APOS理論下的初中數(shù)學幾何模型教學設(shè)計研究

【摘要】APOS理論是指針對數(shù)學認知研究的一種理論框架，它將數(shù)學學習拆解為活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）這四個階段.初中數(shù)學幾何模型作為數(shù)學學科中的重要內(nèi)容之一，通過引入APOS理論進行教學設(shè)計研究能夠有效地促進學生對幾何模型的學習和理解.幾何模型可以幫助學生建立準確的幾何概念、增強空間想象能力，并培養(yǎng)分析與解決問題的能力.本文旨在探索初中數(shù)學幾何模型教學設(shè)計在APOS理論框架下的教學策略，以提升學生的數(shù)學認知能力和幾何思維水平.

【關(guān)鍵詞】APOS理論；初中數(shù)學；教學設(shè)計

初中數(shù)學幾何作為數(shù)學內(nèi)容的重要組成部分，對學生的邏輯思維能力、空間想象能力和問題解決能力有著重要的培養(yǎng)作用.而APOS理論作為一種學習理論，對于引導(dǎo)學生深入理解和運用數(shù)學概念具有重要意義.因此，研究APOS理論在初中數(shù)學幾何模型教學設(shè)計中的應(yīng)用，不僅可以促進學生培養(yǎng)數(shù)學學習興趣，還可以提高他們的數(shù)學學習成績和綜合能力，具有重要的理論與實踐意義.

1APOS理論下的幾何模型思維建構(gòu)

在初中數(shù)學的教學過程中，APOS理論為教育者提供了一個重要的認知工具.該理論將學習者對數(shù)學概念的認知過程劃分為四個階段：活動（Action），過程（Process），對象（Object），圖式（Schema）[1].在這一認知框架下，教育者需要引導(dǎo)學生進行從感性認識到符號化認知的過渡，幫助他們建立數(shù)學幾何模型的思維結(jié)構(gòu).通過創(chuàng)設(shè)多元化的教學情境，激發(fā)學生的興趣和動機，促使其逐步提升認知層次，建構(gòu)數(shù)學幾何的思維模型.這不僅有助于學生深入理解數(shù)學概念，還能培養(yǎng)其創(chuàng)造性思維和問題解決能力，促進數(shù)學學習的有效進行.

幾何模型思維建構(gòu)是指學生通過構(gòu)建具體的幾何模型理解和探索幾何概念.這種思維方式追求將抽象的數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為可視化、觸覺化的形式，以幫助學生更好地理解和運用幾何知識[2].在APOS理論的指導(dǎo)下，幾何模型思維建構(gòu)包括以下幾個階段.

活動（Action）：在這個階段，學生通過實際操縱物體或使用幾何工具構(gòu)建幾何模型.通過觀察和感受，學生可以直觀地認識幾何形狀和其屬性.

例如在學習三角形的概念時，學生可以使用三條邊構(gòu)造一個實際的三角形模型，感受其邊長、角度等特征.通過這樣的實際操作，學生可以建立起對幾何概念的初步印象.

過程（Process）：在這個階段，學生開始將物質(zhì)模型轉(zhuǎn)化為圖象.他們可以使用幾何軟件或手繪圖形來表示幾何形狀.通過將實際模型轉(zhuǎn)化為平面圖象，學生可以更加方便地觀察和分析幾何屬性.

例如，在學習平行線和垂直線的性質(zhì)時，學生可以通過繪制線段和直線，在平面上模擬出這些關(guān)系，并通過觀察圖象理解它們的特點.

對象（Object）：在這個階段，學生開始使用符號系統(tǒng)來表示幾何概念.他們可以使用幾何術(shù)語、符號和公式來描述幾何屬性和關(guān)系.通過將幾何概念轉(zhuǎn)化為符號形式，學生可以更深入地分析和推理幾何問題.

例如在學習三角形的相似性時，學生可以使用符號表示邊長比例和角度關(guān)系，用數(shù)值和代數(shù)表達式來描述這些幾何屬性.

圖式（Schema）：在這個階段，學生開始運用幾何概念進行推導(dǎo)和證明.他們可以使用已經(jīng)建構(gòu)好的幾何模型、圖象和符號來解決幾何問題.通過操作和推理幾何圖象，學生可以深入理解幾何概念的內(nèi)在本質(zhì)和邏輯關(guān)系.

例如在解決三角形相似性的問題時，學生可以運用角度相等和邊長比例的性質(zhì)進行推導(dǎo)，從而得到正確的結(jié)論.

