指向多元聯(lián)結(jié)的小學(xué)數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)

【摘 要】數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵能力。小學(xué)數(shù)學(xué)命題體現(xiàn)聯(lián)結(jié)思想，能促進(jìn)教師結(jié)構(gòu)化地教、學(xué)生有關(guān)聯(lián)地學(xué)。教師在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)時，應(yīng)注重聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識、其他學(xué)科、現(xiàn)實(shí)情境和學(xué)生自身，從而促進(jìn)學(xué)生培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維，發(fā)展跨界融通能力，提升應(yīng)用遷移能力，形成反思的內(nèi)在自覺。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；多元聯(lián)結(jié)；命題設(shè)計(jì)；結(jié)構(gòu)化思維；融通能力；應(yīng)用意識；內(nèi)在自覺

【中圖分類號】G623.5" 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）25-0052-04

【作者簡介】王玉東，江蘇省海安市教師發(fā)展中心附屬小學(xué)（江蘇海安，226600）副校長，高級教師，南通市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，南通市優(yōu)秀教育工作者，江蘇省教科研先進(jìn)個人。

2000年4月，美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會在其頒布的《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則與標(biāo)準(zhǔn)》中提出了6項(xiàng)數(shù)學(xué)能力，其中之一便是“數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力”。數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)能力是指學(xué)生在知識關(guān)聯(lián)、思維轉(zhuǎn)換、方法遷移等方面的能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）強(qiáng)調(diào)基于“整體性”思維，建立廣泛而多樣的聯(lián)結(jié)：內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部知識的聯(lián)結(jié)；跨學(xué)科學(xué)習(xí)，推動數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的聯(lián)結(jié)；創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會生活的聯(lián)結(jié)；反思學(xué)習(xí)過程，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生自我的聯(lián)結(jié)。評價具有導(dǎo)向功能。在小學(xué)數(shù)學(xué)命題中注重考查學(xué)生的聯(lián)結(jié)能力，能促進(jìn)教師結(jié)構(gòu)化地教，推動學(xué)生有關(guān)聯(lián)地學(xué)。

一、聯(lián)結(jié)內(nèi)部知識，培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維

無論是在相同內(nèi)容領(lǐng)域還是在不同內(nèi)容領(lǐng)域，數(shù)學(xué)知識之間都有著千絲萬縷的聯(lián)系。如果學(xué)生通過學(xué)習(xí)只能獲得一些孤立的、零散的、靜態(tài)的知識點(diǎn)，而不能形成知識塊、建立知識網(wǎng)，那么這些知識就會缺乏吸附力和生長力。以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的命題，要考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識之間邏輯關(guān)系的理解，促進(jìn)他們對知識點(diǎn)形成由點(diǎn)到鏈的縱向聯(lián)結(jié)；要考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解以及對通性通法的把握，促進(jìn)他們對知識點(diǎn)形成由木到林的橫向聯(lián)結(jié)，如下面兩道題。

【試題1】請?jiān)谙旅娴募先Γㄈ鐖D1）中填上合適的數(shù)學(xué)概念。

試題1通過讓學(xué)生填寫韋恩圖，考查他們對概念之間親緣關(guān)系的理解，這些邏輯關(guān)系主要包括從屬關(guān)系、并列關(guān)系、交叉關(guān)系，需要學(xué)生調(diào)動已有經(jīng)驗(yàn)，檢索相關(guān)概念，并厘清它們之間的關(guān)系，從而進(jìn)行合理的填寫。在教學(xué)中，教師應(yīng)重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，引導(dǎo)學(xué)生建立能體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、對其未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系。

【試題2】在小學(xué)階段，我們分別學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘法，它們在計(jì)算方法上體現(xiàn)了一致性。如20×30=（2×10）×（3×10）=（2×3）×（10×10）=6×100=600、0.2×0.3=（2×0.1）×（3×0.1）=（2×3）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06、[25]×[34]=（2×[15]）×（3×[14]）=（2×3）×（[15]×[14]）=6×[120]=[620]。（1）在“20×30”中，10×10求出了新的計(jì)數(shù)單位100；在“0.2×0.3”中，0.1×0.1求出了新的計(jì)數(shù)單位（" " "）；在“[25]×[34]”中，（" " "）×（" " "）求出了新的計(jì)數(shù)單位（" " "）。三道算式中，都用2×3求出了新計(jì)數(shù)單位的個數(shù)（" " "）。（2）整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法有什么共同點(diǎn)？（3）在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法中，哪種數(shù)的計(jì)算方法也能解決其他兩種數(shù)的計(jì)算？試用上面的算式說明。

