駁“倍率無單位”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）新增 “量感” 為小學(xué)階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)。量感內(nèi)涵表明其有助于用定量方法認識和解決問題，是形成抽象能力和應(yīng)用意識的經(jīng)驗基礎(chǔ)，凸顯了量感培養(yǎng)的重要性。但在實際教學(xué)中，因小學(xué)量感培養(yǎng)涉及抽象能力與認知能力，教師難以把握不同階段培養(yǎng)目標(biāo)，未完全領(lǐng)會其與 “三會”的關(guān)系及育人價值，導(dǎo)致量感培養(yǎng)缺失。教師應(yīng)研讀新課標(biāo)，體會量感的意義與核心素養(yǎng)的關(guān)系，把握育人價值，分階段培養(yǎng)學(xué)生 數(shù)感。

一、淺談量感培養(yǎng)的育人價值

（一）量感與“三會”的關(guān)系

“三會” 即 “會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”，這是新課標(biāo)對核心素養(yǎng)構(gòu)成的定義與數(shù)學(xué)學(xué)科的遞進目標(biāo)層次，遵循 “會認識、會思考、會做事” 要求，指向 “抽象關(guān)系、理性精神、數(shù)學(xué)表達” 的學(xué)科培養(yǎng)要求。

量感 屬于認識層次，包含于 “三會” 的第一“會”。其培養(yǎng)需經(jīng) “抽象、推理、模型” 階段層次，“三會” 是運用數(shù)學(xué)思想認識現(xiàn)實世界，量感 是 “觀察現(xiàn)實世界” 的重要內(nèi)容，培養(yǎng)量感有利于應(yīng)用 “三會” 體會數(shù)學(xué)思想。

（二）量感與數(shù)感的關(guān)系

有人認為，“數(shù)”是從“量”中抽象出來的，“量”的表達是離不開“數(shù)”的，任何一個待測量的量一定跟一個確定的數(shù)（測量值）有一一對應(yīng)關(guān)系；同時，“數(shù)”離開了“量”也就失去了實際背景與現(xiàn)實意義。甚至有專家認為“量感可以歸屬于數(shù)感，沒必要再分離出來”，這些都說明了量感與數(shù)感的相似性。這給我的啟示是：量感的培養(yǎng)可以借助數(shù)感培養(yǎng)的方式來進行。

數(shù)感是對數(shù)的意義、大小、運算、數(shù)量關(guān)系及表示結(jié)果的感悟，量感也可以相應(yīng)地理解為對度量單位意義、大小、運算、關(guān)系（換算）及表示結(jié)果（度量結(jié)果）的直觀感知。通過這樣的比較不難發(fā)現(xiàn)，量感的培養(yǎng)在運算、關(guān)系和表示結(jié)果上存在的缺失是培養(yǎng)的難點，這也正是量感培養(yǎng)隱含的育人價值所在。

（三）量感的育人價值

新課標(biāo)指出 “核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性”，教學(xué)與核心素養(yǎng)養(yǎng)成需注重這些特性，要從 “一以貫之” 視角看待核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科的簡潔（抽象）、嚴(yán)謹（唯一）、科學(xué)（邏輯推理）有育人價值，量感培養(yǎng)也是如此。比較量的大小、選擇合適單位、估測數(shù)量等問題都關(guān)乎核心素養(yǎng)養(yǎng)成與育人價值實現(xiàn)。量感的育人價值在于通過階段培養(yǎng)體會數(shù)學(xué)獨特魅力、反映本質(zhì)特征、感受世界辯證統(tǒng)一的規(guī)律。

二、剖析量感培養(yǎng)的應(yīng)用實例

對量感的培養(yǎng)現(xiàn)在主要集中在以實驗活動感悟、驗證或估測上，屬于“抽象、模型”數(shù)學(xué)思想的運用。但在“推理”方面對量感的培養(yǎng)較少，而這正是其與數(shù)感相連的重要組成部分，是實現(xiàn)育人價值的關(guān)鍵?，F(xiàn)舉例說明。

