基于ACT-R理論和GeoGebra的立體幾何教學設計研究

【摘 要】立體幾何教學在幫助學生提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)方面發(fā)揮著重要作用。文章以ACT-R理論為依據(jù)，提出符合學生認知特點的立體幾何教學設計策略，根據(jù)GeoGebra軟件的特點，總結其在立體幾何教學應用中的優(yōu)勢，在教學設計方面，將認知體系理論、信息技術、立體幾何教學三者進行有機結合，構建立體幾何教學設計的基本框架。并且依據(jù)框架對幾何教學內容進行教學設計，以期提升立體幾何教學過程中學生的認知水平，為教學提供新的思路和方法。

【關鍵詞】ACT-R理論 GeoGebra軟件 立體幾何 教學設計

【中圖分類號】G623.5 "【文獻標識碼】A "【文章編號】1002-3275（2024）16-72-05

一、引言

在義務教育階段，學生已經(jīng)學習了圖形與幾何的基礎知識和技能，建立了基本的空間觀念。學習高中立體幾何時，首先要將立體幾何的概念、定理和位置關系等新知識內化為學生的認知結構，幫助學生克服普遍存在的認知障礙和基本技能障礙。

ACT-R理論是一種認知體系結構理論，強調知識的認知建構過程，為立體幾何教學提供了理論基礎。GeoGebra軟件作為一款信息化教學工具，其3D繪圖功能具有直觀、動態(tài)的特點，可以幫助學生打破空間想象力的局限性。

文章旨在結合ACT-R理論和GeoGebra軟件，提出立體幾何教學設計的基本框架，探討立體幾何教學的有效方法，以期為立體幾何教學提供一定幫助。

二、理論綜述

ACT-R理論將知識分為陳述性知識和程序性知識。陳述性知識指以信息板塊的方式儲存在記憶中的事實和概念，通?？梢酝ㄟ^記憶來直接獲取，包括定義、判定定理等基礎知識。程序性知識指借助某些形式間接推論其存在的知識，是用于提取陳述性信息板塊的規(guī)則性單元，涉及解題技巧、推理方法、空間思維等。ACT-R理論認為認知技能獲得的過程就是將陳述性知識轉化為程序性知識的過程，程序性知識以產(chǎn)生式規(guī)則的形式表征和儲存于大腦的記憶中，觸發(fā)每一個產(chǎn)生式規(guī)則的途徑則是目標層級的建立，目標層級表示每個任務都可分解為一系列的子目標，這些子目標又可進一步分解為新的子目標，隨著子目標的不斷消除，最終達成任務。［1］

ACT-R理論認為陳述性知識向程序性知識的轉化需要經(jīng)歷三個階段：認知階段、知識編碼階段、自動化階段。認知階段是學習的初級階段，主要涉及對新知識或技能的初步接觸和理解；知識編碼階段是學習的中級階段，涉及將新知識或技能轉化為心理表征或記憶形式；自動化階段是學習的高級階段，涉及將新技能或知識轉化為自動化或半自動化的思維模式。這三個階段是相互關聯(lián)、循序漸進的，隨著學習的深入和經(jīng)驗的積累，學生會不斷地回顧和深化對已有知識的理解，實現(xiàn)更高層次的創(chuàng)新應用。［2］

GeoGebra軟件是由Markus Hohenwater開發(fā)的一款強大的動態(tài)數(shù)學軟件，具有跨平臺性，其結合了幾何、代數(shù)、函數(shù)和統(tǒng)計等多個數(shù)學領域的功能，提供了動態(tài)交互式的數(shù)學探究和可視化工具。

GeoGebra軟件的名稱結合了Geometry（幾何學）和Algebra（代數(shù)）的概念。在幾何方面，GeoGebra軟件提供了豐富的繪圖工具，操作者可以畫出點、線段、直線、向量、多邊形、圓錐曲線等各種幾何圖形，并根據(jù)需求改變它們的屬性。在代數(shù)方面，GeoGebra軟件支持操作者輸入和計算各種表達式與方程，能夠將代數(shù)與幾何圖形相聯(lián)系，幫助學生更清楚地感知數(shù)形之間的聯(lián)系和轉換。