通過APOS理論下的幾何模型思維建構(gòu)，學生可以逐漸建立豐富而深入的幾何知識體系.幾何模型思維建構(gòu)為學生提供了一種直觀而深刻的幾何學習方式，通過具體的模型構(gòu)建和符號運用，學生可以更好地理解和應(yīng)用幾何概念.這種思維方式不僅有助于學生的幾何學習，而且培養(yǎng)了他們的空間想象力、分析能力和推理能力，為他們未來的數(shù)學學習打下堅實的基礎(chǔ).

2初中數(shù)學幾何模型教學設(shè)計的重要因素

首先，定義和屬性的引入.在初中數(shù)學幾何模型教學設(shè)計中，引入幾何概念和定義是非常關(guān)鍵的一步.教師可以通過講解幾何概念和定義，并結(jié)合具體的實例幫助學生理解幾何模型的基本性質(zhì)和特點.此外，教師還可以引導(dǎo)學生自己思考并提出問題，從而激發(fā)學生的學習興趣和思維能力.

其次，幾何模型的構(gòu)建與觀察.初中數(shù)學幾何模型教學設(shè)計中，學生的主動參與十分重要.教師可以引導(dǎo)學生通過使用絲線、紙張等材料構(gòu)建幾何模型，例如平面圖形、立體體積等，以培養(yǎng)學生的空間想象力和幾何思維能力[3].同時，學生需要通過觀察幾何模型的不同部分和結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和特點.通過幾何模型的教學，學生不僅能夠理解幾何概念和定理，還能夠應(yīng)用它們解決實際問題.教師可以設(shè)計一系列基于幾何模型的問題，讓學生運用所學知識進行分析和推理，并找到解決問題的方法.這樣的教學設(shè)計可以培養(yǎng)學生的問題解決能力和推理能力，提高他們的數(shù)學思維能力.

最后，模型與實際情境的聯(lián)系.初中數(shù)學幾何模型教學設(shè)計應(yīng)該注重將幾何模型與實際生活和實際問題聯(lián)系起來.教師可以引入實際情境，讓學生將幾何模型與實際問題相結(jié)合，從而加深學生對幾何模型的理解和運用能力.通過與實際情境的聯(lián)系，學生能夠更好地將所學的幾何知識應(yīng)用到實際生活中，增強他們的學習動機和學習興趣[4].

3APOS理論下的初中平面幾何模型教學設(shè)計的一般原則

APOS理論下的初中平面幾何模型教學設(shè)計的一般原則是建立適當?shù)木唧w物體模型.根據(jù)APOS理論，學生在數(shù)學思維發(fā)展的過程中，需要通過具體物體的觸感與操作建立抽象符號之間的聯(lián)系[5].因此，設(shè)計一個能夠切實體現(xiàn)幾何概念的具體物體模型，對學生的學習意義重大.

創(chuàng)建問題情境并激發(fā)學生的興趣.在教學中，教師應(yīng)注重學生的思維習慣和創(chuàng)造力培養(yǎng)，引導(dǎo)他們在面對問題時保持冷靜、沉著，并勇于嘗試不同的解決方法.只有通過合理創(chuàng)建問題情境并激發(fā)學生的興趣，才能真正激發(fā)他們對知識的渴望和探求欲望.這種啟發(fā)式的教學方式不僅幫助學生更好地理解幾何概念，還培養(yǎng)他們的分析思維和解決問題的能力.因此，教育工作者們應(yīng)當高度重視如何設(shè)計出富有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問題情境，從而激發(fā)學生的求知欲和學習興趣.

4基于APOS理論的“長方形模型”題組設(shè)計

第1階段活動（Action）

在第一階段的操作中，設(shè)計一些基于不同長方形的具體操作問題，以幫助學生熟悉長方形的特征和屬性，并培養(yǎng)他們進行尺寸計算和圖形變換的能力.題目可能包括：

（1）給定一個長方形的長為12cm，寬為8cm，請計算出它的周長和面積；

（2）如果我們把一個長方形的長度和寬度都乘以2，結(jié)果會發(fā)生什么變化？

（3）如果我們把一個長方形的長度增加30%，寬度減小20%，結(jié)果會發(fā)生什么變化？

通過這些操作問題，學生需要運用尺寸計算和圖形變換的知識，分析并解決問題.同時，強調(diào)學生觀察和記錄長方形的操作過程，如通過圖形繪制和數(shù)學公式的推導(dǎo)準確表達他們的思路和結(jié)果.這樣可以幫助他們更好地理解和掌握長方形的特性，為后續(xù)階段的學習打下堅實的基礎(chǔ).

第2階段過程（Process）

本階段旨在通過一系列基于長方形的問題，培養(yǎng)學生的問題解決能力和幾何思維.以下是幾個設(shè)計的示例：

（1）問題1：一個長方形的周長是24厘米，它的寬度是3厘米，請計算其長度是多少？

學生需要將周長的概念應(yīng)用于實際問題，并運用基本的運算方法進行計算.

