基于數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)培養(yǎng)的高中學(xué)業(yè)水平考試試題分析與教學(xué)啟示

摘 要：數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，考試是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的方式之一。本文以2020—2023年廣西高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷為研究對象，深入分析“三新”改革背景下高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題設(shè)計的變化，明確“素養(yǎng)立意”背景下高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題設(shè)計思路。根據(jù)試題分析，在日常教學(xué)實踐中，高中數(shù)學(xué)教師可以通過數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平分層與情境教學(xué)融合、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平分層與單元教學(xué)融合，切實提高課堂教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的全面提升。

關(guān)鍵詞：高中學(xué)業(yè)水平考試；數(shù)學(xué)運算；核心素養(yǎng)；教學(xué)啟示

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：0450-9889（2025）08-0004-06

從2021年秋季學(xué)期起，廣西高中學(xué)段全部使用新教材，2024年新高考在廣西平穩(wěn)落地。在新教材、新課標(biāo)、新高考（“三新”）改革背景下，廣西普通高中學(xué)業(yè)水平考試也在2022年秋季學(xué)期更名為廣西普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試（以下簡稱學(xué)考）。學(xué)考的核心目標(biāo)在于引導(dǎo)高中生達(dá)到今后學(xué)習(xí)和發(fā)展所必備的智力水平、思考深度，并養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣和科學(xué)態(tài)度。學(xué)考數(shù)學(xué)試題的設(shè)計依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱高中數(shù)學(xué)課標(biāo)），圍繞學(xué)生應(yīng)具備的六大核心素養(yǎng)進(jìn)行安排，考查內(nèi)容主要來自高中數(shù)學(xué)教材必修1、2，確保試題內(nèi)容與學(xué)業(yè)質(zhì)量水平要求相匹配［1］。

為了順應(yīng)時代發(fā)展，高中數(shù)學(xué)課標(biāo)對“數(shù)學(xué)運算”這一素養(yǎng)的要求進(jìn)行了重新界定，從核心素養(yǎng)培養(yǎng)角度出發(fā)明確指出：數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是學(xué)生在清晰理解運算對象的基礎(chǔ)上，根據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的能力。數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是指包括理解運算對象、掌握運算法則、探索運算思路，選擇適當(dāng)?shù)倪\算方法、設(shè)計合理的運算程序，最終求得準(zhǔn)確運算結(jié)果的一種綜合能力。數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階，有利于學(xué)生養(yǎng)成多維思考的良好習(xí)慣，形成嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真、實事求是的研究作風(fēng)。

一、2020—2023年廣西高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題設(shè)計的變化

鑒于學(xué)考是基于課程標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一考試，且考查內(nèi)容具有綜合性特點，因此在命題設(shè)計時需堅持整體設(shè)計觀念，綜合考慮試題的分值、題型、題量及評分標(biāo)準(zhǔn)，以期實現(xiàn)全方位、多層次的學(xué)業(yè)水平考查目標(biāo)。2021年是學(xué)考的“分水嶺”：在此之前，廣西高中學(xué)業(yè)水平考試的成績劃分A、B、C、D、E五個等級；在此之后，隨著新課程改革的推進(jìn)，廣西高中學(xué)業(yè)水平考試更名為廣西高中學(xué)業(yè)水平合格性考試，成績不再劃分等級，只設(shè)置合格與不合格兩種結(jié)果。

