高效課堂構(gòu)建中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中被廣泛運(yùn)用。妙用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建高效課堂，化繁為簡，化難為易，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加具體、形象，可幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?；诖?，文章闡釋數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)和內(nèi)涵，剖析其在教學(xué)實(shí)踐中凸顯的問題，探討妙用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建高效課堂的途徑。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；內(nèi)涵

【中圖分類號(hào)】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號(hào)】1004—0463（2024）13—0053—03

數(shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化解決問題的思想方法。所謂的“數(shù)”主要包括與生活經(jīng)驗(yàn)緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系；所謂“形”主要包括實(shí)物、幾何圖形、線段圖、數(shù)軸、點(diǎn)子圖、方格圖、表格和一些用于解決問題的創(chuàng)新性圖例等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能化繁為簡、化難為易、化抽象為具體。在教學(xué)中，教師若能引導(dǎo)學(xué)生巧妙、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生就可以比較容易認(rèn)識(shí)和理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)起到事半功倍的效果。

一、理論綜述

華羅庚先生曾經(jīng)富有詩意地描述數(shù)形結(jié)合思想：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”抽象性不能舍棄直觀性，直觀性也不能代替精確性。少了形，數(shù)就不易理解；少了數(shù)，形就不夠精準(zhǔn)[1]?？v觀數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，從最遠(yuǎn)古的結(jié)繩記事、伏羲畫卦伊始，數(shù)和形與生俱來不分離，它們之間的密切聯(lián)系，是由數(shù)學(xué)自身固有的特點(diǎn)所決定的，也是人的數(shù)學(xué)思維從形成到發(fā)展的必然途徑。

有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的研究，一直都是數(shù)學(xué)研究者關(guān)注的焦點(diǎn)，其相關(guān)研究論述頗多，然而重新審視其本質(zhì)，探析其在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮作用的路徑還是非常必要的。當(dāng)前，在這方面的研究現(xiàn)狀大致呈現(xiàn)如下特征：數(shù)形結(jié)合提法多，實(shí)踐應(yīng)用少；涉及初中的多，與小學(xué)教學(xué)相關(guān)的少；單純講方法的多，綜合談思想發(fā)展的少?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》由“兩基”到“四基”理念的落實(shí)，迫切需要既能切實(shí)提高教學(xué)質(zhì)量，又能發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體著力點(diǎn)和抓手。由此，數(shù)形結(jié)合思想成為數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方法之一。

當(dāng)前課堂教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想還存在諸多問題，比如內(nèi)涵理解不夠深刻、思想體現(xiàn)不夠充分、實(shí)踐應(yīng)用不夠深入等問題。具體表現(xiàn)在部分教師采用題海戰(zhàn)術(shù)提高成績，忽略了學(xué)生思考問題的過程，不知不覺中簡化、省略了數(shù)形結(jié)合的過程，導(dǎo)致小學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中過于突兀、思維斷層，既不利于知識(shí)的掌握，也不利于思維的發(fā)展。還有部分教師不能準(zhǔn)確把握數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)和內(nèi)涵，僅憑自己的經(jīng)驗(yàn)套用數(shù)形結(jié)合方法，其結(jié)果是本欲簡化，反而越弄越復(fù)雜，教學(xué)偏離了課堂目標(biāo)。所以，從構(gòu)建高效課堂教學(xué)模式入手，深入推進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想在教師與學(xué)生中的落實(shí)，有著十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

二、存在的問題

隨著新課程改革的持續(xù)推進(jìn)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用得到了教師們的普遍認(rèn)可。然而，許多教師在實(shí)際教學(xué)中仍面臨諸多問題，導(dǎo)致教師在教學(xué)實(shí)踐中未能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)效果。

1.內(nèi)涵理解膚淺。許多教師把數(shù)形結(jié)合思想簡單理解為以圖形的方式解決數(shù)量關(guān)系的難題，忽視了數(shù)量關(guān)系在認(rèn)識(shí)圖形性質(zhì)和特征方面的作用。這表明多數(shù)教師對(duì)該思想的理解還浮于表面，缺乏對(duì)“數(shù)”和“形”之間相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的辯證認(rèn)識(shí)，也說明在理論知識(shí)的學(xué)習(xí)與探究方面較為淺顯。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)簡單。教學(xué)設(shè)計(jì)的目的是實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)目標(biāo)，多數(shù)教師應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的頻率低，教學(xué)設(shè)計(jì)大多參照教學(xué)用書或網(wǎng)絡(luò)資料，照搬照抄，缺乏實(shí)用性。由于多數(shù)教師不重視目標(biāo)架構(gòu)中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的融入，導(dǎo)致學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)不高。

3.應(yīng)用不夠深入。首先，應(yīng)用內(nèi)容選擇不全。以北師大教材為例，各領(lǐng)域數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)形式不同，教師若僅僅將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于部分領(lǐng)域，如“數(shù)與代數(shù)”，就會(huì)造成學(xué)生對(duì)知識(shí)和思想的理解不深不全。其次，應(yīng)用時(shí)機(jī)把握不準(zhǔn)。部分教師難以找到數(shù)形結(jié)合的切入點(diǎn)，課堂隨意性較大，影響教學(xué)效果。此外，還有滲透方式單一。許多教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的融入缺乏針對(duì)性和靈活性。最后，缺乏應(yīng)用激勵(lì)。教師評(píng)價(jià)更關(guān)注問題的結(jié)果，忽視學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的思路和方法剖析。

