巧用圖形變換，妙解平面幾何問題

龐凰琴

【摘要】在初中幾何問題中，有時(shí)需要對(duì)圖象進(jìn)行變換實(shí)現(xiàn)題目條件的遷移或者等價(jià)轉(zhuǎn)化.如果能夠靈活運(yùn)用圖形變換，在某些情況下可以大大降低問題的難度.本文將結(jié)合幾道例題來談如何利用圖形變換解決平面幾何問題.

【關(guān)鍵詞】圖形變換；平面幾何；初中數(shù)學(xué)

常見的圖形變換形式有：平移，旋轉(zhuǎn)，對(duì)稱等.不同的變換形式意味著幾何量要滿足不同的性質(zhì).同時(shí)在變換的過程中還要根據(jù)已知條件和圖形特點(diǎn)作出適當(dāng)?shù)妮o助線.下面來看幾種不同類型的圖形變換問題.

典例分析

類型1 平移變換

例1 如圖1所示，在直角三角形ACB中，∠C= 90°，D、E兩點(diǎn)分別為CB、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，BE與AD的交點(diǎn)為P，BD=AC，AE=CD，求∠APE的度數(shù)大小.

解 如圖2所示，將線段BD沿BE的方向平移，平移的長(zhǎng)度為線段BE的長(zhǎng)度，得到新的線段DQ.

連接DQ、AQ，可知四邊形BDQE是平行四邊形，

其中EQ∥CD，DQ∥BE，

BD=EQ.

因?yàn)椤螩=90°，

所以∠AEQ=90°，即可得∠C=∠AEQ.

因?yàn)锽D=AC，

所以EQ=CA.

在△CAD和△EQA中，CA=EQ，∠ACD=∠QEA，CD=EA，

則△CAD≌△EQA.

所以AD=AQ，∠CDA=∠EAQ.

因?yàn)樵谥苯侨切蜛CB中，∠C=90°，

所以∠CAD+∠CDA=90°.

因?yàn)椤螩DA=∠EAQ，

則∠CAD+∠EAQ=90°，

所以∠DAQ=90°.

所以△QAD是等腰直角三角形，∠AQD=∠ADQ=45°.

因?yàn)镈Q∥BE，

所以∠APE=∠ADQ=45°.

評(píng)析 觀察題目，只有一個(gè)已知條件有關(guān)角的度數(shù)，所以對(duì)于題目所求的角的度數(shù)僅依靠角度之間的運(yùn)算肯定是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因此就要考慮從邊的角度處理.再觀察題目中的條件“BD=AC，AE=CD”，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)條件中涉及的邊在圖形上比較分散，因此考慮平移，從而使條件更加集中，產(chǎn)生更多的特殊角進(jìn)行運(yùn)算.

類型2 旋轉(zhuǎn)變換

例2 如圖3所示，已知△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，E、F兩點(diǎn)是BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，試證明：BE2+CF2=EF2.

證明 如圖4所示，將△ACF繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°.

因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，

所以AB=AC.

旋轉(zhuǎn)后AC邊與AB邊重合，即旋轉(zhuǎn)后的三角形為△ABD.

所以AD=AF，∠BAD=∠CAF，∠ABD=∠C=45°，BD=CF.

因?yàn)椤螮AF=45°，∠BAC=90°，

所以∠BAE+∠CAF=∠BAE+∠BAD=∠DAE=45°=∠FAE.

在△ADE與△AFE中，

AD=AF，∠DAE=∠FAE，AE=AE，

所以△ADE≌△AFE，

則EF=DE.

因?yàn)椤螪BE=∠ABD+∠ABC=90°，

所以EF2=DE2=BD2+BE2=BE2+CF2.

評(píng)析 對(duì)于本題所要證明的等式，易想到用勾股定理.而應(yīng)用勾股定理的前提是要有一個(gè)直角三角形，題目中“已知△ABC是等腰直角三角形”可得AB=AC，它們有著共同的端點(diǎn)的長(zhǎng)度相同的線段，因此可以考慮通過旋轉(zhuǎn)的方式來對(duì)圖形進(jìn)行變換.

類型3 對(duì)稱變換

例3 如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，存在A（-2，0）、B（0，4）、E（0，1）.將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′.當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo).

解 如圖6所示，將點(diǎn)B沿射線AE的方向平移AE線段的長(zhǎng)度得到點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，5）.

連接BM，易證四邊形BME′A′是平行四邊形，則A′B=E′M.

因?yàn)辄c(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′.

設(shè)AA′=n，則EE′=n，

點(diǎn)E′（n，1），即點(diǎn)E在直線y=1上.

作點(diǎn)M關(guān)于直線y=1的對(duì)稱點(diǎn)M′，

連接E′M′，則點(diǎn)M′（2，-3）.

當(dāng)B、E′、M′在同一條直線上時(shí)，BE′+E′M′最小，即此時(shí)A′B+BE′取得最小值.

設(shè)直線BM′的表達(dá)式為y=kx+b，

代入點(diǎn)B、M′的坐標(biāo)得k=-72，b=4，

所以直線BM′的表達(dá)式為y=-72x+4.

當(dāng)y=1時(shí)，x=67.

所以點(diǎn)E′（67，1）.

評(píng)析 對(duì)稱變換一般用于最短路徑，或者線段相加最小值類的問題.在“兩點(diǎn)之間線段最短”的基本定理下，通過對(duì)稱得到三點(diǎn)共線的條件，從而得到最小值.有時(shí)對(duì)稱變換亦可用于某些本身包含對(duì)稱性的圖形，如正方形、圓形等等.

結(jié)語

總的來說，要想靈活運(yùn)用圖形變換簡(jiǎn)化解題，最重要的一步就是選擇合適的變換方法.平移常用于題目中已知條件在圖形中距離較遠(yuǎn)、不夠集中的情況.而旋轉(zhuǎn)則主要用于同端點(diǎn)的等長(zhǎng)線段，在構(gòu)造全等三角形時(shí)經(jīng)常用到旋轉(zhuǎn)的方法.而對(duì)稱則適用于求解最小值或者是一些對(duì)稱圖形的情況.在實(shí)際的解題過程中，往往需要運(yùn)用多種轉(zhuǎn)換方法，學(xué)生需要根據(jù)題目的具體情境合理選擇.