（一）重“數(shù)”輕“量”不可取

有人認為，數(shù)感更多關(guān)注的是“數(shù)”，可以去掉后綴單位名詞，直接用數(shù)字、符號及字母表示；而量感則不能單獨表示，需要以“數(shù)+單位”的形式呈現(xiàn)。誠然，數(shù)字是事物高度抽象的產(chǎn)物，但度量單位也是實際測量結(jié)果的抽象反映，不容輕視。

如在教學(xué)“公頃與平方千米”時，談及“省份面積”，學(xué)生很容易想到用平方千米來表示。又如，教學(xué)“克與千克”時，學(xué)生知道金飾重量一般以克來計量。這些都是基本經(jīng)驗，學(xué)生能感知“平方千米”其量之大，已經(jīng)體現(xiàn)學(xué)生具備基礎(chǔ)量感。

因此，在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)把量與數(shù)放到一定地位來看待，談及具體情境中的事物必須考慮“單位”及其數(shù)量的實際大小來感知，避免出現(xiàn)重數(shù)輕量的誤區(qū)。

（二）駁“倍率無單位”

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀》中提到，倍數(shù)問題的本質(zhì)是基于度量單位的計數(shù)，比率問題的基本形式是“原始量×改變大小的比率=改變后的量”，其中，改變大小的比率是無單位的。還提到，第二類是由于不同量的乘除產(chǎn)生了新的量或者抵消了單位而成為一個單純的數(shù)值。據(jù)此，有人認為“倍率無單位”，這恰恰是對新課標(biāo)的誤讀。這樣的看法非常不利于核心素養(yǎng)一致性的體現(xiàn)。史寧中教授在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運算的一致性》一文中提到，“可建構(gòu)數(shù)的概念與運算的一致性框架：一個核心概念，即計數(shù)單位；一些基本規(guī)律，即運算律與等式的基本性質(zhì)；一些基本運算，即計數(shù)單位與計數(shù)單位運算，計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字運算……”將計數(shù)單位的運算提升到與數(shù)字計算等同的位置，體現(xiàn)了數(shù)運算的一致性，計數(shù)單位的運算補充了數(shù)運算，共同構(gòu)成了數(shù)感的培養(yǎng)內(nèi)容。

其實，在量感培養(yǎng)中，度量單位在運算中的地位也完全可以等同于數(shù)與計數(shù)單位，即度量單位也可以參與運算。試舉四例。

其一，加減法。如“30千克+40千克”，數(shù)30與40相加，計數(shù)單位1與度量單位千克不變（還能看成“3個10千克加4個10千克”），這是由于加減法是同單位量的計數(shù)，因此單位不同的不能相加（同類單位要化成相同的才能相加，如4千克+500克=4500克或者4.5千克，3個10+4=34或3.4個10，在教學(xué)實踐中忽視計數(shù)單位同樣導(dǎo)致各種誤區(qū)，如“分數(shù)單位”。

其二，乘法。如求解長方形面積“3米×2米”中，3×2=6，米×米=米2（讀作平方米，表示兩個米相乘，平方運算的意義），數(shù)的計數(shù)與新單位的生成同時進行。

其三，除法。如求解行駛速度“10千米÷2小時”時，10÷2=5，千米÷小時=千米/小時（讀作千米每小時，/表示除法）。

其四，乘除法混合。如求解鋪路效率“2米×1.5米/秒”（2米表示壓路機滾筒寬度，1.5米/秒表示行進速度）中，2×1.5=3，米×米/秒=米2/秒（讀作平方米每秒，表示兩個米相乘再除以秒），實際表示單位時間的鋪路面積。再如，求解行駛時間“20千米÷4千米/時”時，20÷4=5，千米÷千米/時=時（這里運用連除性質(zhì)，或可看成分數(shù)運算，或可運用商不變規(guī)律等），得到的5時就表示行駛時間。

以上表明，度量單位與數(shù)、計數(shù)單位同等參與運算并運用運算定律完全是可以理解的，這更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一致性。但為什么到了同單位相除產(chǎn)生倍率以及同類單位相除產(chǎn)生的進率時，我們卻沒有底氣將其歸一化呢？再舉兩例說明。

