不等式導(dǎo)數(shù)問題常見題型及其解題策略

廖妍婷 楊楚鋒 巫輝瑩 巫陽洋 梁填 張文超

摘? 要：導(dǎo)數(shù)與不等式、函數(shù)交匯綜合是高考命題的熱點.這類題型主要以選擇題、解答題的形式為主，往往涉及了函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的求解等多個方面，需要學(xué)生具備較強的數(shù)學(xué)綜合能力和思維能力.本文通過歸納常見的不等式導(dǎo)數(shù)問題并給予相應(yīng)解題策略，以此來幫助學(xué)生更好地分析并掌握解決該類題型的方法和技巧.

關(guān)鍵詞：不等式導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；高考；解題策略

不等式導(dǎo)數(shù)問題在高考命題中占據(jù)重要地位，在高考試卷中經(jīng)常以選擇題和解答題的形式命題，有基礎(chǔ)題，也有中檔題，更多時候是作為“把關(guān)題”出現(xiàn)，承擔(dān)著區(qū)分與選拔優(yōu)秀學(xué)生的功能.隨著教育改革的深入，高考題目靈活多變，新課標指出“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)評價，不僅要關(guān)注學(xué)生對知識技能的掌握程度，還要更多地關(guān)注學(xué)生的思維過程”.不等式導(dǎo)數(shù)問題涉及化歸、方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想，同時考查導(dǎo)數(shù)和不等式的基礎(chǔ)知識，難度逐級遞增、環(huán)環(huán)相扣，這對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、邏輯推理能力具有重要意義.

1? 歷年高考不等式導(dǎo)數(shù)問題的出題特點

1.1? 考查題量、題型分析

高考改革一直是近年來的熱點，在“新課標，新教材，新高考”這一背景下，不等式導(dǎo)數(shù)問題又有哪些變化呢？下文主要從近年來高考試卷考查題量、題型方面來分析.

首先從考查題量方面分析.近六年全國Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷，以及新高考全國甲卷、乙卷、Ⅰ卷、Ⅱ卷共38套，考查導(dǎo)數(shù)題共82道，其中不等式導(dǎo)數(shù)題共考查了59道，占比72.0%.在實施新高考前，不等式導(dǎo)數(shù)在導(dǎo)數(shù)題中考查占比為60.7%.實施新高考后，不等式導(dǎo)數(shù)題的比重相比舊高考有所提升.如2022年不等式導(dǎo)數(shù)在導(dǎo)數(shù)占比為81.3%，2023年不等式導(dǎo)數(shù)在導(dǎo)數(shù)占比為66.7%.具體考查題數(shù)見表1，表中每個年份的左側(cè)為不等式導(dǎo)數(shù)的考查題量，右側(cè)為導(dǎo)數(shù)的考查題量.

從題型方面分析.分析近幾年高考試卷，不難發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)中不等式?？紗栴}可以總結(jié)為以下八大題型，分別是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與不等式、函數(shù)零點問題、函數(shù)極值問題、證明含參不等式恒成立、不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍、存在性變量問題、數(shù)列不等式、極值點偏移.如在2022年新高考全國Ⅱ卷22（2）、22（3）分別考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍和導(dǎo)數(shù)中的數(shù)列不等式.在2023年新高考Ⅰ卷19（2）考查了證明含參不等式恒成立，22（2）考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與不等式以及極值問題等.

1.2? 考查題型、解題策略分析

針對這八大題型，下文通過從解題方法方面剖析2022，2023年新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷不等式導(dǎo)數(shù)試題并總結(jié)常用的三種解題策略.表2呈現(xiàn)了近幾年部分不等式導(dǎo)數(shù)試題以及其解題方法.

從表2，我們可以清楚地看到構(gòu)造函數(shù)法、切線放縮法常用于解決不等式導(dǎo)數(shù)問題.此外，在對其他地區(qū)的高考試卷分析中，發(fā)現(xiàn)在2023年全國甲卷文科20（2）可以用極值點偏移法解答，2022年全國甲卷理科21（2）的解答同樣用到了極值點偏移的方法.總結(jié)歸納近幾年不等式導(dǎo)數(shù)試題，可以發(fā)現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)法、切線放縮法、極值點偏移法最常用于解決不等式導(dǎo)數(shù)問題.

