初中函數(shù)教學(xué)“三部曲”

王鸞

[摘 要]函數(shù)教學(xué)之難，難于概念的理解，難于性質(zhì)的掌握，難于實(shí)際問題的解決.本文以生活實(shí)例厘清概念、以數(shù)形結(jié)合掌握性質(zhì)、以數(shù)學(xué)模型解決問題等方面提出初中函數(shù)教學(xué)的有效策略.

[關(guān)鍵詞]函數(shù)教學(xué) 概念 數(shù)形結(jié)合 函數(shù)模型

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)] 16746058（2016）260008

函數(shù)內(nèi)容抽象難懂，沒有固定的方法解題.初中生脫離具體對(duì)象進(jìn)行分析，考慮問題時(shí)往往割裂了數(shù)形之間的聯(lián)系，不能理解函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，不能建構(gòu)函數(shù)模型解決實(shí)際生活中的問題.

一、引入生活實(shí)例，感受函數(shù)概念的形成過程

學(xué)生往往受負(fù)遷移的干擾，憑借自身的“經(jīng)驗(yàn)”下結(jié)論，對(duì)函數(shù)的概念理解出現(xiàn)偏差.抽象的函數(shù)概念依附于具體的生活實(shí)例，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從具體到抽象，從表象到規(guī)定，引領(lǐng)學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)入手，感知生活世界事物間存在的關(guān)系.教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中的函數(shù)，以函數(shù)去解決實(shí)際問題，從而激發(fā)興趣，開啟思維，逐漸實(shí)現(xiàn)從感性的生活經(jīng)驗(yàn)走向理性的數(shù)學(xué)思想.如在“一次函數(shù)”教學(xué)中，教者呈現(xiàn)問題：“小華暑假期間去上海旅游，汽車行駛上高速公路后平均速度為100千米/小時(shí)，已知徐州到上海的高速公路全程為590千米，小華想知道汽車從徐州出發(fā)后，距上海的路程與汽車在高速公路上行駛的時(shí)間有什么關(guān)系.”學(xué)生通過閱讀、畫示意圖、分析，得到汽車距上海的路程（s）=徐州到上海的距離（590）-汽車行駛的路程（100t），即s=590-100t.從而運(yùn)用自變量表示的函數(shù)關(guān)系引出一次函數(shù)的概念.

數(shù)學(xué)源于生活，生活中有很多學(xué)生熟知的實(shí)例便于學(xué)生理解函數(shù)關(guān)系.如用“西瓜的單價(jià)一定，買西瓜的斤數(shù)與支付的錢之間的關(guān)系”引出正比例函數(shù).“將一張面值100元的人民幣換成50元的人民幣，可得幾張？如果換成面值20元的，可得幾張？如果換成10元的呢？所換成的面值x元與張數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系”引出反比例函數(shù).“某商店4月份的利潤是3萬元，5、6月份利潤逐月增長，6月份的利潤與這兩個(gè)月利潤的月平均增率x之間的函數(shù)關(guān)系”引出二次函數(shù).學(xué)生看待問題的角度也不盡相同，教師要留有讓學(xué)生討論交流的機(jī)會(huì)，讓他們逐漸靠近概念理解本質(zhì).

二、注重?cái)?shù)形結(jié)合，依據(jù)圖像分析函數(shù)的基本性質(zhì)

“數(shù)無形時(shí)少直覺，形無數(shù)時(shí)難入微.”函數(shù)解析式表示兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而圖像描述變量與函數(shù)值間的變量關(guān)系反映函數(shù)的變化規(guī)律.將數(shù)的精準(zhǔn)與形的巧妙結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生挖掘其內(nèi)在的幾何意義，運(yùn)用數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，能由數(shù)思形、見形思數(shù)，提高數(shù)形轉(zhuǎn)化的能力.

如“一次函數(shù)的圖像”一課的難點(diǎn)是“一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)”.教者讓學(xué)生繪制y=2x、y=2x+4、y=x-2、y=-x+1、y=-1/2x、y=-3/2x-3的圖像，觀察這些圖像，發(fā)現(xiàn)有何特點(diǎn)？這些圖像分別經(jīng)過哪些象限？有什么共同的地方？與哪些量有關(guān)？學(xué)生通過觀察、對(duì)比、討論，歸納出函數(shù)中y=kx+b中k、b的值對(duì)圖像經(jīng)過象限的影響，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過一、三象限；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過二、四象限；b>0時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過一、二象限；b<0時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過三、四象限.教者將函數(shù)y=2x、y=2x+4的圖像進(jìn)行對(duì)比，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)兩條直線互相平行，從而猜想當(dāng)k值相等時(shí)，兩個(gè)一次函數(shù)的圖像是相互平行的兩條直線.

又如在“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（1）”教學(xué)中，學(xué)生通過列表、描點(diǎn)、連線畫出二次函數(shù)y=x2的圖像，學(xué)生在觀察圖像的基礎(chǔ)上，提出問題：“你能描述圖像的形狀嗎？圖像是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，對(duì)稱軸是什么？嘗試找?guī)讓?duì)對(duì)稱點(diǎn).圖像與x軸有交點(diǎn)嗎？如果有，交點(diǎn)是什么？當(dāng)x<0時(shí)，隨著x的增大，y隨x如何變化？當(dāng)x為何值時(shí)，y值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？”教師在教學(xué)中并不生硬地“灌輸”結(jié)論，而是讓學(xué)生運(yùn)用右腦構(gòu)造圖像，在理解的基礎(chǔ)上掌握二次函數(shù)的圖像特征.

三、借助數(shù)學(xué)模型，解決生活實(shí)際問題

一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界緊密相連，在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用.教師要引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，抽象成數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過推理分析求解，然后再還原為實(shí)際問題的解.如某服裝賣場銷售一批品牌褲子，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，為擴(kuò)大銷售，減少庫存，增加盈利，賣場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，通過調(diào)查，如每件褲子每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若賣場平均每天要盈利1200元，每件褲子應(yīng)降價(jià)多少元？（2）每件褲子降低多少元時(shí)，賣場平均每天盈利最多？

在此題中，學(xué)生可以設(shè)每件褲子應(yīng)降價(jià)x元，那么每件售價(jià)為（40-x）元，可以銷售（20+2x）件，由此可以列出方程（40-x）（20+2x）=1200解決第（1）個(gè)問題，求得兩個(gè)根x1=20，x2=10.為盡可能“減少庫存”，就須“降”的多，因而取x=20.在第（2）題中，每天贏利y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800，當(dāng)x=15時(shí)，有最大值.學(xué)生通過求二次函數(shù)最值解決實(shí)際問題中的最大利潤問題，體會(huì)二次函數(shù)是最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型之一，感受其應(yīng)用價(jià)值.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）