多方法破解三角形背景下的最值問(wèn)題

【摘要】在平面幾何問(wèn)題中，三角形是一個(gè)重要的基礎(chǔ)圖形，許多問(wèn)題都以三角形為背景進(jìn)行設(shè)問(wèn).其中最值問(wèn)題是一類(lèi)典型的問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生邏輯思維能力和幾何想象能力要求高.部分學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題難以下手，無(wú)法打開(kāi)解題思路.本文符探究一道典型例題的多種解法，總結(jié)解題技巧.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；三角形；最值問(wèn)題

1" 引言

在初中數(shù)學(xué)平面幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中，往往用多種方法求解一道問(wèn)題，這對(duì)于把握題目本質(zhì)，理清解題方向極其重要.尤其是對(duì)于某一類(lèi)題型，嘗試從多個(gè)角度，利用不同知識(shí)解決問(wèn)題，有助于對(duì)其他知識(shí)的理解.

圖1

2" 例題呈現(xiàn)

如圖1所示，設(shè)銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中agt;bgt;c，設(shè)長(zhǎng)為a，b，c的三邊上的高分別為ha，hb，hc，且b+hblt;a+ha.求證：四個(gè)頂點(diǎn)均在△ABC三邊上的正方形的邊長(zhǎng)的最大值是casinBc+asinB.

3" 解法展示

解法1" 運(yùn)用相似關(guān)系解決問(wèn)題

相似三角形是與三角形有關(guān)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用三角形相似能夠得到角相等的條件和邊長(zhǎng)的比例關(guān)系.合理利用相似三角形可以實(shí)現(xiàn)幾何條件的位置轉(zhuǎn)化，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更加具體、簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

證明" 如圖2、圖3、圖4所示，四個(gè)頂點(diǎn)均在△ABC三邊上的正方形有三種情況.

圖2

設(shè)正方形MNOP的邊長(zhǎng)為x.

在圖2中因?yàn)樗倪呅蜯NOP是正方形，

所以MN∥BC，△AMN∽△ABC.

所以AGAD=MNBC，ha－xha=xa，

故x=ahaa+ha.

同理在圖3和圖4中分別可得x=bhbb+hb，x=chcc+hc.

圖3

由S△ABC=12aha=12bhb=12chc，

可得aha=bhb=chc.

因?yàn)閎+hblt;a+ha且agt;bgt;c，

所以c+hclt;b+hblt;a+ha.

所以chcc+hcgt;bhbb+hbgt;ahaa+ha，

故邊長(zhǎng)的最大值是chcc+hc=casinBc+asinB.

圖4

評(píng)析" 依據(jù)題目中涉及的高線(xiàn)以及內(nèi)接正方形，可以構(gòu)造出相似的直角三角形.內(nèi)接正方形的邊所在的位置需要討論，然后利用相似比例關(guān)系、幾何不等式的性質(zhì)即可證明.

解法2" 運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題

銳角三角函數(shù)是解答三角形中有關(guān)角的問(wèn)題的重要工具，利用三角函數(shù)的定義可以得到不同邊長(zhǎng)之間的比例關(guān)系.

證明" 如圖5所示，四邊形E′F′OP為正方形，設(shè)E′F′=x，

則BP+PO+OC=a，BP=xtanB，OC=xtanC.

圖5

所以xtanB+x+xtanC=a，x（1tanB+1+1tanC）=a①.

因?yàn)閠anB=haBM，tanC=haMC，

且BM+MC=a，

所以1tanB+1tanC=BM+MCha=aha.

由①式可得x（aha+1）=a，

所以x=aa+haha=ahaa+ha.

同理可得x′=bhbb+hb，x″=chcc+hc，后續(xù)處理方法與上述一致.

評(píng)析" 通過(guò)對(duì)圖形的觀察可以發(fā)現(xiàn)，利用分線(xiàn)段和的常用結(jié)論，建立恒等關(guān)系，再結(jié)合銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，即可證明.

4" 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)本題的解答，可以發(fā)現(xiàn)涉及三角形邊和高之間的不等關(guān)系，需要從邊與高的相關(guān)要素上進(jìn)行聯(lián)想，三角形的面積計(jì)算或是銳角三角形中相關(guān)問(wèn)題均涉及邊與高的問(wèn)題，都要從這兩個(gè)方面尋找突破口.對(duì)于最值問(wèn)題，則是要發(fā)現(xiàn)圖形中的不等關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)和一些幾何定理如兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短等從而順利解決.

參考文獻(xiàn)：

［1］衡忠強(qiáng).初中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思維的妙用——以函數(shù)的最值問(wèn)題為例［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（18）：20-21.

［2］過(guò)鋒.初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的解法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（16）：99-100.

［3］吳杰.探究構(gòu)造相似三角形求線(xiàn)段和的最值［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（10）：99-101.