“數(shù)與運(yùn)算的一致性”指的是不同數(shù)域間數(shù)與運(yùn)算本質(zhì)的、共性的特征。無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都是用計(jì)數(shù)單位數(shù)出來的，它們的計(jì)算都是確定計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個數(shù)的過程。試題2旨在讓學(xué)生歸納三類計(jì)算在算理上的一致性，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：整數(shù)乘法、小數(shù)乘法都可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來計(jì)算，即分?jǐn)?shù)乘法可以作為整數(shù)、小數(shù)乘法的通用算法。

二、聯(lián)結(jié)其他學(xué)科，培養(yǎng)學(xué)生的融通能力

在解決復(fù)雜問題時，往往需要綜合運(yùn)用本學(xué)科與其他學(xué)科的知識。新課標(biāo)在前言部分指出：設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動，加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動課程綜合化實(shí)施，強(qiáng)化實(shí)踐性要求。教師教學(xué)時要注意打破學(xué)科壁壘，注重跨界整合，發(fā)展學(xué)生的綜合素養(yǎng)。評價是撬動數(shù)學(xué)課程改革的杠桿，命題設(shè)計(jì)增加高質(zhì)量的跨學(xué)科類試題已成當(dāng)務(wù)之急。數(shù)學(xué)跨學(xué)科試題主要有背景支撐型、建模闡釋型、綜合拓展型等，教師可以根據(jù)需要合理采用，如下面兩道題。

【試題3】長征途中，三位女紅軍借宿到老百姓徐解秀家中。臨走前，她們把自己僅有的一床被子剪下一半留給她。徐解秀說：“什么是共產(chǎn)黨？共產(chǎn)黨就是自己有一條被子，也要剪下半條給老百姓的人。”（1）“半條被子”用[（" " "）/（" " "）]表示，請你在點(diǎn)子圖上表示出它的大小。（2）送出半條被子后，平均每位紅軍蓋[（" " "）（" " "）]條被子，先在點(diǎn)子圖上分一分、畫一畫，再填一填。（3）下圖（如圖2）是微視頻《半條被子，溫暖中國》的播放界面，觀察進(jìn)度條，已經(jīng)播放的時長大約是紀(jì)錄片總時長的[（" " "）（" " "）]。

試題3實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科和道德與法治學(xué)科之間的聯(lián)結(jié)。在2021年，教育部出臺了《革命傳統(tǒng)進(jìn)中小學(xué)課程教材指南》。試題3回應(yīng)指南要求，巧用長征途中“半條被子”的題材，凸顯了紅軍戰(zhàn)士以人民為中心的立場，使學(xué)生受到了長征精神的洗禮。值得注意的是，情境本身蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)元素，根據(jù)學(xué)生借助點(diǎn)子圖“做數(shù)學(xué)”的情況，可以考查他們對分?jǐn)?shù)意義的理解，特別是對不同單位“1”的把握。另外，根據(jù)微視頻的進(jìn)度條寫分?jǐn)?shù)，能考查學(xué)生量感的發(fā)展水平。

【試題4】研究表明：蟋蟀鳴叫的次數(shù)與室外溫度有關(guān)。例如，當(dāng)室外溫度為76℉（華氏溫標(biāo)單位）時，一只蟋蟀每分鐘鳴叫144次。如果這種關(guān)系不變（如下表），那么當(dāng)室外溫度為88℉時，這只蟋蟀每分鐘會鳴叫（" " ）次；根據(jù)華氏度=32℉+攝氏度×1.8，這只蟋蟀每分鐘鳴叫184次時，室外溫度是（" " "）℃。

這道題是數(shù)學(xué)學(xué)科與科學(xué)學(xué)科跨界融合類的題目，考查學(xué)生借助數(shù)學(xué)模型來表達(dá)科學(xué)規(guī)律、解釋自然現(xiàn)象的能力。一方面，需要學(xué)生通過觀察、比較、分析等方法概括出溫度變化與蟋蟀鳴叫次數(shù)變化之間的數(shù)量關(guān)系，也就是溫度增加2℉，鳴叫次數(shù)就會增加8，進(jìn)而在橫向?qū)Ρ戎薪鉀Q問題；另一方面，由鳴叫次數(shù)推算溫度以及根據(jù)華氏度推算攝氏度，則需要學(xué)生逆向思維，運(yùn)用方程、倒推等方法解決問題。

三、聯(lián)結(jié)現(xiàn)實(shí)情境，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識

華東師范大學(xué)崔允漷教授認(rèn)為：核心素養(yǎng)具有整體性、情境性和反思性。新課標(biāo)在學(xué)業(yè)質(zhì)量描述中指出，數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)主要從三個方面來評估學(xué)生核心素養(yǎng)達(dá)成及發(fā)展情況，“從學(xué)生熟悉的生活與社會情境，以及符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)與科技情境中，在經(jīng)歷‘用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的思維與數(shù)學(xué)的語言分析和解決問題’的過程中所形成的模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等”是其中之一。教師進(jìn)行命題設(shè)計(jì)時可以基于真實(shí)情境，讓學(xué)生圍繞一類知識，或綜合運(yùn)用多類知識解決問題，如下面兩道題。

