基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)《集合》教材內(nèi)容編排的比較研究

楊定珺 何方國

摘? 要：小學(xué)和初中的學(xué)生已經(jīng)接觸過一些集合，為了更加有效地使用集合語言，學(xué)生需要進(jìn)一步了解集合有關(guān)知識.本研究從宏觀和微觀兩個維度對人教A版、蘇教版、北師大版三個版本的教材中《集合》的內(nèi)容、習(xí)題數(shù)量和難度進(jìn)行比較，并對三版教科書中數(shù)學(xué)文化的運用進(jìn)行分析，以便一線教師在教授集合知識時可以根據(jù)學(xué)生的實際能力選擇合適的教學(xué)方法.

關(guān)鍵詞：教材比較；內(nèi)容分析；集合；數(shù)學(xué)教學(xué)

1? 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析，［1］其中數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力是自主發(fā)展能力的重要組成部分，而集合是學(xué)生進(jìn)入高中階段學(xué)習(xí)的第一個數(shù)學(xué)知識點，也是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和邏輯推理能力很重要的一部分.在教學(xué)實踐中，學(xué)生學(xué)會了知識點卻無法將抽象知識點具體應(yīng)用到習(xí)題中，針對此類情況，筆者將高中數(shù)學(xué)人教A版、蘇教版、北師大版教材進(jìn)行對比研究，進(jìn)行相互借鑒，期望對教師制定教學(xué)策略提供幫助.

2? 研究內(nèi)容及方法

2.1? 研究內(nèi)容

在中學(xué)階段，我國不同地區(qū)使用不同版本教材，筆者選取了三種使用范圍較廣的教材，即人教A版、蘇教版、北師大版教材.本文內(nèi)容選自2019年人教A版必修第一冊、2019年蘇教版必修第一冊以及2019年北師大版必修第一冊.主要研究的是集合的概念與表示、集合間的基本關(guān)系、集合的基本運算的教材內(nèi)容編排分析和教材中習(xí)題的數(shù)量與難度的比較.

在對三版教科書中《集合》的習(xí)題數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計時，若一道習(xí)題中包含多次提問，無子問題，則把該題數(shù)量記為1；若一道習(xí)題中分設(shè)子題目，則按子題目數(shù)量統(tǒng)計；若一道習(xí)題為填空題，則每一空為一題.

針對以上習(xí)題數(shù)量的規(guī)定，給出以下3個示例，并解釋說明.

例1? 指出下列各集合之間的關(guān)系，并用Venn圖表示.

A=｛x｜x是四邊形｝，B=｛x｜x是平行四邊形｝，C=｛x｜x是矩形｝，D=｛x｜x是正方形｝.

說明：該習(xí)題中不分設(shè)子題目，數(shù)量記為1.

例2? 判斷下列元素的全體是否組成集合，并說明理由.

（1）與定點A，B等距離的點；

（2）高中學(xué)生中的游泳能手.

說明：該習(xí)題中分設(shè)兩個子題目，數(shù)量記為2.

例3? 用符號“∈”或“”填空.

0??? N；-3??? N；0.5??? Z.（其中N為自然數(shù)集，Z為整數(shù)集）

說明：該填空題中有三個空，數(shù)量記為3.

2.2? 研究維度

本文主要從宏觀和微觀兩個角度對三個版本教材中集合內(nèi)容進(jìn)行對比分析.宏觀比較主要指包含三版本教材結(jié)構(gòu)的比較，微觀比較主要包含集合知識導(dǎo)入對比、知識的呈現(xiàn)對比、教材習(xí)題數(shù)量的對比以及其中蘊含的數(shù)學(xué)文化對比.

3? 研究結(jié)果與分析

3.1? 宏觀分析結(jié)果

三版教材都將集合這個知識點放在了必修一第一章節(jié)，人教A版把集合的表示放在了集合的概念這一小節(jié)的知識拓展中，蘇教版和北師大版是把集合的表示作為小節(jié)的重要部分；人教A版和北師大版中集合的基本關(guān)系是子集、真子集、空集，集合的基本運算包括并集、交集、補集、全集；蘇教版則將基本關(guān)系中的子集、空集、真子集和基本運算中的全集、補集放在第二小節(jié)，將基本運算中的交集、并集放在第三小節(jié).［2］