三、ACT-R理論下立體幾何教學設計策略

（一）注重情境創(chuàng)設，強調生成性學習

ACT-R理論注重情境創(chuàng)設，旨在通過模擬真實情境或實際應用來幫助學生更好地理解和應用知識。在立體幾何教學中，創(chuàng)設合適的情境可以幫助學生將抽象的概念與生活實際聯(lián)系起來，使他們對新知識進行類比，如圖形、圖像、圖解等，以加強其深層理解。具體來講，情境創(chuàng)設可以從使用具體模型和聯(lián)系現(xiàn)實生活兩個角度出發(fā)。

使用具體的幾何模型進行教學可以讓學生更加直觀地了解幾何體的形狀和空間結構。例如在基本立體圖形的教學中，可以展示紙杯、紙箱、籃球等實物模型，引導學生將這些物體抽象成空間幾何體，從而描述這些物體的形狀和結構特征。聯(lián)系現(xiàn)實生活可以幫助學生更熟練地應用某個概念或定理，有利于解決現(xiàn)實生活中的問題。例如在二面角大小的教學中，可以引入生活中“把門開大一點”這一說法，來刻畫二面角的大小，讓學生基于實際生活構建對信息的理解，進而掌握立體幾何知識。

（二）構建目標層級，習得程序性知識

ACT-R理論認為程序性知識以產(chǎn)生式規(guī)則的形式儲存于大腦中，產(chǎn)生式規(guī)則的觸發(fā)需要建立目標層級，隨著最終目標的達成，習得復雜的程序性知識。立體幾何中有許多抽象、復雜的概念和術語，如空間向量、空間位置關系等。教師需要有清晰的思路去講解定理，學生也需要形成有條理的認知，否則對這些知識的理解和運用會產(chǎn)生混亂，從而難以習得程序性知識。ACT-R理論中的目標層級結構為解決這一問題提供了方法。

在設計每節(jié)課的教學目標時，可以先設置一個最終目標，再預設最終目標的層級結構，教學過程中按照層級結構進行教學。例如在直線與平面平行的教學中，可以先確定最終目標：真正掌握直線與平面平行，會運用相關定理解題。再預設子目標：探究直線與平面平行的性質和判定定理，會用文字語言、圖形語言和符號語言表述，使學生逐步掌握子目標，從而達到最終目標。引導學生對學習任務構建目標層級結構，探索完成學習任務所需的先決條件，將復雜的知識化繁為簡。例如引導學生構建直線與平面平行判定定理的目標層級，發(fā)現(xiàn)證明直線與平面平行的先決條件為“只要證明平面外一條直線與平面內的一條直線平行，就可以證明這條直線與此平面平行”，從而將復雜的直線與平面平行問題轉化為兩條直線平行的簡單問題，學生通過積累簡單的陳述性知識，最終習得復雜的程序性知識。

（三）運用類比思想，促進知識遷移

ACT-R理論認為類比是運用已有產(chǎn)生式規(guī)則求解過的信息來類比其他類似的信息，從而形成新的產(chǎn)生式規(guī)則。學生對新知識的學習是以原有的認知結構為基礎，在新舊知識的交互作用下完成的。這個過程的核心在于探索新知識和原有認知結構中舊知識之間的聯(lián)系，通過類比對新知識進行同化或者順化。例如在立體圖形的直觀圖教學中，通過讓學生類比初中階段學習過的投影知識，理解立體幾何中立體圖形的直觀圖是平行投影下的平面圖形。