其一，同單位相除的倍率。如求大樹高度是小樹的幾倍“6米÷2米”時，6÷2=3，米÷米=米/米=1（兩個相同的非0數(shù)相除商為1，這里將度量單位按照數(shù)、計數(shù)單位的運算法則統(tǒng)一運算），這個1不僅不是“不存在”或“沒有單位”，反而意義重大——其恰恰表示了同單位相除時二者更重要的關(guān)系“倍、比、率”，這個1我們稱為“單位‘1’”，是學(xué)習(xí)分數(shù)和分率的重要概念。

其二，同類單位相除的進率。如求1米等于多少厘米“1m÷1cm”中，1÷1=1，m/cm，得到“1m/cm”，但由于單位不同不能包含比較，因此看成100cm÷1cm=100cm/cm，答案是100。

所以，如果將進率看成相同單位或同類單位相除的形式，再運用數(shù)運算的方法和規(guī)律，我們就不會混淆單位轉(zhuǎn)換是應(yīng)該乘還是除以進率。如給定“1.5米”和進率“100cm/m”，要得到其轉(zhuǎn)化為多少cm，還會除以100嗎？當(dāng)然，用估算大小或?qū)⒚卓闯?00cm的方式也能得到應(yīng)該用乘法，但“帶單位的進率”拓寬了對單位轉(zhuǎn)換問題的視角。

綜上所述，倍率單位僅僅是相同單位或同類單位轉(zhuǎn)化成相同單位后的簡化形式，其單位“1”并不能等同于“無（不存在，或0）”。

（三）借助單位加強關(guān)系教學(xué)

有了以上對單位認識和單位運算的看法，我們可以試著借助量感培養(yǎng)中的單位意識來加強數(shù)與量的關(guān)系教學(xué)。試舉三例。

其一，雙向歸一問題。在學(xué)習(xí)“小數(shù)除法”后，在解決“5分鐘行了2千米”中“每分鐘行幾千米”的基礎(chǔ)上要回答“走1千米需要幾分鐘”時易錯。在教學(xué)時嘗試從單位入手，讓學(xué)生遷移求“每分鐘行幾千米”的方法。如能夠說出“求單位時間內(nèi)行的路程就是求速度，應(yīng)當(dāng)用路程除以時間”，提醒單位“千米/分”的意義（求每一分鐘行的路程，平均除）和運算方法（千米÷分），再對比“1千米要幾分鐘”，學(xué)生就能將千米數(shù)平均分成2份，用“分÷千米”的單位去尋找數(shù)量條件。避免通過數(shù)字大小判斷除法方向的慣性思維錯誤。

其二，“出油率”問題。“10千克油菜籽榨出8千克菜籽油，問40千克菜籽油要多少油菜籽榨？”這樣的問題容易出錯，正是因為“倍率無單位”觀點作祟。鑒于相同單位不易區(qū)分，可以分別看成“籽kg”和“油kg”，得到條件進率“10籽kg/8油kg”和重量“40油kg”，要得到“籽kg”唯一的方法就是相乘。

其三，運用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思維一題多解的歸一問題。筆者曾做過一個測試，“一種藥材，4元可以買20克，問8元可以買多少克？”大部分學(xué)生采用“20×（8÷4）”的擴倍法，少部分學(xué)生采用“8÷（4÷20）”的比率法（有趣之處在于學(xué)生寧可“忍受”數(shù)字計算及兩次除法運算的不便也要采用g作為均分單位，體現(xiàn)了生活經(jīng)驗的影響）（如圖1右面和上面深色箭頭所示，方向表示除法方向）。但其實“20÷4×8”和“20÷（4÷8）”通過除法和單位的意義也能解釋（淺色箭頭），這樣多角度審視題目，有助于學(xué)生養(yǎng)成轉(zhuǎn)化思維，體會數(shù)學(xué)順逆變化的一致性。

三、試論量感培養(yǎng)的階段建議

（一）落實量感培養(yǎng)的階段任務(wù)

