數(shù)形結合思想在初中函數(shù)教學中的應用

摘 要：運用數(shù)形結合思想實施初中數(shù)學教學，有利于培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學建模和數(shù)學抽象能力。以“一次函數(shù)”教學為例，探討數(shù)形結合思想在教學中的應用路徑如下：借助數(shù)形結合，分析數(shù)量關系；感知坐標模型，實現(xiàn)以數(shù)定形；分析模型信息，實現(xiàn)以形探數(shù)等。構建初中函數(shù)教學中數(shù)與形之間的轉化思維，有效提升學生數(shù)學實際問題的解決能力。

關鍵詞：初中數(shù)學；函數(shù)教學；一次函數(shù)；數(shù)形結合；以數(shù)定形；以形探數(shù)

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）01-0058-04

數(shù)與形可直觀反映同一問題的兩方面屬性?！皵?shù)”指的是運用代數(shù)的知識解決問題，“形”指的是利用圖形的性質研究數(shù)量關系，數(shù)形結合則是指利用數(shù)與形之間的聯(lián)動、轉化快速解決問題的一種思想。圖形與數(shù)字之間存在著緊密的對應關系，以形助數(shù)可幫助學生深刻理解抽象的公式概念，以數(shù)解形則可促進學生對實際問題的有效解決。數(shù)形結合思想構建起數(shù)學邏輯與外部世界的聯(lián)系橋梁，使其呈現(xiàn)出可視化的應用狀態(tài)，容易為學生理解與接受。數(shù)學教學中數(shù)與形的緊密結合和靈活運用，能夠充分培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學建模和數(shù)學抽象能力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。下面，筆者以人教版數(shù)學八年級下冊第十九章“一次函數(shù)”教學為例，從教學實際出發(fā)，通過分析數(shù)量關系、建立坐標模型及借助函數(shù)圖像解決實際問題三個教學步驟，闡釋數(shù)形結合思想在初中函數(shù)教學中的應用。

一、借助數(shù)形結合，分析數(shù)量關系

函數(shù)中數(shù)與形的轉化，本質上源于數(shù)值的規(guī)律性變化。一次函數(shù)作為發(fā)生在集合之間的一種嚴格的對應關系，呈現(xiàn)出獨有的變化規(guī)律。用直觀的圖形幫助學生理解抽象的集合關系與變化規(guī)律是一種較好的學習方式［1］。一次函數(shù)中數(shù)形結合的初步應用，則落實在一次函數(shù)的函數(shù)與自變量之間，即通過函數(shù)模型的構建，進行兩個變量間的數(shù)量關系分析，以此探尋函數(shù)的基本性質。

（一）以形助數(shù)，探索題目中的數(shù)學規(guī)律

初中生在解題的過程中很難通過簡單的文字描述，推理出題目中隱藏的數(shù)學規(guī)律。因此，教師需要啟迪學生的思維，引導學生通過制表、繪圖的方式將抽象的數(shù)學元素、文字描述等轉化為直觀的圖形，進而實現(xiàn)快速解題的目的。如圖1所示例題是初中函數(shù)教學中常見的一次函數(shù)問題，教師應結合學生的實際學習情況，引導學生利用數(shù)形結合思想，探索題干中各類數(shù)學元素的規(guī)律。

師：同學們仔細閱讀以上三道例題，觀察其中的數(shù)量關系，它們有什么共同特點？

生1：在每一組數(shù)量關系的描述中，都存在著變化的數(shù)量和不變的數(shù)量。

生2：因為有不變的數(shù)量存在，變化的數(shù)量之間存在著某種變化規(guī)律。

師：你應如何將這種變化規(guī)律描述或表達出來？

生2：可以用列表的方法，進行結果對比。

教師以問題為導向，為學生提供一個比較清晰的思考方向，引導學生通過自我思考掌握正確的解題思路。學生會聯(lián)想到以圖表的方式探索題干中各類數(shù)學元素的規(guī)律，借用圖表的直觀性感悟抽象的數(shù)、數(shù)量及數(shù)量關系。

（二）實踐操作，掌握數(shù)形結合的方法

學生提出列表的解題方法后，教師可引導學生主動實踐探索。于是學生將例題1中給出的數(shù)量關系轉化為表格，運用學過的s=vt計算公式，將路程s隨時間t而變化的一組組數(shù)據(jù)填寫在表1當中。

