(shù)學(xué)難題.

例1"如圖1所示，一圓柱形飲料罐的底面半徑為6，高度為8.罐頂中心點(diǎn)有一個(gè)小孔，不考慮罐壁厚度和小孔尺寸，直接插至罐底的吸管在罐內(nèi)部分a的長(zhǎng)度x范圍是（""）

（A）8≤x≤10. """（B）8≤x≤13.

（C）6≤x≤8. （D）6≤x≤10.

解析"如果吸管直接垂直插入至飲料罐的底部正中心，那么吸管在罐內(nèi)的長(zhǎng)度最短，恰好為8.然而，當(dāng)吸管以斜角插入罐內(nèi)，并且一端接觸到罐底的邊緣時(shí)，吸管的長(zhǎng)度將達(dá)到最大值.在這種情況下，罐的底面半徑與罐的高度構(gòu)成直角三角形的兩條直角邊，而吸管本身則是斜邊，因此可以利用勾股定理來計(jì)算吸管在罐內(nèi)的最大可能長(zhǎng)度.根據(jù)勾股定理，斜邊的長(zhǎng)度等于兩直角邊長(zhǎng)度的平方和的平方根.具體計(jì)算如下：罐的底面半徑為6，高度為8，代入勾股定理公式x=√62+82=10，計(jì)算得出斜邊（即吸管的最長(zhǎng)可能長(zhǎng)度）為10.綜上所述，吸管在罐內(nèi)的長(zhǎng)度至少為8，最多為10.因此，正確的選項(xiàng)為（A）.

2"跨學(xué)科類比

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》可知，當(dāng)前教育鼓勵(lì)在數(shù)學(xué)課程中融入跨學(xué)科主題活動(dòng)，旨在激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，并促進(jìn)其對(duì)不同學(xué)科的知識(shí)遷移.在此過程中，教師可指導(dǎo)學(xué)生使用類比法，鼓勵(lì)學(xué)生跳出傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)框架，將數(shù)學(xué)概念與非數(shù)學(xué)情境相聯(lián)系，并利用這些聯(lián)系來構(gòu)建新穎的解題策略.

例2"將一個(gè)物體從地面垂直向上拋出，已知其起始速度為25m/s，2秒后速度減至5m/s.若物體速度v（m/s）是時(shí)間t（s）的一次函數(shù)，請(qǐng)回答問題：

（1）描述物體速度v（m/s）與時(shí)間t（s）關(guān)系的一次函數(shù)表達(dá)式；

（2）計(jì)算物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)間（此時(shí)速度為0 m/s）.

解析"（1）設(shè)v=kt+b（k≠0），

代入（0，25）（2，5）可得25=0+b5=2k+b，

解得b=25k=－10，

所以，v=－10t+25.

（2）求解物體速度為0的時(shí)間點(diǎn)，即v=0，

代入v=－10t+25，

解得t=2.5.

所以，物體到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間為2.5s.

本題將數(shù)學(xué)元素與物理元素進(jìn)行類比，利用了物理中的平均速度測(cè)量原理，在平拋運(yùn)動(dòng)條件下建立速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，即v=kt+b（k≠0）.物體起始時(shí)的速度為25 m/s，意味著當(dāng)t =0時(shí)v=25，由此可以確定常數(shù)項(xiàng)b =25.在2秒后物體速度減至5 m/s，可建立方程5=2k+25，從而求解出k=-10.根據(jù)v=-10t+25，求解物體速度為0的時(shí)間點(diǎn)，即v=0，解得t=2.5.通過此跨學(xué)科類比過程，可以將兩個(gè)看似不同但實(shí)質(zhì)上具有相同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的問題聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科思維.

3"“數(shù)形”類比

數(shù)形結(jié)合允許學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念（“數(shù)”）轉(zhuǎn)化為直觀的圖形表示（“形”），或者反之，通過圖形來理解和解決數(shù)學(xué)問題，此種轉(zhuǎn)換使問題易于理解，同時(shí)能夠提高解題的效率.在利用“數(shù)形”類比解題時(shí)可以繪制圖形，將給定數(shù)學(xué)問題中的條件和變量直觀化，幫助學(xué)生更清楚地識(shí)別解題路徑.

例3"小明和小偉在一條150米的直線跑道上鍛煉跑步，兩人計(jì)劃從跑道的兩端同時(shí)向?qū)Ψ脚苋?，小明的速度?米/秒，而小偉的速度是6米/秒.請(qǐng)計(jì)算他們需要多少秒鐘后才能在跑道上相遇.

解析"作圖如圖2.

設(shè)兩人在x秒后相遇，根據(jù)題意可得方程

（4+6）x=150.

解方程可得10x=150，

x=15.

單靠文字描述去分析此類問題，學(xué)生容易將其與一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)用場(chǎng)景混淆，在這種情境下，文字信息的抽象性可能導(dǎo)致解題思路偏誤.利用“數(shù)形”類比將問題視覺化，繪制小明和小偉的跑動(dòng)路徑來直觀展示其運(yùn)動(dòng)關(guān)系，使得等量關(guān)系更加明確，學(xué)生可以更清楚地看到各個(gè)變量之間的關(guān)系，在具體與抽象之間建立直觀聯(lián)系，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成更為全面的思維模式.

4"結(jié)語

綜上所述，類比法是解題的工具，能夠培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性.其中，結(jié)構(gòu)化類比幫助學(xué)生從熟悉的題型中提取解題元素，為解決新問題構(gòu)建可靠框架，跨學(xué)科類比則擴(kuò)展了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的廣度，讓學(xué)生能夠深化對(duì)概念的理解.數(shù)形類比將抽象數(shù)學(xué)問題具象化，幫助學(xué)生直觀掌握題中的條件關(guān)系，提升學(xué)生解題效率.合理運(yùn)用類比法有助于培養(yǎng)學(xué)生深入、靈活的數(shù)學(xué)思維，為其日后更高層次的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

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