基于函數(shù)大概念的中考數(shù)學(xué)試題研究

盛昊燦 夏瑜琦

摘? 要：函數(shù)大概念引領(lǐng)函數(shù)問題解決的過程.本研究基于對中考函數(shù)內(nèi)容的分析，并借鑒大概念的層級體系，建構(gòu)基于函數(shù)大概念的中考數(shù)學(xué)試題分析框架，以此為核心說明在數(shù)學(xué)問題解決過程中大概念的重要作用.以期強(qiáng)調(diào)函數(shù)大概念在函數(shù)課堂教學(xué)中的重要地位.研究以中考函數(shù)試題為例，提煉三個(gè)結(jié)論，并給出三點(diǎn)教學(xué)啟示，以期對數(shù)學(xué)問題解決和課堂教學(xué)有所助益.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；大概念；中考數(shù)學(xué)；試題研究

大概念的引入積極促成了教育學(xué)的變革與進(jìn)步.大概念已經(jīng)不僅僅是一個(gè)簡單詞匯，它背后潛藏著一個(gè)意義的世界，它超出了一個(gè)普通概念的應(yīng)有內(nèi)涵與外延，作為一種深刻思想、學(xué)說的負(fù)載體，已成為“思想之網(wǎng)”的聯(lián)結(jié)樞紐.［1］中考試題具備有效性、可靠性、教育性與教學(xué)導(dǎo)向性.［2］函數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的大概念之一，是初中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)主題［3］，也是中考數(shù)學(xué)重要的組成內(nèi)容.基于函數(shù)大概念的視角對中考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析有助于發(fā)揮中考以評促教和以評促學(xué)的作用，幫助大概念融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，具有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義.

1? 基于函數(shù)大概念的研究框架的建構(gòu)

1.1? 函數(shù)大概念的內(nèi)涵

張翰提出大概念是聯(lián)結(jié)學(xué)科知識的紐帶，大概念的表現(xiàn)形式是多樣的，其可以是以單詞或短語表達(dá)的核心概念，也可以是以句子表達(dá)的學(xué)科觀點(diǎn)和理論.［4］劉徽認(rèn)為大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價(jià)值.［5］眾多學(xué)者給出了自己對大概念的理解，其中應(yīng)用較為廣泛的是如圖1所示的大概念層級體系.［6］

在四個(gè)層級中，學(xué)科視角所屬的兩個(gè)層級較貼近日常教學(xué)并易理解其內(nèi)涵，就函數(shù)而言，學(xué)科層級包含了一次函數(shù)的概念、性質(zhì)等事實(shí)性知識和學(xué)科概念（第一層級），也包括一次函數(shù)、函數(shù)性質(zhì)等內(nèi)涵更為廣泛的核心概念（第二層級）.跨學(xué)科視角下的層級更是如火如荼地被教育學(xué)者所討論，函數(shù)作為描述“變化”的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其中便有較多的跨學(xué)科背景，常與物理、化學(xué)和體育等學(xué)科基礎(chǔ)知識相結(jié)合.而第四層級則指向?qū)W科內(nèi)容中內(nèi)隱的思想方法，其涉及學(xué)科本質(zhì)的方法論、情感態(tài)度和價(jià)值觀的討論.基于此，可以給出如圖2所示的函數(shù)大概念層級體系，并以此作為本研究函數(shù)大概念的內(nèi)涵.

1.2? 研究框架的建構(gòu)

函數(shù)大概念的內(nèi)涵明確了需要從系統(tǒng)的、整體的和關(guān)聯(lián)的視角分析中考函數(shù)試題.依據(jù)從理解題目到給出假設(shè)，再運(yùn)用歸納和演繹推理解決問題的基本思考路徑，可以構(gòu)建如圖3所示的研究框架，研究框架由六個(gè)環(huán)節(jié)循環(huán)構(gòu)成.

在圖3中，核心步驟是函數(shù)大概念的確定，并以此作為整個(gè)循環(huán)的循環(huán)節(jié)點(diǎn)，其余的五個(gè)步驟都可以回歸到對函數(shù)大概念的環(huán)節(jié).框架圖中各個(gè)環(huán)節(jié)并非需要依次進(jìn)行，每一個(gè)環(huán)節(jié)完成后都可以重新回歸到函數(shù)大概念的環(huán)節(jié)，并借助函數(shù)大概念的層級體系進(jìn)行思考與檢驗(yàn).