三、創(chuàng)新課堂，提升效果

1.準(zhǔn)確把握數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)和內(nèi)涵。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。數(shù)形結(jié)合就是把數(shù)和形結(jié)合起來思考，共同發(fā)揮在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的獨(dú)特作用，并能夠根據(jù)數(shù)量關(guān)系與空間形式呈現(xiàn)于現(xiàn)實(shí)世界，其本質(zhì)就是將數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與聯(lián)系以一種更容易理解的方式解釋[2]。其方式大致分為兩種：一種是將較為抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系圖示化，使其直觀明了；另一種是將形象的幾何圖形采用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)量關(guān)系表達(dá)，使其把特征和內(nèi)在聯(lián)系數(shù)量化，可計(jì)算。這是因?yàn)椤皵?shù)”和“形”之間本就有著相互依存和對(duì)應(yīng)的關(guān)系，故而使其轉(zhuǎn)化勢(shì)在必行。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問題有兩大呈現(xiàn)形式：一是數(shù)量關(guān)系，一是空間形式。在教學(xué)中將其結(jié)合起來思考，讓“數(shù)”和“形”各自發(fā)揮其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，使數(shù)學(xué)問題的解決由難而易，由繁而簡，最終在數(shù)學(xué)問題的解決過程中實(shí)現(xiàn)知識(shí)構(gòu)建和思想發(fā)展的統(tǒng)一，形象思維與邏輯思維的統(tǒng)一。

2.依據(jù)學(xué)生的發(fā)育特征，化“抽象”為“直觀”。小學(xué)生的思維依賴于可視化素材，利用素材的外在形象感知和理解周圍的世界。從形象思維向抽象邏輯思維的過渡中，小學(xué)階段是重要的轉(zhuǎn)折期，而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟是實(shí)現(xiàn)這一過渡和轉(zhuǎn)變的重要媒介和載體。這個(gè)學(xué)段的孩子盡管已經(jīng)初步產(chǎn)生了一定的抽象邏輯思維，但還在萌芽期，既不明朗，也不完整。此時(shí)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)勢(shì)必依賴于具體的形象，復(fù)雜而抽象的數(shù)量關(guān)系需借助于直觀的圖示展現(xiàn)。將抽象的“數(shù)”與直觀的“形”結(jié)合起來思考，并根據(jù)數(shù)學(xué)問題的特征將它們相互轉(zhuǎn)化，促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的順利解決，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

3.“以形助數(shù)”，使抽象的數(shù)量關(guān)系可視化。數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的基石，也是培養(yǎng)學(xué)生思維的源泉。思考數(shù)學(xué)問題、表達(dá)與運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)都離不開數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)量關(guān)系的掌握程度直接影響他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的體系化構(gòu)建和創(chuàng)造性運(yùn)用。所以，在教學(xué)抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系時(shí)，教師要盡可能用直觀、形象的圖示呈現(xiàn)，便于學(xué)生直觀理解，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，建立完整而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)體系。不管是北師大版，還是其他教材版本，其編排體例大多采用了雙線構(gòu)造模式，其中一條是“明線”，另一條是“暗線”。前者以數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建和應(yīng)用為主導(dǎo)，類似于“骨架”，后者以培養(yǎng)思維能力、發(fā)展數(shù)學(xué)思想為鋪設(shè)，充當(dāng)著“靈魂”。教師在備課時(shí)就要深入挖掘教材，理解教材編排者的設(shè)計(jì)意圖和體例、特色等，準(zhǔn)確把握教材中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的表達(dá)方式，由此確定富含數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)策略，提高駕馭教材的能力。同時(shí)在課堂上選擇恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)和適宜的方式將數(shù)形結(jié)合思想滲透到教學(xué)環(huán)節(jié)中，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在化難為易，化繁為簡等方面的優(yōu)勢(shì)。

4.“以數(shù)解形”，使直觀的形象思維精密化。叔本華認(rèn)為世界是表象的。雖然客觀世界在人的感知中是以具體形象的外在圖景呈現(xiàn)的，但作為認(rèn)識(shí)這一外在圖景的嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)科——數(shù)學(xué)，就需要對(duì)圖形的特征和內(nèi)在關(guān)聯(lián)進(jìn)行數(shù)量化的計(jì)量和周密性的研究，如三角形內(nèi)角和、等腰三角形邊的關(guān)系的量化、角的關(guān)系的確定等。

“以數(shù)解形”是以數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系為工具，憑借“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性，以更精密的維度解釋和闡述幾何圖形的外在形態(tài)、內(nèi)在結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，使學(xué)生更深入地把握幾何圖形自身所固有的規(guī)律性。因此，教師在教學(xué)中需要深入挖掘教材內(nèi)容中有關(guān)幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系，在形和數(shù)的特定對(duì)應(yīng)聯(lián)系中，采取一定的教學(xué)策略引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)量關(guān)系和抽象符號(hào)表達(dá)圖形。比如，在長方形的認(rèn)識(shí)中，對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角等這些特性的感知認(rèn)識(shí)是淺層的，還需加強(qiáng)對(duì)周長和面積計(jì)算方面的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)從直觀的特征感知到簡明的公式表達(dá)的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)小學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)由形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰统橄蟾爬芰Α?/p>

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想不僅可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，還可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力。教師在教學(xué)中，通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜的知識(shí)簡單化，抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，促使學(xué)生深入理解疑難問題，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]鈕曉東.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，提升數(shù)學(xué)計(jì)算能力[J].中學(xué)生作文指導(dǎo)，2021（26）：112.

[2]朱向明.為思維發(fā)展而教：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2023（04）：05-10.

編輯：徐春霞