由于量感與數(shù)感在核心素養(yǎng)階段表現(xiàn)的相似性和相關(guān)性，應(yīng)當(dāng)加強量感與數(shù)感的聯(lián)系對比，參照數(shù)感培養(yǎng)的方式培養(yǎng)量感。如在數(shù)的認識時，我們需要計數(shù)、比較、近似感知、估計、計算，在認識單位時可以借助同樣的方式。但由于量感培養(yǎng)更依托基于實物的抽象過程，量感的養(yǎng)成也與學(xué)生的心智發(fā)展水平相關(guān)，因此建議小學(xué)階段按數(shù)學(xué)認知層次，分三段來完成培養(yǎng)任務(wù)。

低段重在感性認識，通過數(shù)學(xué)實驗或操作活動積累度量經(jīng)驗，認識度量單位。要發(fā)展學(xué)生的“定量刻畫”能力，也就是要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗中，真切體驗量的形成過程，讓量感的培養(yǎng)真實可見。

中段嘗試?yán)硇酝评?，通過運算、換算、推理、證明等方式，將量感與數(shù)感聯(lián)系起來協(xié)同培養(yǎng)。通過緊扣度量本質(zhì)展開，使學(xué)生的量感體驗豐富起來，提煉教學(xué)支點的剛性，可以取得以簡馭繁的教學(xué)效果。或者將不同類型知識整合聯(lián)系起來思考，以計量“單位、進率、工具、應(yīng)用”等關(guān)鍵要素將核心知識串聯(lián)為網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，在“做數(shù)學(xué)”的過程中積累活動經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生通過類比、遷移，深刻把握計量知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)量感素養(yǎng)的穩(wěn)步提升。

高段探索實際應(yīng)用，通過已有的單位感知和單位轉(zhuǎn)換、推理的能力，在實際活動中進行大量估測、對比，調(diào)整、修正量感的養(yǎng)成。這里面還包括跨學(xué)科的內(nèi)容，如運用創(chuàng)新意識應(yīng)用創(chuàng)造的度量工具（如身體上的尺子）進行估測，認識和創(chuàng)造新的單位（如彈簧張力系數(shù)N/m），發(fā)展金融素養(yǎng)（如購物、貨幣兌換與利率）等。

（二）落實量感培養(yǎng)的注意事項

在量感階段培養(yǎng)中，要根據(jù)階段任務(wù)和學(xué)生發(fā)展特點，有不同的側(cè)重點。

低段的感性認識階段，要采用多種單位認識和描述同一事物。如“分的認識”教學(xué)中，一分鐘有60秒，60秒可以做多少事情？10個俯臥撐，100下跳繩，20道口算題，擦4塊1平方米的地磚，背2篇古詩……

中段的理性推理階段，要重視數(shù)與量的聯(lián)系教學(xué)。如在計算中單位怎么處理，如何通過單位推理計算等。如在有余數(shù)的除法中通過各個數(shù)量的單位確定[13本書平均分給5個人，每人得到幾本，還剩幾本，13（本）÷5人=2（本/人）……3（本）]，再次認識到“余數(shù)是被除數(shù)的一部分，單位與被除數(shù)相同”。

高段的實際應(yīng)用階段，要注重學(xué)生對認識、推理的應(yīng)用與表達。如“一公頃有多大”，學(xué)生通過教室長約8米，寬約6米，估算面積大約50平方米，再通過1公頃=10000平方米的換算和倍數(shù)計算，得出“一公頃約等于200間教室”的結(jié)論。再聯(lián)系已有的知識“故宮面積44公頃”，推理出“故宮面積約為8800間教室”，再從“故宮有房間9999間”推理出“故宮房間平均面積小于教室（同時也考慮公共交通面積，如走道和花園等）”的結(jié)論。

綜上所述，“倍率無單位” 體現(xiàn)了對單位的忽視、重“數(shù)”輕“量”和量感不足。小學(xué)應(yīng)分階段明確量感培養(yǎng)目標(biāo)，遵循 “認識、推理、應(yīng)用” 路徑，即低段親歷度量認識單位形成量感，中段通過想象推理活動掌握聯(lián)系發(fā)展量感，高段在應(yīng)用活動中運用認識及推理增強量感。同時，將量感與數(shù)感聯(lián)系起來，關(guān)注單位在數(shù)量關(guān)系中的作用，以達成核心素養(yǎng)相關(guān)特性，實現(xiàn)量感培養(yǎng)的育人價值。