為了科學(xué)分析近年來學(xué)考數(shù)學(xué)試題的變化，筆者以2020—2023年廣西學(xué)考數(shù)學(xué)試卷為研究對象，進(jìn)行了較為深入的分析（如下頁表1所示）。在保持試卷總分值（100分）和測試時長（90分鐘）不變的前提下，從表1可知，在“三新”改革背景下學(xué)考數(shù)學(xué)試題設(shè)計做到了與時俱進(jìn)。2020年、2021年及以前的學(xué)考數(shù)學(xué)試題的選擇題部分沒有多選題，只設(shè)計單選題30題，總分為60分。2021年學(xué)考數(shù)學(xué)試題中填空題數(shù)量比2020年多了1題，但填空題總分減少了2分；同時解答題數(shù)量少了1題，解答題的總分值卻增加了2分。2022年學(xué)考數(shù)學(xué)試題中，單選題比2021年減少了4題，調(diào)整為26題，新增了多選題2題、填空題4題和解答題3題，試卷題型結(jié)構(gòu)更合理。2023年學(xué)考數(shù)學(xué)試題中，解答題由2021年以前的4題調(diào)整為3題，試卷的試題總數(shù)也減少了3題，調(diào)整為35題。同時，多選題的多級得分模式有助于提高考生的得分率，有利于區(qū)分出高能力考生；減少單選題，合理增加多選題，有助于提高試卷整體測量信度。上述調(diào)整是基于多年的考試實踐分析，旨在不斷優(yōu)化試卷題型結(jié)構(gòu)。

廣西新高考采用“3+1+2”模式，其中：統(tǒng)一高考科目包括語文、數(shù)學(xué)和外語，每科滿分為150分；選擇性考試科目包括物理、歷史（任選一門）和化學(xué)、生物學(xué)、思想政治、地理（任選兩門），每科滿分為100分。在這一改革背景下，2024年廣西新高考數(shù)學(xué)試題的單選題由往年的12題減少至8題，新增了3道多選題；填空題由往年的4題減少至3題；解答題由往年的6題減少至5題；總題數(shù)由往年的22題減少至19題。這樣的試題變化體現(xiàn)了“雙減”背景下學(xué)考數(shù)學(xué)試題設(shè)計理念的與時俱進(jìn)，目的是引導(dǎo)學(xué)生重視概念、公式、定理等基本內(nèi)容的理解與掌握，以期杜絕偏題、怪題，從而進(jìn)一步落實“雙減”政策。

同時，學(xué)考數(shù)學(xué)試題設(shè)計積極踐行新課改理念，強化對六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考核，與《中國高考評價體系》要求及高考試題結(jié)構(gòu)變化相契合，有力踐行了能力導(dǎo)向、素養(yǎng)為本的試題設(shè)計理念，有力促進(jìn)了學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。如2022年學(xué)考數(shù)學(xué)試題的32題，在設(shè)計具體問題背景時隱性地考查了學(xué)生掌握解三角形問題相關(guān)概念、特性的情況。解答這道題，學(xué)生只有抽象出具體的三角形及給出的邊、角條件，綜合運用三角函數(shù)的概念和正弦定理才能求解。這是一道考查學(xué)生綜合處理數(shù)學(xué)問題能力的試題，涉及了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。與新高考不同的是，學(xué)考是非選拔性考試，它需全面考量廣西全區(qū)高中生的實際狀況，因而學(xué)考試題呈現(xiàn)出顯著的基礎(chǔ)性特征。學(xué)生若能扎實掌握教材中的基礎(chǔ)性知識，便能在學(xué)考中取得合格的成績。學(xué)考試題的區(qū)分度較低，不能很好地作為高等學(xué)校普通本科招生錄取依據(jù)，這是學(xué)考與高考的顯著區(qū)別所在。目前，我國普通高中學(xué)考制度尚處于實踐探索、逐步完善的階段，如廣西制定了《廣西普通高中學(xué)業(yè)水平考試實施辦法》，明確了合格性考試和選擇性考試的區(qū)別，以及闡明了如何將學(xué)考成績納入高考成績。這些改革措施旨在促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，避免學(xué)生偏科，并為高校招生提供全面的學(xué)生評價數(shù)據(jù)。然而，如何合理把握學(xué)考成績與學(xué)生高考、畢業(yè)掛鉤的度，以及如何科學(xué)地運用學(xué)考成績進(jìn)行教學(xué)反饋和質(zhì)量監(jiān)測，仍然是需要進(jìn)一步探索和解決的問題。相信通過政府、學(xué)校、教師等各方通力合作并不斷探索，普通高中學(xué)考改革會逐步解決這些問題，實現(xiàn)以學(xué)考促高考，以及普通高中學(xué)考改革的預(yù)期目標(biāo)。