2? 中考數(shù)學(xué)試題研究例析與結(jié)論

2.1? 理清邏輯起點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，為問題解決過程提供動(dòng)力和保障

例1? ^^（2023年杭州中考數(shù)學(xué)第22題）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實(shí)數(shù)）.已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應(yīng)取值如下表所示：

x…-10123…

y…m1n1p…

（1）若m＝4，①求二次函數(shù)的表達(dá)式；

②寫出一個(gè)符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小.

（2）若在m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求a的取值范圍.

2024年第3期復(fù)習(xí)考試

復(fù)習(xí)考試2024年第3期

分析? 從題設(shè)條件的分析出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)該題主要涉及二次函數(shù)“本身”圖象和性質(zhì)的內(nèi)容，并沒有與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)聯(lián).函數(shù)大概念更多的作為基礎(chǔ)知識、核心概念與一般化的思想方法起著幫助回憶數(shù)學(xué)內(nèi)容和熟練運(yùn)用函數(shù)知識的作用.為問題解決過程提供邏輯起點(diǎn)和保障.

對第（1）小題進(jìn)行分析，其主要涉及學(xué)科知識層級.該題可以直接用較為熟悉的代入式子列方程的路徑求得其一般式的系數(shù)并確定范圍，也可以先通過函數(shù)大概念中關(guān)于對稱性、單調(diào)性的性質(zhì)找到其對稱軸作為突破口，即可減少運(yùn)算量解決問題.對第（2）小題的分析則需要一般性的函數(shù)思想方法出發(fā)，函數(shù)大概念更多起著一般化地看待一類問題的思想作用，利用函數(shù)的性質(zhì)的核心概念，借助對稱性求得m=p，即只有n為正.以此明晰問題解決過程的邏輯起點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，即可列出不等式組求解.

2.2? 關(guān)聯(lián)不同主題和內(nèi)容領(lǐng)域知識，使問題解決過程具備結(jié)構(gòu)性和整體性

例2? ^^（2023年金昌中考數(shù)學(xué)第27題）如圖4，拋物線y＝-x2+bx與x軸交于點(diǎn)A，與直線y＝-x交于點(diǎn)B（4，-4），點(diǎn)C（0，-4）在y軸上.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BO方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止.

（1）求拋物線y＝-x2+bx的表達(dá)式；

（2）當(dāng)BP＝2時(shí)，請?jiān)趫D4中過點(diǎn)P作PD⊥OA交拋物線于點(diǎn)D，連接PC，OD，判斷四邊形OCPD的形狀，并說明理由；

（3）如圖5，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).連接BQ，PC，求CP+BQ的最小值.

分析? 該題涉及函數(shù)主題下的不同內(nèi)容，分別是二次函數(shù)與一次函數(shù).函數(shù)常與幾何內(nèi)容相結(jié)合，如圓和四邊形等，不同函數(shù)之間的聯(lián)系也是中考考查的重點(diǎn).此題需要以函數(shù)思想方法為統(tǒng)領(lǐng)，從題設(shè)條件出發(fā)，借助函數(shù)大概

念

的層級體系，找到兩個(gè)函數(shù)之間的聯(lián)系.同時(shí)以學(xué)科層級為著力點(diǎn)，整體地、聯(lián)系地看待兩個(gè)函數(shù)之間的聯(lián)系，進(jìn)而求解.

第（1）小題，借助函數(shù)的定義，利用待定系數(shù)法將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y＝-x2+bx中，即可求解.第（2）小題，需要從題目條件出發(fā)，挖掘函數(shù)的性質(zhì)核心概念下的基礎(chǔ)定理，通過作輔助線把幾何結(jié)構(gòu)或者定理成立需要的條件進(jìn)行補(bǔ)全，求出PD的長，

證明PD＝OC，PD∥OC，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證.第（3）小題，找出變化過程中的不變性，函數(shù)大概念中的轉(zhuǎn)換思想強(qiáng)調(diào)解決變化問題往往需要借助不變的量，故完成符合條件的圖象后，可以構(gòu)造全等三角形，CP+BQ的最小值即可以轉(zhuǎn)換為定長的線段，根據(jù)勾股定理求出長度即可.

2.3? 把握跨學(xué)科背景與概念，讓問題解決過程貼近生活和現(xiàn)實(shí)

例3? ^^（2023年北京中考數(shù)學(xué)第25題）某小組研究了清洗某種含污物品的節(jié)約用水策略，部分內(nèi)容如下.每次清洗1個(gè)單位質(zhì)量的該種含污物品，清洗前的清潔度均為0.800，要求清洗后的清潔度為0.990.

