二次函數(shù)在拋物線形拱橋設(shè)計中的應(yīng)用探討

【摘要】本文探討二次函數(shù)在拋物線形拱橋設(shè)計中的應(yīng)用，通過分析多個實際問題，展示如何運用二次函數(shù)模型解決拱橋設(shè)計中的高度、跨度和寬度等參數(shù)計算問題，旨在幫助學(xué)生理解二次函數(shù)在工程中的實際價值.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；拋物線；初中數(shù)學(xué)

1"引言

在初中數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)是一個重要的知識點.通過北師大版的數(shù)學(xué)教材學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并初步掌握其應(yīng)用.而在實際生活中，拋物線形拱橋的設(shè)計就是二次函數(shù)應(yīng)用的典型實例.本文通過一些具體的拱橋設(shè)計問題，幫助學(xué)生體會二次函數(shù)在實際工程中的作用，進(jìn)而提高其數(shù)學(xué)建模和解題的能力.

2"二次函數(shù)在拋物線形拱橋設(shè)計中的應(yīng)用

2.1"拱橋頂點與跨度的應(yīng)用

在拱橋設(shè)計中，頂點與跨度是兩個關(guān)鍵的設(shè)計參數(shù).頂點決定了拱橋的最大高度，而跨度則反映了拱橋的寬度.在二次函數(shù)模型中，通過已知的頂點高度和跨度寬度，可以推導(dǎo)出拋物線方程，從而得到整個拱橋的幾何形狀.以下通過一個例題，展示如何利用二次函數(shù)計算水面到拱橋頂端的高度.

例1"一個拱橋的拱形呈拋物線形，如圖1，其函數(shù)關(guān)系式為y=－1/4x2.當(dāng)拱橋的水位線位于AB位置時，水面的寬度為12米.求水面到拱橋拱頂?shù)母叨萮（單位：米）.

（A）3m. """"（B）2√6m.

（C）4√3m. （D）9m.

解析"已知AB=12米，可得點B的橫坐標(biāo)為6.將x=6代入函數(shù)y=－1/4x2中，得到y(tǒng)=－9，即水面距拱橋頂端的高度為9米，因此選擇（D）項.

本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用及求解坐標(biāo)的方法，通過建立數(shù)學(xué)模型可解決實際問題.根據(jù)題意，可以確定點B的橫坐標(biāo)，再將其代入函數(shù)解析式，求出對應(yīng)的縱坐標(biāo)，從而得出高度h.

2.2"橋拱三點確定方程

在橋拱設(shè)計中，若已知三個關(guān)鍵點的坐標(biāo)，可以通過待定系數(shù)法求出拋物線方程.這種方法在已知多個位置點的情況下運用更精準(zhǔn).以下通過實例展示如何利用三點確定橋拱的方程.

例2"一個洞穴的截面呈拋物線形，如圖2所示.已知水面的寬度為1.6米，洞穴頂點O到水面的距離為2.4米.設(shè)圖2中直角坐標(biāo)系的原點O為洞頂，求洞穴的拋物線函數(shù)關(guān)系式.

解析"設(shè)拋物線的解析式為y=ax2（a≠0）.根據(jù)題意，水面的寬度AB=1.6米，洞頂點O到水面的距離為2.4米，因此點A和點B的坐標(biāo)分別為（－0.8，－2.4）和（0.8，－2.4）.

將點B（0.8，－2.4）代入拋物線方程y=ax2，得到方程－2.4=0.82·a，解得a=－15/4.

所以，拋物線的解析式為y=－15/4x2.

本題考查如何利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形和題目信息確定點的坐標(biāo).

例3"一個洞穴的截面呈拋物線形狀，如圖3所示.測量得水面寬度AB=1.6米，洞穴頂點O到水面的距離為2.4米.求在距水面1.5米處洞穴的寬度ED為多少. 并判斷該寬度是否超過1米.

解析"設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2（alt;0），將（0.8，－2.4）代入方程y=ax2，得到a=－15/4.

因此，拋物線的方程為y=－15/4x2.

根據(jù)條件，設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，－0.9），代入拋物線方程得到－0.9=－15/4x2，解得x=±√6/5，因此DE=2√6/5米.

計算結(jié)果表明DElt;1米，因此洞穴寬度ED為2√6/5米，不會超過1米.

2.3"二次函數(shù)在拱橋通行高度判斷中的應(yīng)用

例4"圖4所示是一個拋物線形拱橋的橫截面，水面寬度AB=40米，水面到拱橋的最大高度OC為16米.現(xiàn)有一艘寬度為20米，露出水面高度為11米的輪船.請通過計算確定該輪船是否能夠通過這座拱橋.

解析"以O(shè)為原點，AB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)拱橋的對稱軸為x=0，頂點C坐標(biāo)為（0，16）.設(shè)拋物線的解析式為y=kx2+16（k≠0）.

將點A（－20，0）代入解析式，得到方程400k+16=0，解得k=－1/25.因此，拋物線的解析式為y=－1/25x2+16.

接下來，取輪船最寬處對應(yīng)的x坐標(biāo)為10米，代入解析式得：y=－1/25×102+16=12，因為y=12gt;11，所以輪船可以通過這座拱橋.

3"結(jié)語

本文通過對幾個實際問題的分析，展示了二次函數(shù)在拋物線形拱橋設(shè)計中的廣泛應(yīng)用.在計算拱橋的高度、寬度等參數(shù)時，二次函數(shù)模型提供了便捷的數(shù)學(xué)算法.通過這些問題的解決，學(xué)生不僅能鞏固對二次函數(shù)的理解，也能看到數(shù)學(xué)在工程和設(shè)計中的實際應(yīng)用.希望通過本文的探討，學(xué)生能夠在未來的學(xué)習(xí)中更加靈活地運用二次函數(shù)模型解決實際問題.

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