二、素養(yǎng)立意下學(xué)考數(shù)學(xué)試題設(shè)計分析

筆者以新課程標(biāo)準(zhǔn)發(fā)布后4年的學(xué)考試卷，即2020—2021年廣西普通高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試與2022—2023年廣西普通高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格性考試的數(shù)學(xué)試卷作為研究對象，分析學(xué)考數(shù)學(xué)試卷怎樣考查數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)，如何設(shè)計相關(guān)試題。

（一）確定核心素養(yǎng)考查分值標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有整體性，六大核心素養(yǎng)相互交融、相互影響。為了對學(xué)考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行科學(xué)的數(shù)據(jù)分析，筆者依據(jù)教育評價改革要求和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，構(gòu)建并優(yōu)化核心素養(yǎng)評價指標(biāo)體系及其權(quán)重。在學(xué)考數(shù)學(xué)試題中，部分試題具有較強的綜合性，在一道題目中考查多個核心素養(yǎng)。統(tǒng)計時，筆者根據(jù)題目對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的數(shù)量，將題目總分細(xì)分成若干個分?jǐn)?shù)段，進(jìn)行相應(yīng)的統(tǒng)計分析（如表2所示）。

下面，筆者以3道試題為例對素養(yǎng)考查權(quán)重設(shè)計進(jìn)行闡述。

例1 （2023年學(xué)考第25題）對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖像經(jīng)過點（" ）。

A.（1，0）" B.（3，0）" C.（5，0）" D.（7，0）

這道試題主要考查學(xué)生從相關(guān)試題的具體情境中抽象出曲線方程與方程曲線的概念，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，同時學(xué)生需要正確運用對數(shù)運算法則才能正確完成此題。本題分值為2分，其中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)賦值1分、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)賦值1分。

例2 （2022年學(xué)考第31題）某中學(xué)計劃在勞動實習(xí)基地的空地上用籬笆圍出一塊面積為144m2的矩形菜地，則需要的籬笆長度至少是" " "m。

本題從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)符號矩形的長和寬，涉及面積與周長之間存在邏輯關(guān)系，題目分值為3分，解答這道題學(xué)生需要運用不等式的基本知識。厘清題中各數(shù)據(jù)的邏輯關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，因此該題的素養(yǎng)權(quán)重分值為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)1分、邏輯推理素養(yǎng)2分。

例3 （2023年學(xué)考第35題）已知向量[a]=（cosωx，sinωx），[b]=（1，1），記f（x）=[a]·[b]。

（1）若ω=2，[a]⊥[b]，求x的值的集合；

（2）已知ω＞0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-ω，ω）上單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f（x）的圖象的一個對稱中心為（[-π2]，0），求ω的值。

設(shè)計此題目的是綜合考查三角函數(shù)與向量數(shù)量積的基本知識和方法。第（1）題分值為4分，要想正確解題，學(xué)生需要理解并熟練運用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式、輔助角公式、三角方程等知識，因此，第（1）題的素養(yǎng)考查權(quán)重為數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)2分、邏輯推理素養(yǎng)2分。與第（1）題相比，解答第（2）題需要從題目給出的關(guān)系式中挖掘與ω相關(guān)的隱含條件，抽象出數(shù)量關(guān)系和問題本質(zhì)，抽象出的條件及關(guān)系是解題中常用的坐標(biāo)間數(shù)量關(guān)系。在解題過程中，學(xué)生還需要綜合運用知識設(shè)計合理的運算途徑和推理，各素養(yǎng)之間相輔相成，沒有明顯的主次之分。所以，第（2）題的素養(yǎng)考查權(quán)重為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2分、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)2分、邏輯推理素養(yǎng)2分。