3.2? 微觀分析結(jié)果

3.2.1? “集合”知識導(dǎo)入對比

在引入方面，人教A版運用了復(fù)習(xí)導(dǎo)入的方法，列舉了學(xué)生在小學(xué)和初中接觸過的一些集合，如所有的正方形等，做好初高中知識的銜接，能夠更好地將知識點進(jìn)行遷移.在蘇教版中運用情境導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將數(shù)學(xué)文化中日常生活類素材融入教科書中，對學(xué)生人文素養(yǎng)的提升有非常重要的意義.北師大版則是將復(fù)習(xí)導(dǎo)入和情境導(dǎo)入相結(jié)合，以學(xué)生初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活為起點，引入集合，這是社會生活類素材融入教科書中數(shù)學(xué)文化的很好體現(xiàn).這三種導(dǎo)入方式都可以點燃學(xué)生的思維火花，為接下來對集合概念的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

3.2.2? “集合的概念”知識點呈現(xiàn)對比

人教A版是讓學(xué)生把1-10之間的每一個偶數(shù)作為元素，這些元素的全體就是一個集合，進(jìn)而讓學(xué)生推導(dǎo)剩下五個例子能否組成集合，思考其中它們的元素又分別是什么.讓學(xué)生思考得到元素和集合的概念，即我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.［3］

蘇教版“集合的概念”的學(xué)習(xí)是運用初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)題，讓學(xué)生先將數(shù)字填入相應(yīng)的集合圈內(nèi)，運用了圖形表征的方式幫助學(xué)生進(jìn)一步理解并思考：什么是集合？如何用數(shù)學(xué)語言表示集合？由此得到定義：一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合；集合中的每一個對象稱為該集合的元素.［4］

北師大版運用初中數(shù)學(xué)和現(xiàn)實生活，把事物進(jìn)行分類研究，而其中的每一類都可以構(gòu)成一個集合，由此來引入集合的概念“一般地，我們把指定的某些對象的全體稱為集合”［5］.

三版教材都是將集合的概念從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活中抽象出來，可以激發(fā)學(xué)生思考的熱情，使學(xué)生的思維能夠迅速定位到抽象概念的學(xué)習(xí)當(dāng)中.蘇教版在集合的概念旁邊指出了集合論的創(chuàng)始人是康托爾，將顯性數(shù)學(xué)史融入了教科書的編寫中，有利于學(xué)生加強對數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識，且其對于集合的定義為學(xué)生接下來學(xué)習(xí)集合的元素特征奠定了基礎(chǔ)，讓集合的概念具體化.

人教A版和蘇教版對于集合的元素特征都進(jìn)行了說明，人教A版和北師大版中都涉及確定性和互異性，蘇教版比人教A版和北師大版多提了一個無序性.在人教A版中集合的元素特征不是這一小節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，而蘇教版認(rèn)為集合互異性的辨析與應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的重要一環(huán).三版教材都對元素與集合的關(guān)系還有常用數(shù)集進(jìn)行了說明，人教A版將常用數(shù)集匯總在表格中，蘇教版和北師大版則是用文字進(jìn)行敘述，且用加粗字體重點標(biāo)出了常用數(shù)集的記法，兩版教材都可以很直觀地向?qū)W生呈現(xiàn)出數(shù)集的記法，幫助學(xué)生對常用數(shù)集進(jìn)行記憶.人教A版和北師大版在對集合和集合的元素進(jìn)行概念闡述時都是直接進(jìn)行說明，而蘇教版對集合概念運用了康托爾的人物介紹，在集合元素的概念陳述之后引入中國的直轄市，為學(xué)生進(jìn)行解釋說明，這些都是數(shù)學(xué)文化在教科書的體現(xiàn)，能夠幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)和人文價值.

3.2.3? “集合的表示方法”知識點呈現(xiàn)對比

人教A版先對列舉法進(jìn)行說明，隨后舉出兩個例子，讓學(xué)生充分掌握列舉法的運用，此時教師需要對列舉法表示集合的注意點進(jìn)行說明然后另外提出兩個思考題，這兩個題目中的集合是否仍然可以運用列舉法進(jìn)行表示，得到否定答案之后再提出描述法，并舉例說明，最后提出兩個問題讓學(xué)生嘗試綜合運用這兩種方式表示集合.［6］

蘇教版直接解釋了列舉法和描述法，并插入Venn圖的展示，然后給出兩個例題讓學(xué)生完成，但是每一題都只運用一個方法讓學(xué)生表示集合，比較簡單，更適合一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)理解，教師應(yīng)在教學(xué)中對集合的表示方法運用提供更多的練習(xí).