2? 不等式導(dǎo)數(shù)問題的三種解題策略

2.1

構(gòu)造函數(shù)法

例1? ^^［2023年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)22（1）］&&證明：當(dāng)0

解析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-x2-sinx，x∈（0，1），求導(dǎo)，得g′（x）=1-2x-cosx.

令p（x）=g′（x），則p′（x）=-2+sinx<0.

所以有g(shù)′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減.

故g′（x）

所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減.

可得g（x）

構(gòu)造函數(shù)h（x）=x-sinx，x∈（0，1），求導(dǎo)，得h′（x）=1-cosx.

易知h′（x）>0，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增.

所以h（x）>0-sin0=0，即sinx

評注：這道題目屬于中檔題，主要是將函數(shù)單調(diào)性和不等式證明結(jié)合起來，要求學(xué)生能夠根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的值域，并利用函數(shù)的性質(zhì)進行不等式的證明.此外還要求學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識綜合運用，解決一些較為復(fù)雜的不等式問題.主要考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和邏輯思維能力.

技巧：在運用構(gòu)造函數(shù)法解決不等式導(dǎo)數(shù)問題時，可以通過以下步驟進行解答：

（1）觀察不等式的形式和已知條件，確定構(gòu)造函數(shù)的形式，如已知函數(shù)f（x）在某區(qū)間內(nèi)的最小值為n，則可以構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-nx（其中n為某常數(shù)）；

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性；

（3）利用單調(diào)性求解不等式.

2.2? 切線放縮法

例2? ^^（2023年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)19）&&已知函數(shù)f（x）=a（ex+a）-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性.

（2）證明：當(dāng)a>0時，f（x）>2lna+32.

解析：（1）先求導(dǎo)，再對a分類討論，從而判斷a的不同取值范圍下f（x）的單調(diào)性.

（2）解法一：（切線放縮）

利用ex≥x+1.

則f（x）=a（ex+a）-x=ex+lna+a2-x≥x+lna+1+a2-x=a2+lna+1.

令g（a）=1+a2+lna-2lna+32=a2-lna-12，則g′（a）=2a-1a=2a2-1a.

令g′（a）>0，得a>22；令g′（a）<0，得0

故g（a）在0，22上單調(diào)遞減，在22，+∞上單調(diào)遞增.

故g（a）≥g22=12-ln22-12>0，所以f（x）>2lna+32，證畢.

解法二：（同構(gòu)+切線放縮）

當(dāng)a>0時，要證f（x）>2lna+32.

即證ex+lna-（x+lna+1）+12（a2-lna2-1）+12a2>0.

又ex≥x+1，故ex+lna-（x+lna+1）≥0.

又lnx≤x-1，故12（a2-lna2-1）≥0.

又12a2>0，故ex+lna-（x+lna+1）+12（a2-lna2-1）+12a2>0顯然成立.證畢.

評注：這道題目主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和極值定理的應(yīng)用，以及極限的性質(zhì).在解決題目時使用切線放縮公式能達到事半功倍的效果.要求學(xué)生有較強的綜合應(yīng)用能力和邏輯思維能力，有助于提高學(xué)生的思維品質(zhì)和解決問題的能力.

技巧：確定目標函數(shù)、構(gòu)造切線函數(shù)、分析切線函數(shù)的性質(zhì)（導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、極值等）、利用切線函數(shù)的性質(zhì)證明不等式.以下為常見的放縮不等式.

（1）切線放縮：對于函數(shù)f（x），其導(dǎo)數(shù)為f′（x），則有f（x）≥f（x0）+f′（x0）（x-x0）.

（2）指數(shù)函數(shù)放縮：對于x>0，有ex≥x+1.

（3）對數(shù)函數(shù)放縮：對于x>0，有l(wèi)n（1+x）≤x和ln（1+x）≥2x2+x.

（4）三角函數(shù)放縮：對于x≥0，有sinx≥x-x33！和cosx≥1-x22！.