（二）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)權(quán)重分析

通過對2020—2023年廣西學(xué)考數(shù)學(xué)試題所涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)權(quán)重進(jìn)行分析，筆者發(fā)現(xiàn)：在考試評價中，邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查權(quán)重最高，其次是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)則相對較少被考查。依據(jù)上述賦分的方法，筆者對2020—2023年的學(xué)考數(shù)學(xué)試卷中所有題目進(jìn)行素養(yǎng)分值標(biāo)定，得到了各年份試卷對應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)權(quán)重表，其權(quán)重值依據(jù)各素養(yǎng)分值在試卷總分值中所占比例精確計算得出。隨后筆者根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)繪制了4年學(xué)考試卷中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)權(quán)重分布折線圖（如圖1所示），由圖可以直觀分析結(jié)論。

由圖1可知，廣西學(xué)考試題中各項數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)占比大體穩(wěn)定，僅在2021年有稍大波動。近4年，廣西學(xué)考試題中各項核心素養(yǎng)的分布并非均勻，主要側(cè)重于考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)。其中，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查占比最大，平均權(quán)重達(dá)到了36.25%；邏輯推理素養(yǎng)次之，平均權(quán)重達(dá)27.25%，且兩者出現(xiàn)此消彼長的現(xiàn)象。其他素養(yǎng)考查平均權(quán)重排序由高到低依次為：直觀想象（13.50%）、數(shù)學(xué)抽象（13.00%）、數(shù)據(jù)分析（6.00%）、數(shù)學(xué)建模（4.00%）。數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)平均權(quán)重最高，原因在于試卷中涉及基礎(chǔ)知識的題目多是通過單一的公式和法則考查學(xué)生的運算能力。而命制綜合性試題時也都會涉及大量且復(fù)雜的運算，數(shù)學(xué)運算作為一種特殊的演繹推理，是處理數(shù)學(xué)問題，得到正確結(jié)果的基本途徑［2］。同時在考查邏輯思維時，也經(jīng)常與數(shù)學(xué)運算結(jié)合考查，通過具體的計算推導(dǎo)或證明得出問題的結(jié)論。因此，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查貫穿整份試卷。

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查權(quán)重相對較低，2022—2023年，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)考查權(quán)重呈現(xiàn)出較為平穩(wěn)的趨勢而略有波動，直觀想象素養(yǎng)則呈現(xiàn)出上升的趨勢。數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的總體平均權(quán)重小，這主要是因為考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的題目僅限于概率模型和統(tǒng)計知識領(lǐng)域，且這些題目的解題過程中還涉及其他多種素養(yǎng)，而其他素養(yǎng)的考查題目則很少涉及數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)關(guān)系密切，但其權(quán)重低于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)所占權(quán)重，這是由于數(shù)學(xué)建模包含抽象的過程且只出現(xiàn)在有實際背景的應(yīng)用問題中，而非數(shù)學(xué)建模問題中也包含數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。盡管數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的比重較低，但它卻能夠有效地測試考生對數(shù)學(xué)知識的遷移能力和創(chuàng)新能力。整體來看，4套試題對核心素養(yǎng)的考查呈現(xiàn)出清晰的層次，主次分明，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)是數(shù)學(xué)試題的主要考查內(nèi)容。

（三）數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平層次框架結(jié)構(gòu)

SOLO分類理論是通過等級描述分析學(xué)習(xí)者思維特征的質(zhì)性評價方法，可以顯化學(xué)生在解決問題過程中的認(rèn)知發(fā)展、能力運用與思維操作等水平。數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平層次評價框架以基礎(chǔ)性（水平一C1）、綜合性（水平二C2）、應(yīng)用性（水平三C3）和創(chuàng)新型（水平四C4）這4個水平的考查要求為依據(jù)，從不同水平考查要求的試題內(nèi)涵、SOLO層次劃分和水平特征幾個方面進(jìn)行構(gòu)建［3］。由于“四翼”考查與SOLO思維層次及水平特征在基本思想上一致，筆者從試題設(shè)計情境、學(xué)生認(rèn)知水平、解決問題所需的能力與思維操作等要素，將試題難度對應(yīng)解析劃分為U、M、R、E 4個SOLO層次水平，構(gòu)建了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平評價框架（如表3所示）。

