小學(xué)數(shù)學(xué)“運(yùn)算教學(xué)”存在問題以及改進(jìn)策略

[摘" 要] 在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中，教師要正“法則之理”、釋“法則之義”、思“法則之微”、用“法則之道”，讓學(xué)生深刻地理解法則、巧妙地表達(dá)法則、靈動地反思法則、智慧地運(yùn)用法則。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生選擇運(yùn)算法則、運(yùn)算律的策略。學(xué)生只有善于選擇運(yùn)算法則，才能有效提升“數(shù)的運(yùn)算”能力，發(fā)展“數(shù)的運(yùn)算”素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)算教學(xué);改進(jìn)策略;小學(xué)數(shù)學(xué)

當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)“運(yùn)算教學(xué)”存在的突出問題是部分教師只注重培養(yǎng)學(xué)生程序性的計(jì)算技能，而忽視“算理”以及運(yùn)算策略的教學(xué)。什么是“運(yùn)算能力”？運(yùn)算能力不僅是“會運(yùn)算”，更是“巧運(yùn)算”“會解釋”“會運(yùn)用”（吳仲和語）。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）將“運(yùn)算能力”界定為：根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。新課標(biāo)一方面要求學(xué)生能根據(jù)法則進(jìn)行運(yùn)算，另一方面要求學(xué)生能根據(jù)運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算。對于運(yùn)算法則、運(yùn)算律，教師不應(yīng)機(jī)械地理解為識記教材中的運(yùn)算法則、運(yùn)算律，而更應(yīng)理解為“根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇運(yùn)算法則、運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算”。因此，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生選擇運(yùn)算法則、運(yùn)算律的策略。

一、正“法則之理”，讓學(xué)生深刻理解法則

法則是運(yùn)算的方法，具有可操作性。由于法則的這一特質(zhì)，部分教師在運(yùn)算教學(xué)中過度注重法則的陳述性內(nèi)容、程序性過程，忽略了法則應(yīng)用的巧妙性、策略性。這樣的教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生在計(jì)算過程中對不能簡算的算式“亂簡算”，對于能簡算的算式“不簡算”。為此，在運(yùn)算教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)算法法則，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識、理解、把握算法產(chǎn)生的根源、必然性、合理性，洞察算法背后的算理等。

以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)為例，教材呈現(xiàn)了一個場景：幼兒園購進(jìn)12箱南瓜，每箱24個，一共多少個？此題的計(jì)算通常有兩種策略：一是先算2箱有多少個南瓜，再算6個2箱有多少個南瓜，也就是算12箱有多少個南瓜;二是先算10箱有多少個南瓜，再算2箱有多少個南瓜，最后算12箱有多少個南瓜。部分教師雖然利用情境圖進(jìn)行了情境解釋，但是在切入“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的豎式計(jì)算時太快，沒有引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的探索過程。因此，教師在教學(xué)“策略一”時應(yīng)總結(jié)提煉“拆積”的策略，并發(fā)散學(xué)生的思維：還可以怎樣拆積？如此，學(xué)生就會將“12×24”拆成“24×3×4”“12×4×6”“12×3×8”等;教學(xué)“策略二”時，教師應(yīng)總結(jié)提煉“拆和”的策略，并發(fā)散學(xué)生的思維：還可以怎樣拆和？如此，學(xué)生就會將“12×24”拆成“24×3+24×9”“24×4+24×8”等。然后，教師要引導(dǎo)學(xué)生比較“拆積”與“拆和”，讓學(xué)生認(rèn)識到同樣是“拆”，要最簡便才好。此外，教師還可以通過引入“點(diǎn)子圖”助推學(xué)生對“拆積”“拆和”的認(rèn)識、理解。

