巧視角切入，妙思維拓展

文芳

摘? 要：圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題綜合考查了點(diǎn)、直線、圓等相關(guān)元素的聯(lián)系與應(yīng)用，是高考命題的一大熱點(diǎn)，創(chuàng)新點(diǎn)多，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力.結(jié)合一道兩圓綜合應(yīng)用的高考真題，多思維視角切入，總結(jié)規(guī)律，變式拓展，展示數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值，合理調(diào)控綜合程度，可以很好地引領(lǐng)與指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

關(guān)鍵詞：高考真題；圓；直線；多思維視角

1? 真題呈現(xiàn)

寫(xiě)出與圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16都相切的一條直線的方程：??? .

2? 真題剖析

此題以兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為問(wèn)題背景，求解兩圓的公切線.考生根據(jù)已有的信息進(jìn)行分析、猜想、探究和推理等，從而得出一個(gè)滿足條件的結(jié)論.

解決問(wèn)題時(shí)要先判斷兩圓之間的位置關(guān)系，利用兩圓的不同位置關(guān)系來(lái)確定公切線的情況：兩圓內(nèi)含沒(méi)有公切線，兩圓內(nèi)切只有一條外公切線，兩圓相交有兩條外公切線，兩圓外切有一條內(nèi)公切線和兩條外公切線，兩圓相離有兩條內(nèi)公切線和兩條外公切線等.

本題中，在確定兩圓的位置關(guān)系的前提下，即兩圓外切，只要選填一條內(nèi)公切線和兩條外公切線中的一條公切線方程即可求解，答案不唯一，解題方法多樣.

3? 真題破解

解析1：依題知，圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的圓心與半徑分別為O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=4.

可得|OC2|=5=r1+r2，則知兩圓外切，可得兩圓有三條公切線.

（1）當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)x=－1；

（2）當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，即kx－y+b=0.

則有｜b｜k2+1=1，

｜3k-4+b｜k2+1=4，

解得k=-34，

b=54

或k=724，

b=-2524，

則有y=－34x+54或y=724x－2524，故公切線的方程為3x+4y－5=0或7x－24y－25=0.

解后反思：根據(jù)兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑的確定，結(jié)合兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系，即兩圓外切，通過(guò)判斷公切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論：斜率不存在時(shí)可以直觀判斷；斜率存在時(shí)可設(shè)出公切線方程，利用兩圓心到該公切線的距離分別等于對(duì)應(yīng)的半徑聯(lián)立方程組來(lái)求解，從而得以確定公切線方程.利用圓心到切線的距離等于半徑這一幾何性質(zhì)，是求解圓的切線的常用技巧方法.

解析2：依題知，圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的圓心與半徑分別為O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=4.

可得|OC2|=5=r1+r2，則知兩圓外切，可得兩圓有三條公切線.

結(jié)合圖形，顯然，一條公切線x=－1.

而直線OC2的方程為4x－3y=0，與x2+y2=1聯(lián)立，可得切點(diǎn)A35，45，又過(guò)點(diǎn)A的公切線的斜率為－34，則對(duì)應(yīng)的公切線方程為y－45=－34x－35，即3x+4y－5=0.

而直線OC2與直線x=－1的交點(diǎn)為B－1，－43，設(shè)過(guò)點(diǎn)B的公切線方程為y+43=k（x+1），則有k-43k2+1=1，解得k=724，從而該公切線的方程為y+43=724（x+1），即7x－24y－25=0.

解后反思：根據(jù)判斷兩圓的位置關(guān)系——兩圓外切，由此確定它們有三條公切線，通過(guò)數(shù)形結(jié)合直觀確定其中一條公切線后，再逐一確定公切線所過(guò)的點(diǎn)（或切點(diǎn)）以及對(duì)應(yīng)的斜率，進(jìn)而得以確定另外兩條公切線.設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，分別確定直線所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)與直線的斜率，是求解直線方程最常用的方法.

2024年第3期復(fù)習(xí)考試

復(fù)習(xí)考試2024年第3期

4? 變式拓展

探究1? 改變?cè)囶}的設(shè)問(wèn)方式，由高考真題中的“結(jié)論開(kāi)放性”形式轉(zhuǎn)化為一般形式問(wèn)題，寫(xiě)出所有的公切線方程，得到以下對(duì)應(yīng)的變式問(wèn)題.這樣就要求考生考慮全面，比原高考真題難度有所提升.

變式1? 寫(xiě)出與圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16都相切的所有直線的方程：? .

答案：x=－1，3x+4y－5=0或7x－24y－25=0.（三條直線缺一不可）

探究2? 改變兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此來(lái)確定不同的兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而得以確定對(duì)應(yīng)的公切線方程，得到對(duì)應(yīng)的變式問(wèn)題.

變式2? 寫(xiě)出與圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=36都相切的一條直線的方程：? .

解析：依題知，圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=36的圓心與半徑分別為O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=6，

可得|OC2|=5=r2－r1，則知兩圓內(nèi)切，可得兩圓有一條外公切線.

而由兩圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=36的方程相減，可得6x+8y+10=0，即3x+4y+5=0，為兩圓的外公切線方程.

探究3? 保留兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，改變?cè)O(shè)問(wèn)形式，轉(zhuǎn)化為求解到兩圓的切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，從而得變式.

變式3? 寫(xiě)出滿足到圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的切線長(zhǎng)都相等的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：??? .

解析：依題知，圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的圓心與半徑分別為O（0，0），C2（3，4），r1=1，r2=4，

可得|OC2|=5=r1+r2，則知兩圓外切.

而由兩圓x2+y2=1和（x－3）2+（y－4）2=16的方程相減，可得6x+8y－10=0，即3x+4y－5=0，其為兩圓的內(nèi)公切線方程.

那么內(nèi)公切線方程3x+4y－5=0上的點(diǎn)到兩圓的切線長(zhǎng)都相等.

故點(diǎn)可為（－5，5）.（答案不唯一，填滿足方程3x+4y－5=0的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可）

5? 教學(xué)啟示

開(kāi)放性結(jié)論的“舉例問(wèn)題”經(jīng)常以填空題的形式出現(xiàn)，題目新穎創(chuàng)新，類型變化多端，試題難度中等，技巧策略多變.此類開(kāi)放結(jié)論的“舉例問(wèn)題”，是在確定題目背景與條件的基礎(chǔ)上，舉例寫(xiě)出一個(gè)符合題意的答案（結(jié)論往往不唯一）即可，具有非常高的靈活性與開(kāi)放性.學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，各顯神通，從不同視角切入，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，合理數(shù)學(xué)構(gòu)建，全面提升能力，綜合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等層面加以交匯與應(yīng)用，給不同層次、水平的考生提供了更加充分發(fā)揮自己數(shù)學(xué)能力水平的空間，很好地提升思維的靈活性與開(kāi)放性，增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新精神．