類比是一種重要的認知策略，是促進知識遷移的重要手段。學生通過比較新情境與已有的知識、技能、經(jīng)驗之間的相似性，將已有的知識、技能、經(jīng)驗應用到新的情境中，可以更深刻地理解知識，提高學習效率和創(chuàng)新能力。例如在有關橢圓的教學中，可以介紹天體物理學中行星和衛(wèi)星的運動軌跡通常是橢圓形的，運用橢圓的性質有助于學生了解這些物體的運動規(guī)律和解決天體的運動軌跡問題，通過跨學科類比，促進橢圓知識的遷移與整合。

（四）精致變式練習，強化產(chǎn)生式規(guī)則

數(shù)學練習對于學生鞏固基礎知識、提高解題速度、培養(yǎng)邏輯思維能力和問題解決能力至關重要。然而“題海戰(zhàn)術”并不能強化學生對于產(chǎn)生式規(guī)則的認知。ACT-R理論提倡精致練習，意為具有良好的動機、接受有意義的反饋的練習，幫助學生將時間真正用于關鍵練習上，提高練習效率。在教學中，精致變式練習可以從課堂練習和課后練習兩個方面來體現(xiàn)。

在課堂練習的選擇上，應選擇典型練習。典型的變式練習能夠反映某一類問題的屬性、結構、特征，幫助學生掌握解決這類問題的一般方法。例如在直線與平面垂直的教學中，可以選擇例題：求證兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。學生基于兩條直線平行的性質，可以直接運用直線與平面垂直的判定定理證明題設。學生學會解決此類問題，便掌握了證明兩條平行直線與一個平面垂直的一般方法。在課后練習的布置上，要有廣度，針對每個知識點布置不同類型的變式練習，使學生對每個知識點都能得到全方位的鞏固。需要注意的是，對于運用相同知識點解決問題的習題不應過多，而是要突出“少而精”。例如在直線與平面垂直性質的練習上，可以布置判斷題，讓學生判斷哪些直線與平面是垂直關系；也可以布置填空題，讓學生通過作圖直觀感知直線與平面的位置關系。在直線與平面垂直判定定理的練習中，可以利用直棱錐的高線與底面的位置關系、三個相互垂直平面的交線與平面的位置關系，也可以利用旗桿與地面位置關系這類實物模型。選取適量的習題可以避免反復練習直線與平面垂直的判定定理，設置不同類型的習題更容易讓學生掌握在各種問題情境中應用直線與平面垂直的判定定理。

四、立體幾何教學應用GeoGebra的優(yōu)勢

（一）動態(tài)化演示，促使數(shù)學概念具象化

動態(tài)化演示是GeoGebra軟件的功能之一，操作者可以創(chuàng)建動態(tài)的數(shù)學模型，以直觀和動態(tài)的形式展示數(shù)學概念和原理。軟件支持操作者對圖形進行旋轉、平移、切割、展開、伸縮等多種操作，并能以動畫的形式展示圖形的變換過程，在動態(tài)演示的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解數(shù)學概念的本質。

GeoGebra軟件的圖形運動功能和圖形動態(tài)生成功能可以幫助教師將抽象的數(shù)學概念具象化，讓學生更加直觀地理解數(shù)學概念。例如在簡單幾何體的表面積與體積的教學中，可以借助軟件滑動條的啟動動畫功能演示圓錐側面的展開過程，將三維的立體圖形轉化為二維的平面圖形，讓學生直觀感知圓錐側面的展開圖是一個扇形，從扇形面積公式的角度理解圓錐的側面積公式。在基本立體圖形的教學中，可以在軟件3D繪圖區(qū)域設置矩形繞著自身一條邊旋轉，演示圓柱的形成過程，利用平行于錐體底面的平面切割錐體，演示臺體的形成過程。通過平面圖形的運動變換，生動、直觀地演示立體圖形的生成過程和主要性質，突破傳統(tǒng)課堂上利用靜態(tài)圖形教學的局限性。