師：請同學們觀察表格中的數(shù)據(jù)，說一說自己的發(fā)現(xiàn)。

生1：表格中時間每增加1小時，路程便隨之增加60千米。

生2：路程的變化與時間的變化相互關聯(lián)，形成一一對應關系，表格中數(shù)據(jù)變化有規(guī)律。

師：這一變化規(guī)律在表格中的呈現(xiàn)是否存在局限性？

學生再次觀察表格中的數(shù)據(jù)經過思考后發(fā)現(xiàn)：盡管表格展示了時間與路程的對應關系，但存在局限性。表格無法列出所有的情況，在處理復雜的數(shù)量關系問題時，表格呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)結果不便觀察。相較于圖形而言，繪制表格的形式只適合簡單函數(shù)的數(shù)量對應關系，教師還需循序漸進引導學生利用圖象呈現(xiàn)一次函數(shù)的變化規(guī)律。

教師提出運用直角坐標系對例題1中的數(shù)量關系進行更直觀的呈現(xiàn)，鼓勵學生建立直角坐標系，將表格中的數(shù)據(jù)轉化為坐標點，如（1，60）、（2，120）、（3，180）……并繪制在直角坐標系中。學生繪制出如圖2所示的圖象，通過圖象直觀呈現(xiàn)例題1中兩個變量之間的函數(shù)關系。這種方法不僅可以幫助學生直觀理解路程與時間的函數(shù)關系，還可以促進學生對數(shù)學圖形與計算公式之間關系的深入理解。

（三）總結規(guī)律，幫助學生理解一次函數(shù)圖象

以上教學環(huán)節(jié)中，教師首先引導學生提取題目中的數(shù)量關系，形成比文字描述更加直觀的數(shù)據(jù)表格。學生通過觀察表格中的數(shù)據(jù)，只能較為籠統(tǒng)地感受簡單函數(shù)的變化規(guī)律，于是教師引導學生借助直角坐標系，將其轉化為圖象，通過坐標系中點、線與數(shù)據(jù)的結合，既賦予圖象以數(shù)量關系，又將抽象數(shù)量關系轉化為具象圖形。教師以數(shù)形結合深化學生的理解，引出最為基礎的正比例函數(shù)概念，并為后續(xù)學習一次函數(shù)的一般形式、變式及實際應用做好鋪墊。

接下來，教師要求學生以同樣的方式繪制出例題2、例題3的函數(shù)圖象，觀察對比三組函數(shù)圖象，并總結出規(guī)律。

生1：三組函數(shù)圖象在直角坐標系中均呈直線狀態(tài)。

生2：圖象中的直線全部都經過原點。

生3：直線的傾斜程度與數(shù)量關系中恒定不變的系數(shù)有關。

函數(shù)作為初中代數(shù)部分最為核心的教學內容，對其基本概念的理解與實際應用至關重要。初中函數(shù)教學中，教師通常從函數(shù)的傳統(tǒng)定義出發(fā)，將其描述為數(shù)量關系變化，而數(shù)形結合則將這一變化進行具象呈現(xiàn)。學生通過數(shù)形結合的實踐操作，將抽象的數(shù)量關系具象表達為直觀的函數(shù)圖象，并從中總結規(guī)律：在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就將x作為自變量，y則為x的函數(shù)，兩個變量與數(shù)量關系中的系數(shù)k形成的等量關系式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，k≠0），為正比例函數(shù)。

教師將數(shù)學理論與實踐操作相結合進行教學，不僅能夠將抽象的數(shù)學概念具體化，還能培養(yǎng)學生的空間想象能力和邏輯推理能力，使學生能夠深入地理解數(shù)學的本質，有效提升學生的數(shù)學學習效果。

二、感知坐標模型，以“數(shù)”定“形”

函數(shù)及其模型的構建，本質上服務于實際數(shù)學問題的解決。數(shù)形結合思想下坐標模型的建立，更加方便不同數(shù)量關系之間的對比，從而得出結果。在一次函數(shù)的概念感知過程中，需以“數(shù)”定“形”，通過數(shù)形關系的構建，橫向類比，得出結論。

（一）感知數(shù)學模型，將求解過程簡單化

經過上一階段的教學后，部分學生已經能夠掌握利用制表、繪圖的方式提煉數(shù)量關系去解決實際問題，但還不能熟練應用。因此，教師需要通過課堂練習，引導學生充分感知各類題目中的數(shù)學模型，逐漸熟悉、掌握并信賴數(shù)形結合思想，以至于在面對實際問題時能夠下意識地利用數(shù)形結合思想解答問題［2］。教師在多媒體課件中出示圖3所示課堂練習，要求學生交流討論，探尋解題思路。