（四）數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平層次分析

依據(jù)表1計分標(biāo)準(zhǔn)，以及參照表3數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平層次評價框架，筆者統(tǒng)計出近4年廣西學(xué)考試題對該素養(yǎng)水平的考查分值。為更直觀地分析2020—2023年學(xué)考數(shù)學(xué)試題對該素養(yǎng)水平的考查情況，筆者繪制了柱狀圖，如圖2所示。從圖2可知，從基礎(chǔ)的單點結(jié)構(gòu)水平層次到相對高階思維水平的抽象拓展（E1）結(jié)構(gòu)水平層次［4］，2020—2023年廣西學(xué)考數(shù)學(xué)試卷的SOLO結(jié)構(gòu)水平層次均有所涉及，其中沒有考查抽象拓展（E2）層次，對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平各層次的考查也相對穩(wěn)定，分值未出現(xiàn)較大波動。

試卷重點考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平，其分值占總分值的83.66%。單點結(jié)構(gòu)水平（U）試題比重高于多點結(jié)構(gòu)水平（M），有效檢驗了學(xué)生對孤立知識點的掌握，強化了對基礎(chǔ)知識的考查，擴(kuò)大了對主干知識的考查范圍。對關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平（R）和抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平（E1）的考查較少，分值較低，見出這兩個水平的考查相對薄弱；這兩種運算水平的考查主要落在解答試題的過程中，能體現(xiàn)學(xué)考試題設(shè)計的梯度，試題的設(shè)計理念與學(xué)考以檢測各地學(xué)生整體知識水平和學(xué)生高中畢業(yè)應(yīng)達(dá)到的水平為考查目的的要求一致。

從上述分析可以得出這樣的結(jié)論：作為連接高考的橋梁，學(xué)考要主動對接國家課程標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)運算水平二的試題，應(yīng)聚焦于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次，以檢驗學(xué)生運用特定情境素材解決數(shù)學(xué)難題的能力，從而鮮明地展現(xiàn)新課程的核心理念；數(shù)學(xué)運算水平三的抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)層次的試題，應(yīng)提高試卷難度與區(qū)分度，在學(xué)考試題中要有適當(dāng)?shù)捏w現(xiàn)。通過分析2020—2023年的學(xué)考試卷，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的三個水平層次分值比例平均為21∶2∶2。然而，學(xué)生在答題中，水平一的答題情況不是十分理想。學(xué)考主要考查基礎(chǔ)知識，由于師生對學(xué)考的重視程度不足，尤其是對每道題目所考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其在不同水平層次的劃分缺乏深入的研究，測試試題主要是憑借經(jīng)驗和集體打磨完成，所以出現(xiàn)了上述問題。

三、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平分層考查對現(xiàn)實教學(xué)的啟示

（一）數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平分層與情境教學(xué)融合，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

通過分析2020—2023年學(xué)考數(shù)學(xué)試卷對數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平的考查情況，教師在教學(xué)過程中可以積極采用情境教學(xué)法，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。在教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)既是學(xué)生熟悉的，又具有一定復(fù)雜性，符合不同層次考查水平的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生先明確研究對象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，然后再確定運算對象并選擇合適的方法求解，從而有效培養(yǎng)學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時不被繁難的運算和混淆公式困擾的能力。這對提高課堂效率，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)培養(yǎng)有很重要的作用。下面，筆者以北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊“橢圓”知識為例，探討教師在教學(xué)中設(shè)計不同情境的例題對提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的作用。