學生可以觀察到長方形的邊長之間的關(guān)系并推導(dǎo)出結(jié)論.

（2）問題2：一個矩形的面積是20平方厘米，如果它的寬度是4厘米，其長度是多少？

學生需要理解面積的概念，并將其與長方形的屬性聯(lián)系起來.

學生可以觀察面積和邊長之間的關(guān)系，并運用基本的運算方法解決問題.

（3）問題3：將一個長方形沿其對角線分割成兩個小矩形，其中一個小矩形的面積是16平方厘米，求另一個小矩形的面積.

學生需要理解分割和面積之間的關(guān)系，并觀察長方形的結(jié)構(gòu)特征.

學生可以根據(jù)已知條件推導(dǎo)出未知小矩形的面積，并驗證答案的合理性.

通過這些問題，學生將通過實際的操作和推理，發(fā)展他們的幾何思維和解決問題的能力.他們將學會應(yīng)用基本概念和工具解決長方形相關(guān)的問題，并且培養(yǎng)出觀察、分析、推斷和驗證的能力.這將為進一步的學習奠定堅實的基礎(chǔ).

第3階段對象（Object）

首先，提出由長方形組成的更復(fù)雜圖形，要求學生分析并描述它們的結(jié)構(gòu)特征.

（1）設(shè)計一個問題，要求學生研究由多個長方形組成的大型圖案，觀察和描述不同長方形之間的連接關(guān)系；

（2）引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)長方形組成圖形的規(guī)律，例如長方形邊長比例、角度關(guān)系等；

（3）鼓勵學生探討不同長方形排列方式對整體結(jié)構(gòu)的影響，引發(fā)他們思考結(jié)構(gòu)與排列的關(guān)聯(lián).

其次，引導(dǎo)學生思考長方形的結(jié)構(gòu)與其他幾何概念之間的關(guān)聯(lián).

（1）提出問題，要求學生將長方形的結(jié)構(gòu)與平行四邊形、正方形等幾何形狀進行比較，并總結(jié)它們之間的相似性和差異性；

（2）引導(dǎo)學生思考長方形與其他幾何形狀的關(guān)系，在討論中培養(yǎng)他們的抽象思維能力；

（3）鼓勵學生將長方形的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)學中的幾何定理相聯(lián)系，幫助他們建立更深入的數(shù)學概念認識.

第4階段圖式（Schema）

在這個階段，學生將面臨一個具有挑戰(zhàn)性的問題：如何利用長方形模型設(shè)計一個城市公園的布局？學生需要考慮公園各個區(qū)域的面積、功能以及周邊道路的規(guī)劃.通過這個問題，學生不僅可以運用所學的幾何知識，還可以培養(yǎng)空間想象力和規(guī)劃能力.他們可以通過創(chuàng)建長方形模型展示不同區(qū)域的尺寸比例，并通過圖形變換來調(diào)整布局.同時，學生還需要思考如何合理安排綠化帶、游樂設(shè)施等元素，使公園既美觀又實用.

5結(jié)語

本文設(shè)計將APOS理論與長方形模型相結(jié)合，旨在引導(dǎo)學生深入理解幾何概念和培養(yǎng)問題解決能力.通過活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Schema）四個階段的設(shè)計，學生不僅能夠掌握長方形的基本特征和屬性，還能夠運用長方形模型解決各種復(fù)雜問題，并對幾何問題有更深入的理解.此外，本文也提供了豐富多樣的問題類型，讓學生在實踐中不斷探索、思考和創(chuàng)造.通過這樣的設(shè)計，學生不僅可以提高數(shù)學水平，還能培養(yǎng)邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維，為未來的學習奠定堅實的基礎(chǔ).希望學生能夠在數(shù)學學習中體會到長方形模型的魅力，進一步激發(fā)他們對數(shù)學的興趣與熱愛.

參考文獻：

[1]周偉萍.基于APOS理論的初中數(shù)學幾何模型教學的題組設(shè)計——以長方形模型為例[J].中學數(shù)學，2021（06）：17-18+21.

[2]徐春凌.分析模型教學對于初中幾何數(shù)學教學的意義[J].數(shù)理化解題研究，2021（02）：25-26.

[3]馬小飛.基于幾何模型的初中數(shù)學教學設(shè)計與反思——以一道中考題復(fù)習教學為例[J].中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2020（16）：31-34.

[4]陳思宇.“基本模型”引領(lǐng)下的教學設(shè)計與思考——以初中幾何相似中A字、Z字模型為例[J].中小學教學研究，2019（10）：52-55.

[5]賈建成.模型教學在初中幾何數(shù)學教學中的應(yīng)用分析[J].數(shù)學學習與研究，2018（14）：59.