方案一：采用一次清洗的方式.

結(jié)果：當(dāng)用水量為19個(gè)單位質(zhì)量時(shí)，清洗后測得的清潔度為0.990.

方案二：采用兩次清洗的方式.

記第一次用水量為x1個(gè)單位質(zhì)量，第二次用水量為x2個(gè)單位質(zhì)量，總用水量為（x1+x2）個(gè)單位質(zhì)量，兩次清洗后測得的清潔度為C.記錄的部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下.

x111.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

x20.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

對以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，補(bǔ)充完成以下內(nèi)容.

（1）選出C是0.990的所有數(shù)據(jù)組，并劃“”；

（2）通過分析（1）中選出的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫第一次用水量x1和總用水量x1+x2之間的關(guān)系，在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出此函數(shù)的圖象；

結(jié)果：結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用所畫的函數(shù)圖象可以推斷，當(dāng)?shù)谝淮斡盟考s為??? 個(gè)單位質(zhì)量（精確到個(gè)位）時(shí)，總用水量最小.

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果，解決下列問題：

①當(dāng)采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時(shí)，與采用一次清洗的方式相比、可節(jié)水約??? 個(gè)單位質(zhì)量（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

②當(dāng)采用兩次清洗的方式時(shí)，若第一次用水量為6個(gè)單位質(zhì)量，總用水量為7.5個(gè)單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度C??? 0.990（填“＞”“＝”或”＜”）.

分析? 本題是一道跨學(xué)科背景下的函數(shù)問題.故在思考本題時(shí)需要借助函數(shù)大概念中的跨學(xué)科層級，明確跨學(xué)科概念在問題解決過程中的作用，回憶已有的生活經(jīng)驗(yàn)，使問題解決過程貼近生活經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)實(shí)情境，不會(huì)感到陌生與被動(dòng)，從而解決問題.

對（1）和（2）小題，根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線即可做出函數(shù)圖象，再結(jié)合函數(shù)圖象找到最低點(diǎn)求解.這里需要借助函數(shù)大概念學(xué)科層級中的函數(shù)圖象的核心概念對該題跨學(xué)科背景進(jìn)行理解，意識到需要采用描點(diǎn)法解決問題.剩下兩題主要考查跨學(xué)科概念的理解，從生活實(shí)際出發(fā)，借助函數(shù)圖象求解即可.

3? 教學(xué)啟示

3.1? 明確函數(shù)大概念在問題解決中的核心地位

問題解決需要有嚴(yán)密的邏輯鏈條，但在實(shí)際考查中，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往對邏輯起點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)無從下手，在得知完整的解決過程后又幡然醒悟，感嘆問題解決的巧妙.此問題出現(xiàn)的主要原因是學(xué)生對函數(shù)大概念的內(nèi)涵和層級體系并不明晰，且對自己所處的困境并無察覺，此類情況下，教師必須明確函數(shù)大概念在問題解決過程中的核心地位，以此強(qiáng)調(diào)僅僅借助學(xué)科層級

能解決的

問題是極為有限的，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中開闊思維，不局限于基礎(chǔ)知識的“狹小胡同”.

3.2? 明晰函數(shù)大概念在問題解決中的引領(lǐng)作用

現(xiàn)有的問題解決教學(xué)范式強(qiáng)調(diào)先于知識前提出問題，以問題為學(xué)生學(xué)習(xí)知識的驅(qū)動(dòng)器，一改課堂教學(xué)先有知識后解決問題的路徑，但是在整個(gè)過程仍舊需要明晰大概念在整個(gè)過程中的引領(lǐng)作用，其基礎(chǔ)知識和核心概念可以遲于問題的提出，但是函數(shù)思想等卻引領(lǐng)問題提出的過程.

3.3? 加強(qiáng)函數(shù)大概念在問題解決中與現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系

問題解決并非埋頭苦干，而是源于自己的生活經(jīng)驗(yàn)，跨學(xué)科背景和概念等不僅僅從課堂中獲得，更需要明確的是，生活經(jīng)驗(yàn)也是學(xué)習(xí)過程的一個(gè)重要環(huán)節(jié).函數(shù)大概念所具有的一大特征即是與生活密切相關(guān)，在問題解決過程中，教師需要從生活中提取真正存在的問題，而非憑空杜撰，才能落實(shí)函數(shù)大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

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