把握關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)感銜接

摘"要：數(shù)感是一種感覺(jué)，這種“感覺(jué)”不僅需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的訓(xùn)練，通過(guò)感受和領(lǐng)悟逐漸變成自身具有的能力，更要把握好學(xué)習(xí)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)感發(fā)展從“確定”到“不確定”、從“真實(shí)”到“虛擬”、從“絕對(duì)”到“相對(duì)”的銜接，形成“數(shù)”認(rèn)識(shí)的完整體系，逐步解析數(shù)的內(nèi)涵，完善數(shù)的意義，拓展數(shù)的領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)感；“種子課”

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）的頒布，核心素養(yǎng)表現(xiàn)中的“數(shù)感”再一次成為小學(xué)數(shù)學(xué)界的討論重點(diǎn)。數(shù)感是一種感覺(jué)，這種“感覺(jué)”不僅需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的訓(xùn)練，通過(guò)感受和領(lǐng)悟逐漸變成自身具有的能力，更要把握好學(xué)習(xí)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。梳理小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)概念的相關(guān)內(nèi)容（如圖1所示）后，筆者以為，數(shù)感發(fā)展有三個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)——確定到不確定、真實(shí)到虛擬、絕對(duì)到相對(duì)，需要做好銜接工作。

一、解析數(shù)的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)“確定”到“不確定”的銜接

小學(xué)階段有關(guān)數(shù)的認(rèn)識(shí)是從自然數(shù)開(kāi)始的。在低年段時(shí)，學(xué)生通過(guò)對(duì)1個(gè)蘋(píng)果、2張桌子等這樣的數(shù)量的抽象得到自然數(shù)1—9，又通過(guò)數(shù)小棒、正方體等產(chǎn)生更大的自然數(shù)。這些自然數(shù)都是描述確定的具體數(shù)量。此外，學(xué)生也經(jīng)常遇到4個(gè)蘋(píng)果是1個(gè)蘋(píng)果幾倍的問(wèn)題，這是對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象，“4倍”依然是描述一個(gè)具體的、確定的數(shù)量關(guān)系。由此可見(jiàn)，自然數(shù)在表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系時(shí)指向的都是確定的量。那么，正分?jǐn)?shù)、正小數(shù)是不是也像自然數(shù)一樣呢？確實(shí)是一致的，它們實(shí)際上是自然數(shù)的拓展，當(dāng)然也就表示一個(gè)具體的、確定的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，只是它們用來(lái)表示比計(jì)數(shù)單位“1”更小的數(shù)量。因此，這一階段學(xué)生的數(shù)感習(xí)得，可能都停留于“確定的、具體的”，都是一一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)關(guān)系。

而到了四年級(jí)認(rèn)識(shí)近似數(shù)時(shí)，數(shù)描述的不僅是一個(gè)點(diǎn)，而是拓展到一個(gè)范圍。數(shù)感由原來(lái)的一個(gè)點(diǎn)向一條線或一個(gè)面進(jìn)階，因此，我們不妨把這部分內(nèi)容作為“種子課”，它是數(shù)內(nèi)涵的進(jìn)一步深化。在教學(xué)時(shí)，教師要在具體的數(shù)和一個(gè)范圍的數(shù)之間搭起一座橋梁，讓學(xué)生對(duì)數(shù)的理解更全面、更立體。不過(guò)，此時(shí)的數(shù)依然是確定的，只是變成了一個(gè)取值范圍。

而數(shù)感從確定到不確定轉(zhuǎn)變的重要節(jié)點(diǎn)在《字母表示數(shù)》一課，此時(shí)的數(shù)具有了不確定性——它存在“未知”的特點(diǎn)，是一個(gè)會(huì)根據(jù)相應(yīng)的信息而變化的量，或因情境信息的不同確立不同的量與量之間的數(shù)量關(guān)系。在此課的學(xué)習(xí)中，有些教師會(huì)側(cè)重“怎么用字母表示數(shù)”，這是不夠的。如果要實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)感從確定到不確定的順利銜接，“字母表示不確定的數(shù)”“字母表示量與量的數(shù)量關(guān)系”“為什么要用字母表示數(shù)”等問(wèn)題都是值得被關(guān)注的。從一個(gè)數(shù)表示具體的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，到一個(gè)字母或含有字母的式子表示一個(gè)數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，學(xué)生是存在一定的理解障礙或疑惑的。因此，《字母表示數(shù)》一課教學(xué)，我們需要抓住“關(guān)系”做文章，讓學(xué)生體驗(yàn)到字母雖然是不確定的，但也是“確定”的——它們能概括一組關(guān)系，通過(guò)它就能發(fā)展數(shù)量的特征與關(guān)系。這也就是數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性的重要體現(xiàn)，同樣也真正完善了對(duì)數(shù)感不確定性的詮釋。

