做數(shù)學(xué):數(shù)學(xué)學(xué)科育人的“有效路徑”

[摘" 要] “做數(shù)學(xué)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，是新時(shí)代背景下數(shù)學(xué)學(xué)科育人的創(chuàng)新實(shí)踐?！白鰯?shù)學(xué)”能豐富知識(shí)表征方式，能讓學(xué)生具身參與經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，能開(kāi)發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的創(chuàng)造潛質(zhì)，能彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值。

[關(guān)鍵詞] 做數(shù)學(xué);學(xué)科育人;有效路徑;小學(xué)數(shù)學(xué)

“做數(shù)學(xué)”通常被理解為一種以操作、實(shí)踐為主導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式?！白鰯?shù)學(xué)”不僅是指學(xué)生“用手操作”，更指學(xué)生的“眼睛觀察”“耳朵傾聽(tīng)”“大腦活動(dòng)”等。在“做數(shù)學(xué)”過(guò)程中，教師應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，讓學(xué)生的多種感官協(xié)同活動(dòng)。實(shí)踐證明，“做數(shù)學(xué)”是一種有效的學(xué)科育人方式，能給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)全新體驗(yàn)，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、以做啟思，豐富知識(shí)表征方式

“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程本質(zhì)上是將數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)表征出來(lái)的過(guò)程。在“做數(shù)學(xué)”過(guò)程中，學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，將“知識(shí)”再造、創(chuàng)造出來(lái)。只有通過(guò)“做數(shù)學(xué)”，學(xué)生才能深刻理解數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，洞察數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈、前世今生。學(xué)生通過(guò)“做數(shù)學(xué)”，能將抽象化的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)“可視化”“直觀化”“形象化”“具體化”。不同的學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)中，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的表征樣態(tài)不同，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的理解有差異。教師要以“做數(shù)學(xué)”為驅(qū)動(dòng)，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、想象，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”過(guò)程中對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)獲得頓悟。

比如在教學(xué)“圓柱的側(cè)面積”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)：首先，讓學(xué)生將圓柱形罐頭的商標(biāo)紙“剪下來(lái)”或者“撕下來(lái)”;然后，讓學(xué)生將“剪下來(lái)”或“撕下來(lái)”的商標(biāo)紙?jiān)賴(lài)蓤A柱形罐頭的側(cè)面。這類(lèi)似于讓學(xué)生“玩數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)過(guò)程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性：有的學(xué)生用剪刀沿著高剪下圓柱形罐頭的商標(biāo)紙;有的學(xué)生用剪刀斜著剪下圓柱形罐頭的商標(biāo)紙;還有的學(xué)生直接撕下圓柱形罐頭的商標(biāo)紙。同樣的“做數(shù)學(xué)”目標(biāo)、內(nèi)容、要求，學(xué)生的操作過(guò)程、結(jié)果、樣態(tài)等各不相同。以做啟思，不同的學(xué)生會(huì)形成對(duì)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖的不同認(rèn)識(shí)：有的學(xué)生認(rèn)為圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，有的學(xué)生認(rèn)為圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是平行四邊形，還有的學(xué)生認(rèn)為圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)不規(guī)則的圖形等。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生比較：這些圖形都可以直接求出面積嗎？平行四邊形的面積是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的？在這一過(guò)程中學(xué)生深度交流，認(rèn)識(shí)到無(wú)論圓柱的側(cè)面怎樣展開(kāi)，歸根結(jié)底都是將其轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式。研究“做”，就是要賦予學(xué)生的“做”以思維含量。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中不能讓學(xué)生機(jī)械、盲目地動(dòng)手操作，而要通過(guò)“做”來(lái)啟迪學(xué)生的思維，讓學(xué)生在做中思、在思中做?！白觥睉?yīng)是學(xué)生“數(shù)學(xué)之思”的外顯，“思”應(yīng)是學(xué)生“數(shù)學(xué)之做”的表征、內(nèi)化，“做數(shù)學(xué)”要讓學(xué)生抵達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“做思共生”“學(xué)創(chuàng)一體”的境界。

二、具身參與，經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程

荷蘭教育家弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為，一種數(shù)學(xué)結(jié)論一旦被邏輯證實(shí)，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化理論、技巧之后，就會(huì)將求解過(guò)程拋在一邊。因此，在數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)總是顯現(xiàn)為“冰冷的美麗”。教師要通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程，激發(fā)學(xué)生“火熱的思考”。教師要通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，將數(shù)學(xué)教材中“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”“生命形態(tài)的數(shù)學(xué)”。