（二）可視化解題，構建數(shù)學建模思想

立體幾何問題對學生抽象思維要求很高，學生需要將實際問題情境抽象為幾何形狀，并進行相應的計算。學生習慣于平面幾何的思維方式，對于解決立體幾何中三維空間關系問題可能難以找到切入點。而GeoGebra軟件的3D建模功能為解決立體幾何問題提供了方法。操作者可以根據(jù)題目的要求，選擇合適的工具在相應的功能區(qū)構建數(shù)學模型，將文字語言轉化為更加直觀、形象的圖形語言，使數(shù)學問題以可視化的形式呈現(xiàn)，降低思維突破的難點，更容易找到解決問題的關鍵點。

GeoGebra軟件的可視化解題功能對于學生構建數(shù)學建模思想有很大的作用，學生在反復使用軟件的建模功能解決立體幾何問題的過程中，既提高了數(shù)學建模的能力，也培養(yǎng)了主動構建數(shù)學模型的思想。例如平面與平面垂直有一道較為典型的例題，涉及建筑工人砌墻時常用鉛錘來檢測墻面是否與地面垂直，其中蘊含的數(shù)學道理就可以借助軟件的3D繪圖功能來體會。繪制一個平面比作地面，將鉛錘的細線比作垂直于平面的直線，鉛錘的細線緊貼墻面可以視為一個平面穿過這條直線，此時就構建出了這個問題的數(shù)學模型。學生通過觀察不難發(fā)現(xiàn)前后兩個平面是相互垂直的，進而聯(lián)想到使用平面與平面垂直的判定定理解決此問題。

（三）交互式探索，提升學生自主探究能力

數(shù)學探索有助于激發(fā)學生學習立體幾何的主動性和創(chuàng)造性，通過自主探索、分析、推理，能夠深入地理解立體幾何的概念、性質和定理。GeoGebra軟件在立體幾何方面提供了豐富的工具，為交互式探索立體幾何知識提供了途徑。操作者可以自主繪制和組合圖形、計算物體體積和表面積、展示圖形不同視角、實時觀察和修改圖形等，并能以文件的形式相互分享和交流，共同學習和進步。

GeoGebra軟件支持學生自主探究幾何對象的性質和特點，通過親自動手操作，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，提升自身的探究能力。學生可以通過點擊、拖拽、旋轉等多種操作，創(chuàng)建種類多樣的數(shù)學模擬和實驗，借助軟件的測量工具觀察各個對象之間的數(shù)值變化，從而發(fā)現(xiàn)操作對象的性質和特點。例如在球的表面積和體積的教學中，教師可以使用軟件制作好用排水法求小球體積的動態(tài)模型，讓學生自主操作軟件，演示小球完全浸入液體的全過程，并改變小球的大小，利用軟件的測量工具計算不同體積大小的小球浸入液體前后液體的體積變化情況，從而發(fā)現(xiàn)液體體積的變化和小球體積之間的關系。

五、ACT-R理論和GeoGebra環(huán)境下立體幾何教學設計框架

基于ACT-R理論下立體幾何教學設計的策略，結合GeoGebra軟件在立體幾何教學應用中的優(yōu)勢，以《數(shù)學教學設計與案例分析》一書中數(shù)學教學設計的三個階段為依據(jù)，構建立體幾何教學設計的基本框架，如圖1所示。

根據(jù)教學設計的三個階段界定階段、開發(fā)階段和評估階段，將立體幾何教學的基本流程分為課前、課中和課后。課前包含教學內容分析、學生情況分析、編制教學目標和設計教學流程，主要依據(jù)ACT-R理論梳理教材內容結構，對教學目標和學習任務進行分解。根據(jù)獲取認知技能的過程將課中分為認知階段、知識編碼階段、自動化階段，注重結合GeoGebra軟件的動態(tài)化演示、可視化解題、交互式探索等優(yōu)勢，幫助學生深化挖掘立體幾何知識的定義定理。課后整理每節(jié)課的知識點，梳理知識體系，并檢測反思，完成教學目標。

