淺談合同變換與平面幾何輔助線聶士朋

聶士朋

摘 要：解證平面幾何問題是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，找到已知量和未知量之間的關(guān)系是解決題目的關(guān)鍵，輔助線的構(gòu)造可以釋放隱藏條件，揭示幾何圖形的實質(zhì)和因素之間的聯(lián)系。在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，合理的構(gòu)造輔助線是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，中位線、中線、高線等一些輔助線的構(gòu)造相對簡單，但一些題目的解證需要更加巧妙的輔助線才能得到合理的方法和清晰的思路。合同變換是聯(lián)系不同圖形之間的橋梁，利用合同變換，可以構(gòu)造一些特殊的輔助線，發(fā)揮特殊的作用，使問題化繁為簡，從而得到解證。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；平面幾何；合同變化J輔助線

中學(xué)階段，幾何問題的學(xué)學(xué)習(xí)從某種意義上來說，我們是用靜的觀點進行學(xué)習(xí)的，構(gòu)造輔助線，就是一中初等幾何的變換，在這個意義上，本文是用動的觀點來學(xué)習(xí)幾何學(xué)[1]。

本文先說明關(guān)合同變換的一些概念和性質(zhì)，然后引用例題介紹了平移、旋轉(zhuǎn)、對稱三種合同變化在解證平面幾何問題時的應(yīng)用。

合同變化是指平面到自身的變換，對于平面上任意兩點之間的距離保持不變。

合同變換主要有平移、旋轉(zhuǎn)、對稱三種形式。

一、平移

平移的定義：對于平面上的任意一點P變換到P，使得射線PP有固定的方向和固定的長度，則這個平面到它自身的變換叫做平移變換，通常記為T（）。

平移變換有以下性質(zhì)：

1.平移變換下兩點之間的距離保持不變。

2.平移變換下，直線變成與之平行的直線。

3.平移變換為合同變換，具有合同變換的所有性質(zhì)（同素性、結(jié)合性、順序性、平行性、正交性、對應(yīng)線段、三角形合同）。

在平移變換T（）下，把X變換到X，可表述為：

在構(gòu)造輔助線時，平行線的依據(jù)就是平移變換，它可以聯(lián)系兩條看似無關(guān)的直線或者線段。

例1、如圖：已知P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，試證以PA，PB，PC，PD為邊可構(gòu)成一個凸四邊形，其面積恰為平行四邊形ABCD面積的一半。

分析：要證明這個問題，只要證明PA，PB，PC，PD四條線段可以連接為首尾相連的凸四邊形而不改變線段的長度，構(gòu)造輔助線，使得四條線段盡可能的聯(lián)系在一起，是解決問題的關(guān)鍵，證：做平移變換T（），使得：

由P得P，連接PB、PC。

由平移變換得PD//CP且PD=CP，AP//BP且AP=BP。則線段PB、BP、PC、CP連接為四個首位相連的線段，也就是PA、PB、PC、PD可連接為一個凸四邊形BPCP。由平移得AB=CD=PP，則

令平行四邊形ABCD的面積為S1、凸四邊形PBPC的面積為S2則：

得證。

二、旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)的定義：平面到自身的變換，使點O變換到本身，其他任何點X變換到X，并且有OX=OX，∠XOX=θ，從射線OX到OX的方向與已知θ角的定向相同，這個變換叫做繞中心O，按已知方向θ角的旋轉(zhuǎn)變換，記作R（O，θ）。 平移變換有以下性質(zhì)：

1.旋轉(zhuǎn)變換滿足合同變換的一切性質(zhì)，在合同變換下，任兩點距離不變，線段中點不變。

2.旋轉(zhuǎn)變換下任兩對應(yīng)直線的夾角大小不變，都等于其旋轉(zhuǎn)角。

在旋轉(zhuǎn)變換R（O，θ）下，X變成X，可表述為：

利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造輔助線，可以明確角度、線段的相等關(guān)系，連接不同位置的未知量，為釋放隱藏條件提供依據(jù)。

例2、如圖：在直角三角形ABC中，M為斜邊AB的中點，過M點引互相垂直的兩直線，交AC、BC于點P、Q，試證明PA2+BQ2=PQ2。

分析：三角形ABC為直角三角形，所證問題的形式與勾股定理相似，不妨試著等量替代三條邊，即PA、BQ、PQ。

證明：以P為旋轉(zhuǎn)中心，做旋轉(zhuǎn)變換R（P，180°），由Q得到Q，連接AQ、PQ、PQ。

由旋轉(zhuǎn)變換得PQ=PQ，MQ=MQ，由于AM=BM，∠BMQ=∠AMQ，得所以AQ=BQ且AQ//BQ

三角形ABC為直角三角形，∠ACB=90°，所以∠QAC=90°。

在直角三角形APQ中，AQ2+AP2=PQ2，即BQ2+AP2=PQ2，得證。

三、對稱

對稱的定義：一個平面點集到自身的變換，把平面上的每一個點變換到它關(guān)于給定直線g的對稱點，這個變換叫做直線反射變換或?qū)ΨQ變換，記作S（g）。

對稱變換有以下性質(zhì)：

1.在直線反射變換下，兩點之間的距離不變。

2.直線反射變換下，角的大小不變，但方向相反。

在直線反射S（g），X點變換到X點，記作：

在旋轉(zhuǎn)的角度來看，對稱變換是關(guān)于某個定點的180°旋轉(zhuǎn)變換，但在解決問題時，這個定點并不容易刻畫，采用對稱變換則解決了這個問題。

例3、如圖：在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB+BD=CD，求證：∠B=2∠C。

分析：在已知條件中，AB+BD=CD，由此可想到等邊對等角這個基本性質(zhì)，此題的難度在于通過輔助線構(gòu)造同一三角形中相等的線段。

證明：做直線AD的反射S（AD），由C得C，連接BC，AC。

由直線反射得CD=CD，AC=AC，AB+BD=CD，則DB+BC=AC，AB=BC，則∠C=∠CAB，∠C=∠C

∠ABC=∠BAC+∠C=2∠C=2∠C，得證。

運用合同變換下的不變量和不變性質(zhì)，是解證幾何問題，使其“運算化”的重要思想，從上述例題中可以看出，添加輔助線的時候，要從已知條件出發(fā)，利用已經(jīng)掌握的知識圍繞幾何圖形找聯(lián)系、看變化，從而正確添加輔助線[2]。合同變換的應(yīng)用可以為添加輔助線提高良好的思路，但只有通過不斷地積累，才能更好的掌握合同變化在構(gòu)造輔助線時的應(yīng)用。

參考文獻：

[1]胡杞，周春荔.初等幾何研究基礎(chǔ)教程[M].北京師范大學(xué)出版社.1988年.

[2]王長明.怎樣添加平面幾何輔助線[M].中國致公出版社.2003年.