學生經過討論后得到以下兩種結果。一部分學生認為應該選擇A旅行社，因為B旅行社要先交1 000元，而A旅行社不需要交。例如，當20人成團時，A旅行社需要花費1 600元，B旅行社需要花費2 200元，因此選擇A旅行社。另一部分學生則認為應該選擇B旅行社，A旅行社只打八折，而B旅行社打六折。例如，當70人成團時，那么A旅行社需要花費5 600元，而B旅行社僅需要5 200元，所以選擇B旅行社更合適。

學生在這一問題的探討上發(fā)生了觀點沖突，但都為自己的觀點舉出了相應的佐證實例。在題目解析過程中，教師可以有意識引導學生運用表格對比解決上述問題。學生在對前置教學環(huán)節(jié)進行簡單回憶后，將課堂練習題中的數(shù)量關系轉換為表格的形式，整理結果如表2。學生觀察表格發(fā)現(xiàn)，在成團人數(shù)到達50人之前，A旅社的費用低于B旅社，而成團人數(shù)超過50人的情況下，B旅社的費用更低，實際問題的解決需要以具體數(shù)值為依托來得出結論。但表格的數(shù)量表達方式計算量較大，學生想到了運用數(shù)形結合的思想方法來解決問題。

（二）建立坐標模型，優(yōu)化解題方法

學生指出，由于每個旅行社的計費方式是固定的，而變化的因素是參團學生的人數(shù)和最終的費用，因此可以建立一個函數(shù)模型。在這個模型中，學生人數(shù)是自變量x，成團費用是因變量y。假設夏令營的參團人數(shù)為x，按A旅行社計費條件，則應付費用y=80x，按B旅行社計費條件，則應付費用y=60x+1 000。接下來，學生將這兩個函數(shù)解析式繪制成如圖4所示圖象來進行直觀比較。

師：我們觀察函數(shù)圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩條直線在坐標（50，4 000）處交匯，據(jù)此可以得出怎樣的結論？

生：當夏令營成團人數(shù)為50人時，選擇A、B兩家旅行社所需費用一樣；當成團人數(shù)小于50人時，選擇A旅社費用更少；當成團人數(shù)大于50人時，選擇B旅社費用更少。

師：同學們能否將兩個函數(shù)解析式進行結合，同時考慮自變量x的取值范圍，將函數(shù)圖象進一步簡化？

將兩個函數(shù)解析式進行結合對于學生來說有一定的難度。此時，教師引導學生通過對A、B旅行社成團費用差值進行分析，形成新的函數(shù)解析式，即y=y1-y2=80x-（60x+1 000），最后簡化為y=20x-1 000，并據(jù)此繪制出函數(shù)圖象，如圖5所示。學生通過分析圖象可知，當x=50時，y=0，則y1=y2，說明A、B旅行社所需費用相等；當x＜50時，y＜0，即y1＜y2，表示A旅行社成團費用更低；當x＞50時，y＞0，即y1＞y2，表示B旅行社成團費用更低。

教師通過疊加問題的形式，引導學生將實際問題抽象為數(shù)量關系，初步將其呈現(xiàn)在表格中，通過方法上的重復鞏固思維模式。隨后將表格進一步抽象為解析式，并將兩個解析式的函數(shù)圖象繪于同一直角坐標系中，方便對比，有所發(fā)現(xiàn)。學生通過觀察圖象，充分理解兩個圖象中交點的含義，能夠通過圖象分析出不同自變量下兩種方案結果的不同。最后，教師通過變式啟發(fā)，引導學生進一步深入理解函數(shù)圖象的變化與其實際意義之間的關聯(lián)，完成對數(shù)形結合的多層次理解。

三、實現(xiàn)模型應用，以“形”探“數(shù)”

完整的數(shù)形結合思想在初中函數(shù)教學中的應用還需完善逆向思維教學。學生不僅要掌握以“數(shù)”定“形”方法，還要掌握從函數(shù)圖象中提取數(shù)據(jù)信息的技巧，將具象圖形抽象為函數(shù)解析式，并通過運算解決實際問題。

（一）通過圖形提取數(shù)學信息

除了利用圖形表達數(shù)量關系外，在圖形中探索數(shù)量元素，進而整理數(shù)量關系也是數(shù)形結合思想的主要內容之一［3］。為進一步提升學生的抽象思維能力，教師在開展一次函數(shù)教學活動的過程中，應積極借助含有一次函數(shù)圖形的題目，引導學生在觀察圖形的過程中整理其中的數(shù)量關系，進而解答問題［4］。教師出示圖6所示的圖象信息題，讓學生以“形”探“數(shù)”，通過圖形提取數(shù)學信息。