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算“23×17”，讓學(xué)生認(rèn)識、體驗(yàn)“拆積”策略的局限性、“拆和”策略的普適性。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識“拆和”方法的普適性特質(zhì)之后，教師再將“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”寫成“豎式計(jì)算”形式，使他們理解“兩位數(shù)乘兩位數(shù)法則”背后的算理。其中，學(xué)生對于“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”豎式計(jì)算中的每一步，都能有清晰的認(rèn)知：這一步計(jì)算的是幾箱南瓜？一共計(jì)算了多少個？這樣的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”法則的計(jì)算教學(xué)，讓學(xué)生的計(jì)算步步有據(jù)，并讓學(xué)生靈活、智慧地根據(jù)法則進(jìn)行計(jì)算。

正“法則之理”是讓計(jì)算法則背后的算理“立”起來，讓“算理”得到真正的凸顯。在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)算的過程中，教師不僅要讓學(xué)生的運(yùn)算“有法可依”，更要讓學(xué)生的運(yùn)算“有根可尋”。教師要從法則背后的算理入手，讓學(xué)生理解運(yùn)算法則“如此這般”的必然性，使運(yùn)算法則深深扎根于學(xué)生的心靈。學(xué)生只有深刻地理解法則，才能智慧地應(yīng)用法則。

二、釋“法則之義”，讓學(xué)生巧妙地表達(dá)法則

培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造法則，還要引導(dǎo)學(xué)生解釋算法法則的精義。巧妙智慧地表達(dá)算法法則是學(xué)生算法法則內(nèi)化的確證與表征：一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生將運(yùn)算法則、定律與生活相結(jié)合，用現(xiàn)實(shí)原型來解釋算法模型;另一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生將運(yùn)算法則、定律等與圖形結(jié)合，充分發(fā)揮“數(shù)形結(jié)合”的思想，用圖形來釋數(shù)、釋算。正如數(shù)學(xué)教育家華羅庚所說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！?/p>

比如，在教學(xué)“減法的性質(zhì)”時，對于“a-b-c=a-（b+c）”以及“a-（b-c）=a-b+c”，教師要鼓勵學(xué)生以各種方式對法則、算律進(jìn)行“屬己”詮釋。比如在詮釋“a-b-c=a-（b+c）”這一“減法的性質(zhì)”時，有的學(xué)生借助小棒操作詮釋，即“從a根小棒中先拿掉b根，再拿掉c根，就相當(dāng)于將b根小棒和c根小棒直接捆起來一起拿走”;有的學(xué)生借助畫圖詮釋;有的學(xué)生借助生活事理來詮釋，“先吃掉b個，再吃掉c個，就相當(dāng)于一共吃了（b+c）個”。在詮釋“a-（b-c）=a-b+c”這一“減法的性質(zhì)”時，學(xué)生用生活事理來詮釋：一個人有a元，付了b元，營業(yè)員找回c元，這個人事實(shí)上付了（b-c）元，還剩下“a-（b-c）”元。學(xué)生用這樣的生活事理來解釋，讓相關(guān)的運(yùn)算法則、定律、性質(zhì)等融入其日常生活情境之中，從而讓抽象的、符號化的法則、定律、性質(zhì)等得到生動、直觀、形象的詮釋。在運(yùn)算教學(xué)中，教師要創(chuàng)建一個“解釋場”“表達(dá)場”，讓學(xué)生對算理、算法的解釋呈現(xiàn)出來，促進(jìn)學(xué)生深刻理解算理、算法。如果教師賦予抽象化、符號化的運(yùn)算定律、法則以直觀化、形象化的意義，就能讓純粹的運(yùn)算變得鮮活起來。教師要注重挖掘運(yùn)算法則、定律背后的生活原型、生活背景、生活事理等，以便讓學(xué)生借助這些生活原型、背景、事理等來理解算法的要義、精義。

釋“法則之義”，讓學(xué)生巧妙地表達(dá)法則，不僅能讓學(xué)生獲得“學(xué)業(yè)智力”，而且能讓學(xué)生獲得“工作智力”;不僅能發(fā)展學(xué)生的“學(xué)業(yè)思維”，而且能發(fā)展學(xué)生的“實(shí)踐思維”。在運(yùn)算教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生“算”，更要引導(dǎo)學(xué)生“運(yùn)”;教師要將“運(yùn)算”放置在二維體系中，讓學(xué)生智慧地、深刻地“運(yùn)”，進(jìn)而讓學(xué)生靈巧地、智慧地“算”。實(shí)踐證明，學(xué)生“運(yùn)”的能力越強(qiáng)，“算”的方法就越巧。