“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程是學(xué)生多種感官協(xié)同參與學(xué)習(xí)的過(guò)程，這是學(xué)生的具身認(rèn)知。具身認(rèn)知是一種感受性、體驗(yàn)性的認(rèn)知。在引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，教師通常有兩種教學(xué)路徑：一是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究，建構(gòu)、創(chuàng)造出數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí);二是從數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、結(jié)論等出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)推導(dǎo)出來(lái)。教師在引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中必須對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)進(jìn)行“教育學(xué)加工”“心理學(xué)加工”等，讓數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)以更親近、更親和的“姿態(tài)”呈現(xiàn)給學(xué)生。這樣才能激發(fā)學(xué)生的參與激情，引發(fā)學(xué)生的參與興趣，讓學(xué)生積極主動(dòng)地投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。比如教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，很多教師采用“正向教學(xué)法”，給學(xué)生提供不同形狀的三角形，讓學(xué)生測(cè)量三角形的內(nèi)角和。學(xué)生因?yàn)樵凇白鰯?shù)學(xué)”過(guò)程中產(chǎn)生“誤差”，導(dǎo)致對(duì)“三角形內(nèi)角和是180°”始終存有爭(zhēng)議。其實(shí)，“三角形的內(nèi)角和”不應(yīng)通過(guò)數(shù)學(xué)測(cè)量來(lái)證明，而應(yīng)當(dāng)通過(guò)演繹推理或者借助幾何方法來(lái)證明。

面對(duì)這樣的問(wèn)題，筆者認(rèn)為，教師可以將“探究性實(shí)驗(yàn)”改為“驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)”，即先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“三角形的內(nèi)角和是180°”。在此基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生想辦法驗(yàn)證，這樣一方面能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)積極性;另一方面也能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不可避免地存在著實(shí)驗(yàn)誤差。當(dāng)學(xué)生用各種方法如撕角拼角法、折角法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和之后，學(xué)生就會(huì)有一種獲得感、成就感。不同的學(xué)生采用不同的“做數(shù)學(xué)”方法，但同樣都經(jīng)歷了數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的驗(yàn)證過(guò)程。這樣的教學(xué)法是一種“顛倒性的教學(xué)法”（弗賴(lài)登塔爾語(yǔ)），即與人類(lèi)建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)方向相反的“逆向教學(xué)法”。

學(xué)生通過(guò)觀察、思考、操作具身參與數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的建構(gòu)、創(chuàng)造或驗(yàn)證，能將多種參與方式、學(xué)習(xí)方式等結(jié)合起來(lái)?！熬呱韰⑴c”是一種通過(guò)身體活動(dòng)、感官體驗(yàn)來(lái)參與數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)建構(gòu)、創(chuàng)造或驗(yàn)證的學(xué)習(xí)方式。具身參與的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種直觀性、生動(dòng)性、形象性的學(xué)習(xí)，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、應(yīng)用，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加有趣。

三、由繁至簡(jiǎn)，觸及知識(shí)本質(zhì)原理

數(shù)學(xué)學(xué)科是一門(mén)思維性的科學(xué)。數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值不僅在于引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生觸摸知識(shí)背后的原理、本質(zhì)，包括數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的意蘊(yùn)、方法、思想、精神等。教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的“數(shù)學(xué)化”活動(dòng)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)的“做數(shù)學(xué)”資源、素材去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由繁至簡(jiǎn)、從感性走向理性、從具象走向抽象，直抵學(xué)科問(wèn)題的本質(zhì)、內(nèi)核。

比如教學(xué)“認(rèn)識(shí)厘米”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)、創(chuàng)造過(guò)程，讓學(xué)生積極主動(dòng)地創(chuàng)造“厘米尺”，從而認(rèn)識(shí)“厘米尺”“用厘米尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。首先，筆者引導(dǎo)學(xué)生比較兩個(gè)物體的長(zhǎng)度，經(jīng)歷統(tǒng)一“長(zhǎng)度單位”的過(guò)程;其次，筆者呈現(xiàn)學(xué)生日常學(xué)習(xí)生活中的田字格、訂書(shū)釘、圖釘?shù)?，幫助學(xué)生建立“單位厘米”的鮮活表象。這一過(guò)程涉及學(xué)生的視知覺(jué)，能激發(fā)學(xué)生的視覺(jué)思維、催生學(xué)生的視覺(jué)想象;再次，筆者引導(dǎo)學(xué)生用確定的“單位厘米”去測(cè)量物體的長(zhǎng)度，讓學(xué)生在測(cè)量物體長(zhǎng)度的過(guò)程中產(chǎn)生將長(zhǎng)度單位串接起來(lái)的心理需求，進(jìn)而建構(gòu)“厘米尺”的雛形;最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生用“厘米尺”雛形來(lái)測(cè)量物體的長(zhǎng)度，為了方便讀數(shù)，學(xué)生將“厘米尺”標(biāo)注刻度，由此建構(gòu)出“厘米尺”。通過(guò)這樣逐步“數(shù)學(xué)化”的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)了“厘米尺”“用厘米尺測(cè)量的本質(zhì)”。經(jīng)歷了“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)過(guò)程，學(xué)生不僅能靈活應(yīng)用厘米尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度，而且對(duì)物體長(zhǎng)度作為“可測(cè)量屬性”“可測(cè)量長(zhǎng)度的大小”有了直觀、形象、具體的感知、認(rèn)知。在不斷地“做數(shù)學(xué)”測(cè)量活動(dòng)中，學(xué)生的量感逐步形成。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師只是簡(jiǎn)單地開(kāi)展“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)，學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)識(shí)常常是無(wú)序的，呈現(xiàn)一種不確定性，容易讓學(xué)生的學(xué)習(xí)膚淺化。在“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)過(guò)程中，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生去抽象、概括、總結(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的認(rèn)知從感性走向理性。通過(guò)抽象性思維、推理性認(rèn)知，學(xué)生能觸及數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的原理、本質(zhì)，也能洞察數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。