學生通過觀察函數(shù)圖象，得到以下信息。

生1：我認為l1代表巡邏船B，l2代表可疑船只A。因為巡邏船B是從黃巖島海岸出發(fā)，因此其初始距離y1為0，函數(shù)圖象應當經過直角坐標系原點。

生2：從發(fā)現(xiàn)可疑船只A開始計時，l1經過直角坐標系原點，l2經過直角坐標系5海里這個點，所以兩船最初相距5海里。

生3：通過l1、l2的斜率可以知道，巡邏船B的速度比可疑船只A的速度快。

（二）圖象抽象為函數(shù)解析式，實現(xiàn)模型應用

數(shù)式與圖象均為信息的載體，如何實現(xiàn)信息的有效提取與轉化，是數(shù)形結合教學實踐中需要解決的核心問題［5］。教師先讓學生結合函數(shù)圖象提取相應信息，得出數(shù)量關系，而后進行問題拓展，引導學生利用已知信息解決實際問題，將圖象抽象為函數(shù)解析式，實現(xiàn)模型應用。

師：那么在函數(shù)圖象呈現(xiàn)出怎樣的狀態(tài)時，巡邏船B能夠追上可疑船只A，同學們能否通過已知條件將這一時間點求出？

生：當直角坐標系中l(wèi)1、l2相交時，說明兩船在同一時間行駛至相同點，此時兩船相遇。

師：那么應該如何計算呢？

生：根據(jù)題目中給出的自變量與因變量關系，分別為A、B兩船的行駛路徑建立函數(shù)關系式y(tǒng)1和y2。根據(jù)函數(shù)圖象信息，可設y1=k1x+5，y2=k2x，選擇坐標系相應直線的坐標數(shù)據(jù)代入，可求得k1、k2的值，得出y1、y2的函數(shù)解析式，而后將y1=y2作為等量關系條件，從而轉化為關于x的方程，進而求出x的值，即為兩船相遇的時間。

學生能夠理解兩個函數(shù)圖象在直角坐標系中相交的實際含義，才能夠根據(jù)已知條件總結出y1=y2的等量關系，并據(jù)此求得兩船相遇的時間。數(shù)形結合中的逆向思維呈現(xiàn)為具象化的以“形”探“數(shù)”，培養(yǎng)學生抽象數(shù)學與直觀想象能力，并促成其有效轉化。

綜上，數(shù)與形實質上是數(shù)學問題應用與解決的兩個不同維度，兩者的結合使抽象與具象兩條思維路徑實現(xiàn)有效對接，能夠通過數(shù)式與圖形之間的信息轉化，更加便捷、高效地解決數(shù)學問題。在教學過程中，教師通過數(shù)式的抽象形變，引導學生總結繪制出函數(shù)圖象，以此明確一次函數(shù)的數(shù)量關系、解析式和圖象性質；而后以“數(shù)”定“形”，引導學生深刻感知坐標模型，明確函數(shù)圖象中每個元素的實際含義；最后以“形”探“數(shù)”，引導學生從圖形中提取信息，將其轉化為抽象函數(shù)解析式，以逆向思維完成整體數(shù)形結合邏輯閉環(huán)，進一步提升學生的數(shù)學思維能力。

參考文獻

［1］何銘.突顯數(shù)形結合思想架構章節(jié)拓展專題：以“一次函數(shù)與平行四邊形”為例［J］.數(shù)理化解題研究，2022（26）：44-46.

［2］高三兵.初中數(shù)學教學中數(shù)形結合思想的應用價值分析［J］.新課程，2021（39）：94.

［3］錢紅娟.數(shù)形結合：給思維展翅的機會：以“一次函數(shù)”的教學為例［J］.基礎教育論壇，2021（10）：88-89.

［4］羅強華.巧用幾何方法解一次函數(shù)應用題［J］.中學數(shù)學教學，2021（1）：62-64.

［5］徐艷.數(shù)形結合思想在一次函數(shù)教學中的融合［J］.數(shù)理化解題研究，2020（35）：30-31.

（責編 韋榕峰）

作者簡介：覃仕山，1976年生，廣西大化人，本科，高級教師，研究方向為初中數(shù)學教學。