三、思“法則之微”，讓學(xué)生靈動地反思法則

在改進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)“運(yùn)算教學(xué)”的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思法則。反思不僅指運(yùn)算之后的“后思”，還包括運(yùn)算過程中的審視、思考。對法則的反思，一方面是讓學(xué)生體認(rèn)法則的合理性、必然性，另一方面是讓學(xué)生反思法則的精微性、精妙性。教師可以引導(dǎo)學(xué)生比較、辨析、反思、審視運(yùn)算的方法、法則等，幫助學(xué)生積累豐富的“數(shù)的運(yùn)算”經(jīng)驗(yàn)，生成“數(shù)的運(yùn)算”智慧;幫助學(xué)生養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的數(shù)學(xué)精神，發(fā)展“數(shù)的運(yùn)算”觀念，提升“數(shù)的運(yùn)算”能力，培養(yǎng)“數(shù)的運(yùn)算”素養(yǎng)。

以教學(xué)“十幾減9”為例，教材呈現(xiàn)了一個對話情境圖：一共有13個桃子，小猴子購買了9個桃子，還剩幾個桃子？探究時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生操作，讓學(xué)生經(jīng)歷從“實(shí)物操作”到“表象操作”再到“符號操作”的過程。學(xué)生先用小棒代替桃子，通過擺弄小棒建構(gòu)、創(chuàng)造“破十法”“平十法”等;然后，反思操作過程，進(jìn)行表象建構(gòu)，積累表象操作經(jīng)驗(yàn);最后，結(jié)合具體的算式進(jìn)行符號操作，從而理解多樣化的算法，如“13-9=13-3-6”“13-9=10-9+3”“13-9=13-10+1”“9+4=13，13-9=4”等。多樣化的算法能激發(fā)學(xué)生的運(yùn)算思維，讓學(xué)生形成“簡算”意識。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“十幾減8”“十幾減7”等便水到渠成。在反思過程中，學(xué)生能不斷比較算法、選擇算法、改進(jìn)算法、優(yōu)化算法等。比如，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)“平十法”計(jì)算比較巧妙，“破十法”計(jì)算比較普遍，“算減想加法”計(jì)算比較快捷，“湊十法”計(jì)算比較智慧等。在反思過程中，學(xué)生會積極主動地對算法進(jìn)行評價(jià)，從而深刻感受、體驗(yàn)“法則特征”，對各種“算法”的優(yōu)勢、劣勢都有所認(rèn)知。學(xué)生通過反思運(yùn)算法則，運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)得以鞏固，運(yùn)算智慧得以生長，運(yùn)算品質(zhì)得以提升。

對運(yùn)算過程的反思，不僅指向?qū)W生對運(yùn)算法則、定律的理解、掌握，還指向?qū)W生運(yùn)算質(zhì)量、運(yùn)算品質(zhì)的提升。在“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)算法則、定律的誕生過程，又要引導(dǎo)學(xué)生反思運(yùn)算法則、定律的誕生過程。經(jīng)歷有助于學(xué)生積累、積淀運(yùn)算法則、定律的探索經(jīng)驗(yàn)，而反思則有助于學(xué)生積累、積淀運(yùn)算法則、定律的理解經(jīng)驗(yàn)、解釋經(jīng)驗(yàn)、表達(dá)經(jīng)驗(yàn)。實(shí)踐證明，反思是學(xué)生積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的重要過程，也是學(xué)生生成運(yùn)算智慧的重要方式。