北師大版開門見山地向?qū)W生展示了集合的兩種表示方法：列舉法和描述法.首先給出列舉法的概念，然后給學(xué)生提供兩個例題，檢驗學(xué)生對列舉法的掌握程度；隨后用大于3且小于10的所有實數(shù)組成的集合無法用列舉法表示，讓學(xué)生形成認(rèn)知矛盾，此時再用描述法表示，層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的思考規(guī)律.

3.2.4? “集合的基本關(guān)系”知識點呈現(xiàn)對比

人教A版、蘇教版和北師大版都是讓學(xué)生自主觀察三個例子中兩個集合之間的關(guān)系，推導(dǎo)出集合A中的每個元素都是集合B的元素，由此得出子集的概念：如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集，記為AB.人教A版三個例子中有兩個是與學(xué)生社會生活密切相關(guān)的，可以將抽象概念具體化，有利于學(xué)生將復(fù)雜數(shù)學(xué)問題簡單化.三個版本的教材都闡述了空集的概念，并規(guī)定空集是任何集合的子集.在這個部分，人教A版和北師大版都對Venn圖進(jìn)行解釋，并用Venn圖表示集合的包含關(guān)系，而蘇教版在第一小節(jié)就已經(jīng)解釋了Venn圖，這時就直接運用Venn圖表示.人教A版是先引出真子集概念后引出空集，蘇教版則與之相反，北師大版是在“集合的概念與表示”這一節(jié)給出了空集的概念.三版教材在對基本概念解釋完畢之后都佐以例題讓學(xué)生能夠通過練習(xí)的方式加深對知識點的鞏固，教會學(xué)生思考，在解題過程中學(xué)會舉一反三.在“集合的基本關(guān)系”中，人教A版和北師大版沒有融入數(shù)學(xué)文化，可以適當(dāng)增加數(shù)學(xué)文化的占比，蘇教版在概念引入時融入了數(shù)學(xué)文化.

3.2.5? “集合的運算”知識點呈現(xiàn)對比

人教A版將實數(shù)的加法運算遷移到集合的基本運算中，讓學(xué)生觀察兩組集合，思考集合之間的關(guān)系，推導(dǎo)得出并集的概念，隨后舉出兩個例子，強化學(xué)生對并集的理解，然后繼續(xù)讓學(xué)生觀察兩組集合，思考集合之間的關(guān)系得到交集的概念，后面繼續(xù)舉出兩個例題，鞏固學(xué)生對知識點的認(rèn)識.

蘇教版則是先觀察思考得出交集的概念，然后引出并集的概念.

北師大版用集合C是由集合A和集合B的所有公共元素組成的等兩個實例引入交集的概念，隨后又用集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的等兩個例題引入并集的概念.

三版教材中都用符號、Venn圖對交集、并集進(jìn)行了表示，符號語言抽象簡潔，Venn圖直觀形象，有助于學(xué)生將抽象概念簡單化.蘇教版和北師大版還運用數(shù)軸來表示交集與并集，在涉及一些數(shù)學(xué)區(qū)間的交并集上的表示更加直觀簡單.在這一個章節(jié)中，人教A版和北師大版都認(rèn)為補集也是集合間的基本運算，還提出了全集的概念；但在蘇教版中補集和全集的概念呈現(xiàn)在了第二節(jié)中.求集合的并集、交集、補集都算是集合的運算，放在同一個小節(jié)里面可能更有利于學(xué)生理解概念，并能夠應(yīng)用它們的性質(zhì)去解決問題.蘇教版中還要求學(xué)生能夠理解掌握區(qū)間和集合的關(guān)系，并能應(yīng)用它們解決一些簡單問題，而這個部分的學(xué)習(xí)對日后研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間等內(nèi)容起到了知識儲備作用.

3.2.6? 習(xí)題對比

習(xí)題的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，學(xué)生解題的正確率可以反映學(xué)生對知識點的掌握情況，在習(xí)題中更容易融入數(shù)學(xué)文化，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)思維能力，也能夠幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)、人文和應(yīng)用價值.

我們對三個版本的教科書的各欄目習(xí)題數(shù)量及其占比進(jìn)行了統(tǒng)計分析（見表1）.

對人教A版、蘇教版和北師大版習(xí)題數(shù)量進(jìn)行顯著性差異分析，結(jié)果顯示，三個版本教材在習(xí)題數(shù)量上不存在顯著性差異（χ2=6，p＞0.05）.

