初中數(shù)學(xué)解題中側(cè)向思維的有效應(yīng)用

彭海燕

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生解題能力培養(yǎng)是教學(xué)的中點.初中數(shù)學(xué)題目類型比較多，解題方式多，為了能夠有效提高學(xué)生解題能力，注重學(xué)生解題思維培養(yǎng).側(cè)向思維屬于迂回思維，幫助學(xué)生突破解題，簡化解題過程，提高學(xué)生解題效率.本文結(jié)合具體的數(shù)學(xué)例題，就側(cè)向思維的應(yīng)用進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生更好地解題.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題；側(cè)向思維；應(yīng)用策略

解題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，通過解題，培養(yǎng)學(xué)生解題能力.側(cè)向思維作為重要的解題思維，引導(dǎo)學(xué)生分析問題本質(zhì)，明確問題解題思路，提高學(xué)生解題效率.作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)注重側(cè)向思維的培養(yǎng)，幫助學(xué)生掌握側(cè)向思維的應(yīng)用方式，能夠靈活用于數(shù)學(xué)解題中.

1 利用側(cè)向思維，解決因式分解問題

在初中數(shù)學(xué)中，因式分解是重要的知識內(nèi)容，此題難度有著較大的差別.在部分題目中，涉及到的項比較多，有些還有高次項.對于此類習(xí)題，注重課堂引導(dǎo)，讓學(xué)生掌握解題方法，鼓勵學(xué)生利用側(cè)向思維，解決問題.在具體解題時，對題目進(jìn)行分析，找出其中的規(guī)律，通過換元方式降次，利用已學(xué)知識解題.

例1 因式分解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）+15.

解析

在此題目中，涉及到的項較多，如果解題方法不當(dāng)，很難解題題目.在解題時，如果對因式進(jìn)行展開，會出現(xiàn)4次的高次項，可以利用側(cè)向思維分析解答.

解

原式（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）+15轉(zhuǎn)化為（x+1）（x+7）（x+3）（x+5）+15

即=（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15，令t=x2+8x+7，

所以 原式=t（t+8）+15=t2+8t+15=（t+3）（t+5），

所以 原式因式分解的結(jié)果是（x2+8x+10）（x2+8x+12）.

2 利用側(cè)向思維，解決最值問題

對于數(shù)學(xué)最值問題，是初中學(xué)生比較熟悉的題目，一些題目在解題時，可以結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解題，對于一些難度大，正面無法解答的題目，可以讓學(xué)生通過側(cè)向思維解題［1］.

例2 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點A是拋物線y=x2－2x+2上的一個動點，經(jīng)過A作x軸的垂線AC，垂足為C，以AC為對角線作矩形ABCD，連接BD，求解對角線BD的最小值______.

解析

通過對題目條件進(jìn)行分析，有關(guān)BD的條件很少，想要從正面解題，難度很大.在具體解題時，教師可以讓學(xué)生結(jié)合矩形的性質(zhì)，利用側(cè)向思維解題，找出BD與已知條件的關(guān)系，完成題目的解答.

解

因為y=x2－2x+2=（x－1）2+1，

所以拋物線的頂點坐標(biāo)是（1，1），

因為四邊形ABCD是矩形，

所以BD=AC，

因為AC⊥x軸，

所以AC的長度即是A點的縱坐標(biāo).

當(dāng)點A為拋物線的頂點時，點A距離x軸的距離最短，最小值為1.

所以對角線BD的最小值為1.

3 利用側(cè)向思維，解決角度問題

在初中數(shù)學(xué)解題中，涉及到角度值求解的問題.在此類習(xí)題解題時，解題方法比較多，利用側(cè)向思維可以簡化解題過程，提高學(xué)生解題效率.作為教師，結(jié)合具體的題目，與課堂分析側(cè)向思維解題過程，加深學(xué)生解題題目.

例3 ?如圖2所示，將圓O沿著弦AB進(jìn)行折疊，圓弧剛好經(jīng)過圓心O，點P是優(yōu)弧AMB上的點，那么∠APB的度數(shù)是______.

解析

在此題解題時，題目內(nèi)容學(xué)生比較熟悉，想要讓學(xué)生利用側(cè)向思維解題，需要對題目條件分析，利用圓的知識內(nèi)容，完成解題.想要求解角的度數(shù)，找出與其同一弦所對的圓心角度數(shù)，完成題目求解.

解

如圖3所示，作半徑OC⊥AB，垂足為D，連接OA、OB，

因為圓O沿著弦AB進(jìn)行折疊，圓弧剛好經(jīng)過圓心O，

所以O(shè)D=CD，所以O(shè)D=12OC=12OA，

所以∠OAD=30°，

因為OA=OB，所以∠ABO=30°，所以∠AOB=120°，

所以∠APB=12∠AOB=60°.

4 利用側(cè)向思維，解決方程問題

方程與函數(shù)密切相關(guān)，在解題時，通常將兩者進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尋找參數(shù)聯(lián)系，完成解題.在具體教學(xué)中，為了幫助學(xué)生掌握側(cè)向思維利用方式，可以引入專門問題，加強(qiáng)學(xué)生習(xí)題訓(xùn)練［2］.

例4 如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點M為直線y=2與x軸之間的動點，且M是拋物線y=x2+bx+c的頂點，則方程x2+bx+c的解的個數(shù)為______.

解析

在此題解題時，根據(jù)圖像進(jìn)行分析，利用側(cè)向思維，對題目問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即將根的數(shù)量求解轉(zhuǎn)化成函數(shù)與圖像交點個數(shù)問題.

解

根據(jù)拋物線y=x2+bx+c的圖象可知，拋物線與x軸沒有交點，即Δ＜0，

所以b2－4c＜0，

因為點M為直線y=2與x軸之間的動點，

所以點M的坐標(biāo)是（－b2，4c－b24），

所以0＜4c－b24＜2，即0＜4c－b2＜8，－8＜b2－4c＜0，

因為Δ=b2－4ac=b2－4（c－1）=b2－4c+4，

所以－4＜b2－4c+4＜4，

即：當(dāng)－4＜b2－4c+4＜0時，拋物線y=x2+bx+c與x軸沒有交點；

當(dāng)b2－4c+4=0時，拋物線y=x2+bx+c與x軸有一個交點；

當(dāng)0＜b2－4c+4＜4時，拋物線y=x2+bx+c與x軸有兩個交點.

5 結(jié)語

為了鍛煉學(xué)生解題能力，教師除了加強(qiáng)學(xué)生解題訓(xùn)練，還需要對解題方法進(jìn)行總結(jié)，結(jié)合課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，強(qiáng)化學(xué)生解題思維.側(cè)向思維作為重要的解題思維，可以引導(dǎo)學(xué)生找到問題本質(zhì)，提高學(xué)生解題效率.因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)注重側(cè)向思維的應(yīng)用，傳授學(xué)生側(cè)向思維應(yīng)用方法，讓學(xué)生能夠靈活利用側(cè)向思維解題.

參考文獻(xiàn)：

［1］饒旭芳.側(cè)向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用［J］.當(dāng)代教研論叢， 2019（12）：1.

［2］許明明.初中數(shù)學(xué)解題中側(cè)向思維的有效應(yīng)用［J］.天津教育， 2021（11）：2.