四、用“法則之道”，讓學(xué)生智慧地運(yùn)用法則

在學(xué)生深刻理解法則的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生熟諳法則的“運(yùn)用之道”，讓學(xué)生智慧地、巧妙地、靈活地應(yīng)用法則。在教學(xué)中，教師要喚醒學(xué)生的“簡算”意識，讓學(xué)生在運(yùn)算過程中“想偷懶”“會偷懶”“智慧地偷懶”。算式的簡算策略不是唯一的，而是多樣化的，因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生比較簡算的策略，讓學(xué)生的簡算策略在多樣化的基礎(chǔ)上“最優(yōu)化”。此外，教師要培養(yǎng)學(xué)生簡便運(yùn)算的證據(jù)意識、反思意識，讓學(xué)生能在運(yùn)算過程中自我發(fā)問：我這樣算對嗎？我這樣算巧嗎？還有比這樣的運(yùn)算更簡便的策略嗎？通過自我發(fā)問，學(xué)生會不斷增強(qiáng)運(yùn)算中自我察覺、自我調(diào)節(jié)、自我監(jiān)控的能力。從“元認(rèn)知”理論視角來看，這就是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的元認(rèn)知意識，提升學(xué)生運(yùn)算的元認(rèn)知技能的過程。

比如“小數(shù)乘法”的一道習(xí)題36×0.25，學(xué)生呈現(xiàn)了多種簡算方法：“30×0.25+6×0.25”“40×0.25-4×0.25”“9×4×0.25”“（36÷4）×（0.25×4）”等。教師要引導(dǎo)學(xué)生比較算法、辨析算法、篩選算法、優(yōu)化算法，比如“算法一”和“算法二”采用了“乘法分配律”，“算法三”采用了“乘法結(jié)合律”，“算法四”根據(jù)“積的變化規(guī)律”進(jìn)行運(yùn)算。學(xué)生通過比較、思辨算法，能認(rèn)識、領(lǐng)會算法中蘊(yùn)含的算理、算序、算律，并在運(yùn)用運(yùn)算法則、定律的時候做到“最優(yōu)化”。當(dāng)然，在這個過程中，教師要收集學(xué)生的錯誤算法，并將典型的錯誤算法呈現(xiàn)出來，引導(dǎo)學(xué)生剖析錯誤成因。比如，有的學(xué)生這樣計(jì)算：“4×9×0.25=4×0.25+9×0.25”，這是混淆了“乘法分配律”和“乘法結(jié)合律”的典型表現(xiàn)。在教學(xué)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生對各種算法進(jìn)行評價(jià)，讓學(xué)生選擇自己喜歡的方法。比如，有的學(xué)生喜歡“（36÷4）×（0.25×4）”是因?yàn)楸容^巧妙;有的學(xué)生喜歡“（36÷4）×（0.25×4）”可以直接“化除為乘”，即36×0.25就表示36的四分之一，將36平均分成4份，因此“36×0.25=36÷4”。在運(yùn)算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生評價(jià)算法、鑒賞算法，讓學(xué)生能深刻理解算法、巧妙應(yīng)用算法。

教師要引導(dǎo)學(xué)生用“法則之道”，讓學(xué)生在運(yùn)算過程中遵循正確、簡便、靈活、巧妙之道，讓學(xué)生在運(yùn)算過程中自覺反思，對運(yùn)算過程進(jìn)行審視、對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，讓學(xué)生樹立求簡意識、質(zhì)疑意識、辨析意識。

學(xué)生“數(shù)的運(yùn)算”能力、素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)算法則、定律的建構(gòu)過程、表達(dá)過程、反思過程和應(yīng)用過程。只有經(jīng)歷運(yùn)算法則、定律的建構(gòu)、表達(dá)、反思和應(yīng)用過程，學(xué)生才能積累相關(guān)的“數(shù)的運(yùn)算”的基本活動經(jīng)驗(yàn)，才能逐步形成科學(xué)的“數(shù)的運(yùn)算”的意識，才能感受、體驗(yàn)到“數(shù)的運(yùn)算”在解決問題中的關(guān)鍵作用、功能，有效提升“數(shù)的運(yùn)算”能力，發(fā)展“數(shù)的運(yùn)算”素養(yǎng)。

作者簡介：王敏（1991—），本科學(xué)歷，中小學(xué)二級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。