例1 已知兩個定點A（-2，0），B（2，0），動點P滿足直線PA和直線PB的斜率乘積為[-12]，求點P的軌跡方程。

此題是學(xué)生較為熟悉的情境，教師在教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生閱讀例題，從提問中確定本題的研究對象是“點P的軌跡方程”。隨后，教師需要預(yù)設(shè)一個方程，使學(xué)生明確運算對象為kPA·kPB=[-12]。在確定研究對象和運算對象后，教師可以組織學(xué)生運用斜率公式k=[y2-y1x2-x1]代入運算對象[yx+2]·[yx-2]=[-12]進(jìn)行解題，得到點P的軌跡方程為[x24]+[y22]=1（x≠±2）。這樣能夠有效強化學(xué)生在問題解決過程中的目標(biāo)意識和針對性。在進(jìn)行總結(jié)時，教師還應(yīng)使學(xué)生清晰認(rèn)識到本題數(shù)學(xué)運算層次屬于基礎(chǔ)性C1中的多元結(jié)構(gòu)水平。在解題過程中，大部分學(xué)生沒有在求出點P的軌跡方程后去掉x≠±2。也就是說，對于點P與點A、B不能重合的隱含條件學(xué)生基本上沒有發(fā)現(xiàn)。此時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)運算的角度來看這個問題，需要注意方程[yx+2]·[yx-2]=[-12]在進(jìn)行等價變形時分式的分母不為零，并由此得到正確答案。這樣能夠有效提高學(xué)生對運算性質(zhì)的理解，讓學(xué)生非常自然地找到解決解題粗心的辦法，感受運算法則在解決實際問題中的便捷性，有助于提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和提高運算的準(zhǔn)確率。

例2 已知動圓P過點A（1，0），且與圓C：（x+1）2+y2=16內(nèi)切，求點P的軌跡方程。

此題與例1的研究對象都是點P的軌跡方程，但例2的例題情境較復(fù)雜，學(xué)生由于難以快速識別運算對象，因此容易產(chǎn)生畏難情緒。針對這樣的學(xué)情，教師在教學(xué)過程中要帶領(lǐng)學(xué)生反復(fù)閱讀例題。從閱讀“動圓P過點A（1，0）”中，抽象出數(shù)學(xué)符號表示|PA|=r①；從閱讀“動圓P與圓C：（x+1）2+y2=16內(nèi)切”中，抽象出數(shù)學(xué)符號表示|PC|=4-r②。在此基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確第一個運算對象為①、②方程消參數(shù)r的運算，由①+②得方程|PA|+|PC|=4＞2。這一方程表示動點P的運動軌跡是以定點A、C為焦點，焦距為2、長軸長為4的橢圓。隨后，教師要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生明確第二個運算對象為b2=a2-c2，得到點P的軌跡方程為[x24]+[y23]=1。在總結(jié)時，教師要讓學(xué)生明白此題數(shù)學(xué)運算層次是綜合C2中的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，通過有機(jī)結(jié)合數(shù)學(xué)運算得到方程|PA|+|PC|=4＞2即橢圓定義的數(shù)學(xué)符號表示，從而突破本題的難點，也突出數(shù)學(xué)運算是特殊的邏輯推理，讓學(xué)生明白通過數(shù)學(xué)運算能驗證簡單的數(shù)學(xué)結(jié)論。在教學(xué)中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，引導(dǎo)學(xué)生從實際問題出發(fā)，自主探索、發(fā)現(xiàn)問題并總結(jié)方法，讓學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)運算是解決問題的一種重要方法，授學(xué)生以漁，切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

（二）數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平分層與單元教學(xué)融合，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

根據(jù)對2020年全國高考乙卷與2021—2023年新高考Ⅱ卷的比較研究，筆者發(fā)現(xiàn)新高考更加注重核心素養(yǎng)的考查。相較于舊教材注重考查知識，新教材在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查權(quán)重上有了顯著變化。所以，筆者通過單元教學(xué)關(guān)注知識的前后銜接，為學(xué)生歸納單元知識點、總結(jié)運算經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生自主探究解題思路、明確運算路徑，注重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，從而提升教學(xué)的有效性。下面，筆者以北師大版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第四章“三角恒等變換”為例，探索在單元教學(xué)中數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平分層對提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的作用。