【試題5】新寧公園內(nèi)在規(guī)劃綠地和便民休息場所。通過對附近居民展開問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大家都希望綠地多一些，為此，公園管理處設(shè)計(jì)了兩種方案（如圖3）。哪種方案更符合居民的需求？請把你的思考過程寫下來。

這是一道生活情境中的問題，源自人們的現(xiàn)實(shí)需要，一方面體現(xiàn)了決策者必須尊重民意，而民意的獲取可以依托調(diào)查統(tǒng)計(jì)，用數(shù)據(jù)說話；一方面考查了學(xué)生對圓的面積與直徑關(guān)系的理解。

【試題6】某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價的80%出售。

若消費(fèi)金額不足1000元，則按下表所示的方案獲得相應(yīng)金額的獎券：

若消費(fèi)金額不小于1000元，則在現(xiàn)有優(yōu)惠的條件下再打七五折。

根據(jù)上述促銷方法，顧客在商場內(nèi)購物可以獲得雙重優(yōu)惠。例如：購買標(biāo)價為600元的商品，消費(fèi)金額為600×80%=480元，獲得的優(yōu)惠額為600×（1-80%）+60=180元，設(shè)購買該商品得到的優(yōu)惠率=購買商品獲得的優(yōu)惠額÷商品的標(biāo)價。（1）購買標(biāo)價為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？（2）在雙重優(yōu)惠下，當(dāng)購買標(biāo)價是多少的商品時，可以得到[13]的優(yōu)惠率？

試題6是一道比較復(fù)雜的題目，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用百分?jǐn)?shù)、方程等知識解決實(shí)際問題的能力。其一，在情境方面，既有送獎券的優(yōu)惠，又有打折的優(yōu)惠；既有基于標(biāo)價的優(yōu)惠，又有基于消費(fèi)金額的優(yōu)惠。其二，在解題方法方面，對于問題（1），學(xué)生尚能輕松地解決，但對于問題（2），學(xué)生則需根據(jù)不同的區(qū)間來進(jìn)行假設(shè)、計(jì)算、判斷、調(diào)整。這道題融合了諸多知識點(diǎn)，能促進(jìn)學(xué)生整合知識和遷移應(yīng)用方法解決問題等方面能力的發(fā)展。

四、聯(lián)結(jié)學(xué)生自身，喚醒其內(nèi)在自覺

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力……通過反思才能使現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化?！痹u價應(yīng)關(guān)注學(xué)生能否不斷反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，并改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。教師進(jìn)行命題設(shè)計(jì)時，不僅要考查學(xué)生的解題方法和解題結(jié)果，還要考查他們調(diào)用已有經(jīng)驗(yàn)評價反思解題過程的能力，如下面兩道題。

【試題7】先口算，再回答問題：你覺得哪道題比較容易出錯？為什么？你能再出一道類似的題目嗎？

試題7打破了以往只需要學(xué)生口算出答案的慣例，考查他們對易錯題型和算法的關(guān)注，以及日常的積累。在日常教學(xué)中，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生回頭看，促進(jìn)他們對自己的錯誤進(jìn)行歸類整理、反思矯正。

【試題8】下圖（如圖4）是四位同學(xué)計(jì)算14×12的思考過程。

（1）觀察圖中的各圖和對應(yīng)算式，思考過程合理的有（" " ）個。（2）比一比，這些方法有什么共同點(diǎn)？（3）你覺得哪一種方法適合所有的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的情況，為什么？

試題8主要考查學(xué)生對兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算算理的理解，需要學(xué)生觀察、分析、比較、判斷，涉及的素養(yǎng)表現(xiàn)有幾何直觀、推理能力等。同時，考查學(xué)生依托各種表征進(jìn)行質(zhì)疑反思的能力，學(xué)生既要能發(fā)現(xiàn)先分后合策略背后的數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，又要能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)妙妙方法的普適性和一般性。由此，教師教學(xué)時既要引導(dǎo)學(xué)生通過多元表征充分展示知識產(chǎn)生的過程，又要引導(dǎo)他們回顧反思探索過程，促使他們既獲得工具性理解也獲得關(guān)系性理解。

綜上所述，指向多元聯(lián)結(jié)的小學(xué)數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)要凸顯知識統(tǒng)整、注重學(xué)科融合、優(yōu)化情境創(chuàng)設(shè)、強(qiáng)化自我反省，倒逼課堂教學(xué)在整體關(guān)聯(lián)和學(xué)科實(shí)踐上發(fā)力，著力培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。

*本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度教育部重點(diǎn)課題“指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)簡約教學(xué)資源建設(shè)”（DHA190453）、江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度青年專項(xiàng)課題“對話視域下的數(shù)學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)實(shí)踐研究”（JS/2022/ZX0305-01355）階段性研究成果。