四、塑品鑄魂，彰顯知識(shí)育人價(jià)值

“做數(shù)學(xué)”不僅是一種“動(dòng)手操作”的活動(dòng)，還是一種蘊(yùn)含學(xué)生數(shù)學(xué)思維、想象以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、態(tài)度與價(jià)值觀的活動(dòng)。因此，“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的育人功能，讓數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)“培根塑魂”，從而彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的育人價(jià)值。

比如教學(xué)“可能性”這一節(jié)課時(shí)，為了讓學(xué)生體驗(yàn)“可能性”，筆者引導(dǎo)學(xué)生做“摸球?qū)嶒?yàn)”：黑袋子中放1個(gè)黃球和3個(gè)紅球，讓學(xué)生摸球摸30次。學(xué)生以小組為單位開(kāi)展操作，在不斷地摸球過(guò)程中體驗(yàn)“可能性的大小”，大部分小組摸中紅球的次數(shù)都比摸中黃球的次數(shù)多，只有一個(gè)小組摸中紅球的次數(shù)比摸中黃球的次數(shù)少。筆者發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這一小組學(xué)生看到自己小組摸球的結(jié)果與其他小組不一致時(shí)，就在摸球的次數(shù)結(jié)果上“動(dòng)手腳”。為此，筆者引導(dǎo)學(xué)生反思自己的行為：這個(gè)摸球結(jié)果是真的嗎？既然是真的，為什么要作假呢？紅球的個(gè)數(shù)多摸到的次數(shù)一定多嗎？紅球的個(gè)數(shù)多摸到的可能性大嗎？學(xué)生通過(guò)反思、審視摸球的結(jié)果，形成對(duì)“可能性”的科學(xué)的認(rèn)知，即“球的個(gè)數(shù)多不代表被摸到的次數(shù)多”“球的個(gè)數(shù)多被摸到的可能性一定大”“摸球的總次數(shù)和摸球的可能性之間沒(méi)有必然的關(guān)系”“每一次摸球都是一個(gè)獨(dú)立的事件”等。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生正確看待自己的動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，對(duì)探究數(shù)學(xué)有了科學(xué)的態(tài)度。如此，就能在學(xué)生的心靈深處播撒“求真”的種子，讓學(xué)生養(yǎng)成“實(shí)事求是”的品格。

“做數(shù)學(xué)”不是單一的動(dòng)手操作，而是融入了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、態(tài)度與價(jià)值觀的活動(dòng)。從某種意義上說(shuō)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情意、態(tài)度與價(jià)值觀猶如一只“看不見(jiàn)的手”，始終牽引著學(xué)生的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)?！白鲋袑W(xué)”不僅是一種教學(xué)方式、策略，而且是一種教學(xué)思想、理念?！白鲋袑W(xué)”要求學(xué)生全身心投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的具身認(rèn)知。在這個(gè)過(guò)程中，教師能對(duì)學(xué)生塑品鑄魂，從而充分彰顯“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)的育人價(jià)值。

“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)是新時(shí)代背景下學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，也是新時(shí)代背景下數(shù)學(xué)學(xué)科育人的創(chuàng)新實(shí)踐。教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)過(guò)程，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)表征方式，讓學(xué)生觸及數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)。教師要通過(guò)“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、想象、推理、概括、應(yīng)用等過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、形成數(shù)學(xué)技能、感悟數(shù)學(xué)思想與方法，在創(chuàng)造中學(xué)會(huì)感悟、鑒賞，以此啟迪學(xué)生的心智、激蕩學(xué)生的情感、塑造學(xué)生的品格。

作者簡(jiǎn)介：閆琴（1981—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。