從整體上看，三版教科書習(xí)題均設(shè)置了練習(xí)題和章復(fù)習(xí)題兩個欄目的習(xí)題，人教A版和蘇教版還設(shè)置了節(jié)習(xí)題欄目，北師大版沒有設(shè)置節(jié)習(xí)題欄目.人教A版和蘇教版習(xí)題欄目設(shè)置比例為節(jié)習(xí)題＞練習(xí)題＞章復(fù)習(xí)題，且設(shè)置比例相差不大（如圖1）.從局部來看，北師大版在練習(xí)題欄目上設(shè)置比例高于其他兩個版本，占比為67.61%，章復(fù)習(xí)題設(shè)置比例也最高，占比32.39%.

在習(xí)題數(shù)量方面，三版教科書既有相同點，又有不同點，總習(xí)題量相差較大，但是習(xí)題欄目設(shè)置相似.其中，蘇教版的習(xí)題數(shù)量幾乎為人教A版和北師大版的兩倍，說明蘇教版非常重視學(xué)生對單個知識的理解和掌握.在章習(xí)題的設(shè)置比例上，北師大版高于其他兩個版本，說明北師大版教科書非常重視學(xué)生對知識的綜合運用，方便學(xué)生形成完整的知識框架.

下面對習(xí)題的難度進(jìn)行分析比較，采用修正后的綜合難度模型進(jìn)行難度分析，表2為該模型難度因素和水平分類.

根據(jù)表2，對三版教材例題、習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計，并且利用公式求出各難度因素的加權(quán)平均值得到表3.

從表3中可以看出，三個版本的教科書綜合難度差異不大.從單個難度因素出發(fā)，在背景因素上，北師大版

教科書難度略高于人教A版和蘇教版，這是因為北師大版教材的習(xí)題相對來說涉及較多的學(xué)科情境背景，而另外兩個版本涉及較少.在運算和數(shù)學(xué)認(rèn)知這兩個難度因素方面，三版教科書都呈現(xiàn)較大難度，難度加權(quán)平均值從大到小的順序為蘇教版、北師大版、人教A版，這顯然與集合知識本身存在較大關(guān)系.在運算難度因素上，集合的運算這個知識點涉及數(shù)值運算，導(dǎo)致三個版本教科書的習(xí)題在運算難度上變大；在數(shù)學(xué)認(rèn)知難度因素上，因為集合的概念和表示抽象程度較高，學(xué)生在學(xué)習(xí)和理解上也會比較困難，從而對學(xué)生的認(rèn)知能力提出了更高的要求，因此數(shù)學(xué)認(rèn)知因素也呈現(xiàn)出五個難度因素中最高的加權(quán)平均值；在推理難度因素上，因為蘇教版設(shè)置了較多的證明題，所以蘇教版的難度加權(quán)平均值略高于人教A版和北師大版；在知識含量難度因素上，北師大版難度加權(quán)平均值略高，因為北師大版教科書在設(shè)置習(xí)題時需要學(xué)生綜合運用所學(xué)知識，用多個知識點解題.

4? 總結(jié)

從宏觀和微觀兩個方面比較人教A版、蘇教版和北師大版教材內(nèi)容，可以發(fā)現(xiàn)人教A版和北師大版都把《集合》這個章節(jié)分為三個小部分：概念、基本關(guān)系、基本運算；而蘇教版則是分為概念和表示，子集、全集、補集，交集、并集，而這樣的目錄里只包含了一個小節(jié)里面的部分內(nèi)容，不能對一節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行良好的概括，補集是集合基本運算的一個部分，可以與交集、并集一起學(xué)習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握集合運算方法.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］林和鋁，周仕蓉.新課標(biāo)視角下高中數(shù)學(xué)教材對比研究——以人教A版高中數(shù)學(xué)“集合”為例［J］.理學(xué)考試研究，2022（13）：15-18.

［3］章建躍，李增滬.普通高中教科書：數(shù)學(xué)（必修第一冊A版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［4］單墫，李善良.普通高中教科書：數(shù)學(xué)（必修第一冊）［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

［5］王尚志，保繼光.普通高中教科書：數(shù)學(xué)（必修第一冊）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2019.

［6］胡云飛.核心素養(yǎng)視角下基于探究的概念教學(xué)設(shè)計與反思——以《集合的含義及其表示》為例［J］.數(shù)學(xué)通報，2017（11）：33-36.