“數(shù)”“形”并重，解決數(shù)軸動(dòng)態(tài)問(wèn)題

【摘要】數(shù)軸中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的考查，將數(shù)軸與行程問(wèn)題結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，試題難度較大，不少學(xué)生在做此類題目時(shí)容易出現(xiàn)漏寫(xiě)某種情況的現(xiàn)象，因此需加強(qiáng)學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)內(nèi)容的掌握.本文列舉兩道習(xí)題，分別是求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間問(wèn)題以及中點(diǎn)問(wèn)題，且均需要分情況討論.通過(guò)以上問(wèn)題的學(xué)習(xí)，期望能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)軸動(dòng)態(tài)問(wèn)題，找尋到解題的關(guān)鍵之處，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升.

【關(guān)鍵詞】數(shù)軸；動(dòng)點(diǎn)；初中數(shù)學(xué)；解題方法

1"求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間問(wèn)題

例1"如圖1，在數(shù)軸上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是－3，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是16，兩動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后停留1秒，再?gòu)狞c(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0lt;tlt;16）秒.

（1）當(dāng)t=1時(shí)，線段MN的長(zhǎng)為_(kāi)____（直接填空）；

當(dāng)t=3時(shí)，線段MN的長(zhǎng)為_(kāi)____（直接填空）；

（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，求t的值；

（3）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)為7時(shí)，直接寫(xiě)出t的值.

分析策略"本題考查數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問(wèn)題，設(shè)問(wèn)難度逐步提升，尤其第（3）問(wèn).由題目設(shè)問(wèn)內(nèi)容首先知道M，N兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與方向不同，要注意區(qū)分；且點(diǎn)N在沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)A后需停留1秒再繼續(xù)運(yùn)動(dòng).

第（1）問(wèn)較為簡(jiǎn)單，不做過(guò)多贅述.

第（2）問(wèn)，方法1：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，一定是N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程大于M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，且多的部分即為點(diǎn)N從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，再由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的距離，是6個(gè)單位，因此等量關(guān)系可以表示為SN－SM=6；方法2：當(dāng)點(diǎn)N從第3秒開(kāi)始以每秒3個(gè)單位的速度由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，N點(diǎn)表示的數(shù)是－3+3（t－2），M點(diǎn)表示的數(shù)是t，當(dāng)兩點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)－3+3（t－2）=t.

第（3）問(wèn)，需要考慮的情況有：當(dāng)點(diǎn)N向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A處停留時(shí)；當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)N沒(méi)有追上點(diǎn)M時(shí)；當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)N追上點(diǎn)M，但點(diǎn)N未到達(dá)點(diǎn)B時(shí)；當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí).該問(wèn)需分情況討論，學(xué)生極易忽視.

解題過(guò)程"（1）當(dāng)t=1時(shí)，點(diǎn)M向右運(yùn)動(dòng)到表示1的點(diǎn)，點(diǎn)N向左移動(dòng)到表示－3的點(diǎn)，

此時(shí)MN=1－（－3）=4；

當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)N因在點(diǎn)A處停留1秒，故點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到表示3的點(diǎn)，

此時(shí)MN=3－0=3.

（2）法1：等量關(guān)系為SN－SM=6，

因點(diǎn)N在點(diǎn)A處停留1秒，所以點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路程為3（t－1），

因此可列出等式，3（t－1）－t=6，所以t=9/2.

法2：當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N表示的數(shù)是點(diǎn)－3+3（t－2）=3t－9，M點(diǎn)表示的數(shù)是t，所以3t－9=t，解得t=9/2.

（3）①當(dāng)點(diǎn)N從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)N追上點(diǎn)M，但點(diǎn)N未到達(dá)點(diǎn)B，

此時(shí)列出等式，3t－9=t+7，解得t=8.

②當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B后，此時(shí)點(diǎn)N表示的數(shù)是16，M表示的數(shù)是t，

列出等式為，16=t+7，解得t=9.

因此當(dāng)線段MN的長(zhǎng)為7時(shí)，t的值為8或9.

（此處省略不符合題意的情況）

2"求中點(diǎn)問(wèn)題

例2"數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－1，4，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x.

（1）若點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù).

（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和為7？若存在，求出x的值.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A以每分鐘4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每分鐘12個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等？

分析策略"本題涉及數(shù)軸上與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的中點(diǎn)問(wèn)題，首先畫(huà)出數(shù)軸圖，輔助解題.解題的關(guān)鍵在于能夠熟練應(yīng)用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，及能夠根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，并求解.

第（1）問(wèn)，若點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，即當(dāng)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)與－1，4差的絕對(duì)值相等；

第（2）問(wèn)，與（1）相同，若點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和為7，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)與－1，4差的絕對(duì)值之和為7，同時(shí)在解這個(gè)絕對(duì)值方程時(shí)還需用到“分段法”輔助解決；

第（3）問(wèn)，情況1：當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B不重合時(shí)，由于點(diǎn)P的速度小于點(diǎn)A的速度，所以點(diǎn)P不能超過(guò)點(diǎn)A，而點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，所以點(diǎn)B不能超過(guò)點(diǎn)P.設(shè)t分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，此時(shí)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為－t，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為－1－4t，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為4－12t，因此BP，AP的距離便可表示出來(lái)，列出方程求解即可.情況2：當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)B重合時(shí)，也符合題目要求.按照上述步驟列式計(jì)算即可.

解題過(guò)程"畫(huà)出數(shù)軸圖，如圖2.

（1）由點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，

則x－（－1）=4－x，

解得x=1.5，

所以點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是1.5.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和為7，

列方程為，"x－（－1）"+"x－4"=7，

當(dāng)xlt;－1時(shí)，－x－1－x+4=7，解得x=－2；

當(dāng)－1lt;xlt;4時(shí)，x+1－x+4=7，無(wú)解；

當(dāng)xgt;4時(shí)，x+1+x－4=7，解得x=5，

所以存在點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和為7，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為－2或5.

（3）①當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B不重合，且點(diǎn)P在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間時(shí)，

設(shè)t分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，

根據(jù)題意有，4－12t+t=－t+4t+1，解得t=3/14.

②當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B重合時(shí)，

設(shè)t分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，

此時(shí)列方程為，－t+4t+1=－t－4+12t，解得t=5/8.

綜上，當(dāng)經(jīng)過(guò)3/14分鐘或5/8分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等.

3"結(jié)語(yǔ)

由此，數(shù)軸動(dòng)態(tài)問(wèn)題的解決，一般需要以下幾個(gè)步驟：首先，借助數(shù)軸圖確定動(dòng)點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)；其次確定動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)、終點(diǎn)及運(yùn)動(dòng)速度；接著，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，寫(xiě)出點(diǎn)的表達(dá)式；然后，用時(shí)間表示兩點(diǎn)間距離；最后，根據(jù)題目要求列出方程并求解.因此，要求學(xué)生在日常練習(xí)中，嚴(yán)格按照以上步驟解決問(wèn)題，多多積累，加深對(duì)數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的掌握，學(xué)會(huì)多角度思考問(wèn)題，促進(jìn)自身數(shù)學(xué)學(xué)科思維能力的提升與數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的養(yǎng)成.