（一）課前階段

教學內容分析包括知識背景分析、教學功能分析、內容結構分析、學習任務分析、學習要素分析。知識背景方面，注重介紹幾何學的發(fā)展歷程，高中立體幾何和初中平面圖形之間的聯(lián)系，立體幾何在生產(chǎn)生活中的應用。教學功能方面，了解每節(jié)課內容在整個立體幾何知識體系中的地位和作用，以及對于發(fā)展學生知識價值、智力價值、思想教育價值的意義。內容結構方面，ACT-R理論認為復雜的認知過程是由微小的知識單元組合而成的，應明確立體幾何章節(jié)教材內容的層次性特征、構成要素、組合方式，對某一課時的相關內容進行結構分析，厘清知識點之間的關系，明確蘊含在知識結構中的數(shù)學思想方法。學習任務方面，明確學生每節(jié)課所要形成的終點能力，進而確定為了形成終點能力學生需要掌握的先決技能，得出學生必須掌握的起點能力。學習要素方面，引入立體幾何實物模型等感性材料，選取具有代表性的例題用數(shù)學語言書寫詳細的證明過程，為學生作答樹立規(guī)范，布置不同難度的習題，檢測學生對知識的掌握程度。

學情分析是教學目標設定的基礎，是教學策略和教學活動的落腳點。在進行學情分析時，考慮學生的基礎知識掌握情況、學習興趣和動力、學習能力和方法、學習需求和期望，全面、深入地了解學生的學習情況，以便更好地制訂教學計劃、選擇合適的教學方法、設計有效的教學活動。既要注重學生的整體性，也要顧及個體特征，體現(xiàn)以學生為中心的教學思想。

教學目標是教學活動預期達到的效果。立體幾何教學目標的制訂應以課程標準為依據(jù)，以數(shù)學核心素養(yǎng)為導向，明確本章節(jié)的學業(yè)要求和學生每節(jié)課所要達到的目標。根據(jù)ACT-R目標層級理論，對每節(jié)課的學習目標進行分級，明確學生在每個環(huán)節(jié)需要達到的子目標，為課堂教學提供清晰的思路，使學生習得的知識更加有條理。

教學流程的設計需要考慮教學內容、教學目標和教學方法等因素，以保證教學過程的連貫性。立體幾何的學習多為概念認知、公式定理的推導和應用。在教學中，應注重情境的創(chuàng)設，加強學生對立體幾何知識的深層理解；運用類比的教學方法，促進學生遷移新舊知識；利用GeoGebra軟件構建數(shù)學模型，解決數(shù)學問題，幫助學生形成數(shù)學建模思想；選擇具有代表性的數(shù)學練習，提高學生的學習效率；使用GeoGebra軟件動態(tài)演示概念、定理的生成過程，使得數(shù)學概念具象化；鼓勵學生使用軟件探索數(shù)學問題，提升學生的自主探究能力。

（二）課中階段

認知階段是激活和提取信息塊的過程，應注重問題情境的創(chuàng)設、學習任務的分解、數(shù)學模型的演示。在導入環(huán)節(jié)，創(chuàng)建與現(xiàn)實生活相聯(lián)系的實際情境，激發(fā)學生探索的興趣和好奇心，通過提供大量與生活密切相關的實物模型，使陳述性知識以直觀化的形式呈現(xiàn)，學生經(jīng)歷直觀感知的階段，加快信息塊的激活和提取速度。在探索問題的過程中學生可能有不同想法，教師不應否定，而是進行指正，幫助學生更新陳述性知識。根據(jù)ACT-R目標層級理論，教師在教學過程中，引導學生明確本節(jié)課的學習任務，并對學習任務進行分解，確定需要解決問題的先決條件，為學生解決問題指引正確方向。借助GeoGebra軟件制作立體幾何動態(tài)模型，演示相關定義的生成過程，可讓學生能夠更加直觀地理解相關概念。