（5）代數(shù)式放縮：對于正整數(shù)n，有1+1nn

2.3

極值點偏移法

例3? ^^（2022年高考全國甲卷理科21）&&已知函數(shù)f（x）=exx-lnx+x-a.

（1）若f（x）≥0，求a的取值范圍.

（2）證明：若f（x）有兩個零點x1，x2，則x1x2<1.

解析：（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解.

（2）解法一：（構(gòu)造函數(shù)與極值點偏移）

不妨設(shè)0

又x2，1x1∈（1，+∞），f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x1）=f（x2），即證f（x1）-f1x1<0.

故當(dāng)x∈（0，1）時，要證x1x2<1，即證明exx-lnx+x-xe1x-lnx-1x<0.

令g（x）=exx-lnx+x-xe1x-lnx-1x，則g′（x）=（x-1）（ex-xe1x+x-1）x2.

令h（x）=ex-xe1x+x-1，易得h′（x）>0.

即h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，h（x）

則g′（x）>0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，即g（x）

解法二：（對數(shù)均值不等式與極值點偏移）

令t=exx>1，則f（t）=t+lnt-a，f′（t）=1+1t>0.

所以f（t）=t+lnt-a在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故f（t）=0只有1個解.

又f（x）=exx+lnexx-a有兩個零點x1，x2，故t=ex1x1=ex2x2.

兩邊取對數(shù)，得x1-lnx1=x2-lnx2，即x1-x2lnx1-lnx2=1.

要證x1x2x2>0.

則有l(wèi)nx1-lnx2

即證lnx1x2

設(shè)t=x1x2>1，則2lnt

構(gòu)造h（t）=2lnt-t+1t，t>1，則h′（t）=2t-1-1t2=-1-1t2<0.

故h（t）=2lnt-t+1t在（1，+∞）上單調(diào)遞減，h（t）

故x1x2<1，即x1x2<1.

評注：本題屬于難題，通過設(shè)置綜合性的導(dǎo)數(shù)不等式問題和較為復(fù)雜的情境，重視基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵能力的考查，具有較好的選拔功能，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)、不等式思想解決復(fù)雜問題的能力，對直觀想象能力和邏輯推理能力也有較高的要求.

3? 總結(jié)與展望

不等式導(dǎo)數(shù)問題在高考命題、數(shù)學(xué)研究中占據(jù)核心地位，對數(shù)學(xué)的發(fā)展和應(yīng)用具有重要意義.解決這類題型對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力都具有重要的價值.

本文通過對標歷年高考試卷，歸納出八大題型，即函數(shù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與不等式、函數(shù)零點問題、函數(shù)極值問題、證明含參不等式恒成立、不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍、存在性變量問題、數(shù)列不等式、極值點偏移，并總結(jié)出三大解題策略——構(gòu)造函數(shù)法、切線放縮法、極值點偏移法，此外對這三類方法分別進行研究并總結(jié)做題技巧.

希望學(xué)生能熟練掌握解決不等式導(dǎo)數(shù)問題的技巧，學(xué)習(xí)其數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)略數(shù)學(xué)魅力，也希望各位數(shù)學(xué)教育工作者能提出更多更精妙的解決不等式導(dǎo)數(shù)問題的策略，教學(xué)相長，共同進步！

參考文獻

［1］ 李笑竹.高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑探究［J］.科學(xué)咨詢（教育科研），2021（1）：171.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］ 劉灝.利用構(gòu)造法解決極值點偏移問題——以2022年高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)第21題為例［J］.數(shù)理化解題研究，2023（25）：40-42.

［4］ 趙林.合理運用放縮法 有效破解證明不等式難題［J］.數(shù)理化解題研究，2021（19）：36-37.

［5］ 周小鋒.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的技巧策略［J］.中學(xué)生數(shù)理化（高考數(shù)學(xué)），2023（5）：21-23.

［6］ 鄭堅幟.數(shù)學(xué)建模視角下與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問題妙解路徑［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2023（10）：47-50.

［7］ 敖羚峰.高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題分析、解題錯誤與教學(xué)對策研究［D］.上海：華東師范大學(xué)，2021.