在教材第一章，學(xué)生已學(xué)習(xí)了三角函數(shù)相關(guān)知識；在第二章，學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面向量相關(guān)知識。而在本章，學(xué)生將運用三角函數(shù)定義推導(dǎo)出三角恒等變換的第一類公式：同角三角函數(shù)的基本公式sin2x+cos2x=1和[sinxcosx]=tanx，然后運用向量的方法推導(dǎo)出三角恒等變換的第二類公式——兩角差的余弦公式，進(jìn)而得到兩個角的三角函數(shù)公式Cα±β，Sα±β，Tα±β，C2α，S2α，T2α，為今后研究數(shù)學(xué)問題提供重要運算工具。在教學(xué)中，學(xué)生對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)概念和運算符號的記憶與應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算技能的基礎(chǔ)，這符合數(shù)學(xué)基本概念素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。學(xué)生需要掌握整數(shù)加減乘除的運算方法，并能夠?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)、小數(shù)進(jìn)行運算。這對應(yīng)于新課程標(biāo)準(zhǔn)中單一結(jié)構(gòu)水平或多元結(jié)構(gòu)水平，滿足了水平一的基本要求。在教學(xué)中，學(xué)生對公式的逆應(yīng)用以及對多個公式的有機(jī)結(jié)合應(yīng)用，是培育學(xué)生數(shù)學(xué)運算綜合能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它們屬于C2關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，契合新課程標(biāo)準(zhǔn)水平二的要求，是提升學(xué)生思維能力和解決問題能力的途徑。教師通過對三角恒等變換公式的數(shù)學(xué)運算層次進(jìn)行劃分，使其在教學(xué)時能根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求與學(xué)生實際情況精準(zhǔn)地引導(dǎo)學(xué)生理順解題思路、明確運算路徑，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和數(shù)學(xué)運算能力。

例3 求函數(shù)f（x）=cos[x2-π6]-sin[x2-π6]的單調(diào)遞增區(qū)間。

首先，教師要引導(dǎo)學(xué)生回憶舊知——函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）單調(diào)區(qū)間的求法。然后，教師要讓學(xué)生自主探究該題函數(shù)解析式是否能通過三角恒等變換轉(zhuǎn)化為f（x）=Acos（ωx+φ）形式再求解。學(xué)生有了解題思路后就會自然思考選擇合適的三角恒等變形第二類公式進(jìn)行數(shù)學(xué)運算。在此解題過程中，有一部分學(xué)生先用兩角差的正余弦公式展開再合并同類項，然后逆用兩角差的公式（輔助角公式）完成等價變形。學(xué)生在合并同類項時得到式子[1-32sinx2]+[1+32cosx2]。因為正余弦函數(shù)前的系數(shù)太復(fù)雜，雖然學(xué)生知道用輔助角公式可以變形成果，但大部分學(xué)生都可能因計算不下去而放棄此題；也有一部分學(xué)生觀察到可以把[x2-π6]看成一個角。此題的第一步運算就是輔助角公式的應(yīng)用得式子[2cosx2+π12]順利得到正確的等價變形，學(xué)生再應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)得出不等式2kπ+π≤[x2+π12]≤2kπ+2π，k∈Z，從而計算出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。教學(xué)中，教師要通過梳理解題思路，明確運算路徑，引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的計算路徑，確保學(xué)生在整個解題過程中條理清晰、邏輯明確，不會在解題時出錯。這樣既有助于學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，也可以培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思考和解決問題的能力。

總而言之，通過對學(xué)考試題中數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平分層命題設(shè)計的研究，可以發(fā)揮學(xué)考在中學(xué)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測和評估中的重要作用，能科學(xué)、有效地提升教師教學(xué)水平，提升高中生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，對推動高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革有積極作用。

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注：本文系廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度專項課題“在高中學(xué)考中有效考查數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的命題設(shè)計與研究”（2022ZJY2334）的研究成果。

（責(zé)編 蒙秀溪）

作者簡介：周小英，1975年生，桂林靈川人，本科，正高級教師，主要研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)教育；成冬元，1972年生，湖南湘鄉(xiāng)人，碩士研究生，正高級教師，主要研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)教育。