知識編碼階段是陳述性知識向程序性知識轉化和學生形成新的產(chǎn)生式規(guī)則的階段，應注重信息技術的應用、例題的選擇、類比思想的運用。借助GeoGebra軟件模擬數(shù)學實驗，讓學生通過觀察，直觀感知數(shù)學定理的生成條件。ACT-R理論提倡精致練習，應選擇具有代表性的題目，幫助學生掌握解決某一類問題的一般方法。借助GeoGebra軟件構建習題的幾何模型，以便學生尋找解決問題的突破口。ACT-R理論將類比作為知識編碼的重要手段，教學中引導學生類比平面知識和幾何知識，建立其與立體幾何知識之間的聯(lián)系，實現(xiàn)高效的認知任務處理。通過變式練習，學生學會在不同的情境中應用已有的知識、技能、經(jīng)驗解決問題，形成程序性知識。

在自動化階段，學生已經(jīng)能夠熟練運用新知識，在解決問題時不再依賴于回憶陳述性知識，而是直接從已有的程序性知識中找到解決問題需要運用的公式定理。在這一階段可以布置更為復雜的綜合性題目，提高學生產(chǎn)生式規(guī)則自動化的速度，培養(yǎng)學生的自主解題能力和知識綜合運用能力。另外，教師需要對每節(jié)課進行總結，回顧重點內容，幫助學生查漏補缺，完善知識結構。在整個課中階段，應遵循ACT-R理論的生成性、直觀性、精致性、遷移性等原則，確保教學設計的有效性和高效性，還應根據(jù)學生的實際情況，靈活調整教學內容，滿足學生的個性化需求。

（三）課后階段

課后階段是對每節(jié)課的檢測反思，是陳述性知識向程序性知識轉化的重要環(huán)節(jié)。基于ACT-R理論，立體幾何課后階段應著重于知識的鞏固、應用和創(chuàng)新，以及學習策略的優(yōu)化。引導學生整理每節(jié)課的知識點，梳理這些知識在本章節(jié)的意義以及與前后章節(jié)之間的聯(lián)系。布置不同類型、不同難度的課后練習，使學生得以鞏固課堂所學知識，掌握不同類型題目的解題技巧。根據(jù)學生的課堂表現(xiàn)和作業(yè)完成情況，評估學生的學習效果，并給予反饋和建議，及時調整下節(jié)課的教學內容，不斷完善學生的知識體系。鼓勵學生進行自主學習和探索，如閱讀相關書籍、觀看線上視頻等，拓展學生的知識面和視野，利用GeoGebra軟件自主探索立體幾何圖形的性質和特點，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)探究能力和創(chuàng)新能力。還要鼓勵學生進行自我反思，發(fā)現(xiàn)自身的不足，不斷改進和提高。

六、總結

立體幾何是高中數(shù)學課程的重要內容，文章以ACT-R理論為依據(jù)，對立體幾何教學設計提出“注重情境創(chuàng)設，強調生成性學習”“構建目標層級，習得程序性知識”“運用類比思想，促進知識遷移”“精致變式練習，強化產(chǎn)生式”等策略。并且根據(jù)GeoGebra軟件的特點，總結其在立體幾何教學應用中具有“動態(tài)化演示，促使數(shù)學概念具象化”“可視化解題，構建數(shù)學建模思想”“交互式探索，提升學生自主探究能力”等優(yōu)勢。最后基于ACT-R理論對立體幾何教學設計的策略和GeoGebra軟件在立體幾何教學應用中的優(yōu)勢，構建立體幾何教學設計的基本框架?；诖丝蚣艿牧Ⅲw幾何教學能有效解除學生的認知障礙和基本技能障礙，極大提高教學效果。

【參考文獻】

［1］趙曉薇．基于ACT-R理論的立體幾何教學設計研究［D］．金華：浙江師范大學，2023：30．

［2］梅杰．基于ACT-R理論的高中立體幾何教學優(yōu)化設計研究［D］．濟南：山東師范大學，2023：摘要Ⅰ．