由此，有關(guān)數(shù)的內(nèi)涵，我們?cè)谶@一階段需要完成從確定到不確定的過(guò)渡和銜接（如圖2所示），讓學(xué)生從確定的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系發(fā)展到不確定的變量，形成一個(gè)較為完善的數(shù)感體系。

二、完善數(shù)的意義，實(shí)現(xiàn)“真實(shí)”到“虛擬”的銜接

課標(biāo)特別把“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”這部分內(nèi)容劃歸至統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)習(xí)領(lǐng)域，這意味著從統(tǒng)計(jì)的視角認(rèn)識(shí)數(shù)也十分必要。而《平均數(shù)》一課是把數(shù)與統(tǒng)計(jì)量關(guān)聯(lián)起來(lái)的“種子課”，也就是要讓學(xué)生領(lǐng)悟到平均數(shù)是一個(gè)虛擬數(shù)，而前面學(xué)習(xí)的自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)、正小數(shù)、近似數(shù)等都是真實(shí)的數(shù)。那么，如何從真實(shí)的數(shù)過(guò)渡到虛擬的數(shù)便成為第二個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。因此，在教學(xué)《平均數(shù)》一課時(shí)，我們需要讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，進(jìn)而體驗(yàn)數(shù)據(jù)的變化和奧秘。

例如，教師設(shè)計(jì)了“記數(shù)大王”游戲作為課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)據(jù)的變化，體驗(yàn)數(shù)產(chǎn)生的真實(shí)性。而平均數(shù)卻有可能不在這些現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)中，它是“勻”出來(lái)的，所以具有虛擬性；它不僅受最大值和最小值的影響，還可能因?yàn)閿?shù)據(jù)的差異性而使得它與其他數(shù)據(jù)“格格不入”。玩了5次后，其平均數(shù)是6，那么第6次的數(shù)據(jù)也將影響這6次的平均數(shù)。因此，無(wú)論是用移多補(bǔ)少、取長(zhǎng)補(bǔ)短，還是先合后分，其本質(zhì)是一致的，都是把原有的數(shù)進(jìn)行均分，從而“勻”出一個(gè)數(shù)，用來(lái)描述具有代表性的一般水平，是為了滿足統(tǒng)計(jì)和分析問(wèn)題需要。

當(dāng)然，這種虛擬性并不是憑空捏造的，而是依據(jù)數(shù)據(jù)的特征，分析數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)，根據(jù)現(xiàn)實(shí)需求，找到一個(gè)合適的“數(shù)”來(lái)代表一組數(shù)量的水平。它可能在這組數(shù)中，也可能不在這組數(shù)中；可能是整數(shù)，也可能是小數(shù)。其實(shí)，要讓學(xué)生完成從原來(lái)真實(shí)的數(shù)到虛擬的數(shù)的轉(zhuǎn)變并非易事，學(xué)生會(huì)有這樣的疑問(wèn)：數(shù)應(yīng)該是確定的，為什么在這里又變成虛擬的了？是的，如果作為統(tǒng)計(jì)量那應(yīng)該就是變化的、虛擬的。玩5次的平均數(shù)是6，那下一次能確定一定是6嗎？顯然是不能確定的，這就需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中創(chuàng)建任務(wù)讓學(xué)生去體驗(yàn)，他們才能真正地理解。此外，平均數(shù)是針對(duì)一組統(tǒng)計(jì)量的，它應(yīng)該是對(duì)整體數(shù)據(jù)的描述，不是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的，也不是點(diǎn)對(duì)面的，那么這樣的數(shù)可能就不是真實(shí)存在的，它是需要虛擬得到的。

三、拓展數(shù)的領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)“絕對(duì)”到“相對(duì)”的銜接

無(wú)論是自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)、正小數(shù)、近似數(shù)、字母表示的數(shù)，還是平均數(shù)，這些數(shù)都具有絕對(duì)性。這些數(shù)為什么是絕對(duì)的呢？因?yàn)樗鼈兌际潜硎揪唧w的數(shù)量的多與少，或者描述一個(gè)量的整體情況，并未反映出數(shù)相對(duì)性的一面。只有《負(fù)數(shù)》一課的出現(xiàn)，才真正地讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)的相對(duì)性——正與負(fù)是相對(duì)的，描述的是一種“狀態(tài)”。因此，《負(fù)數(shù)》一課就是實(shí)現(xiàn)從絕對(duì)到相對(duì)銜接的“種子課”。當(dāng)然，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生具有必然性，它是拓展數(shù)概念域的需要。由正到負(fù)，不僅能拓寬學(xué)生對(duì)數(shù)概念的認(rèn)知范圍，還能讓學(xué)生體會(huì)相對(duì)、相反的現(xiàn)象，以及事物的兩種不同的狀態(tài)。因此，本課教學(xué)一般從生活中的溫度等模型切入，讓學(xué)生基于生活中的冷熱現(xiàn)象等領(lǐng)會(huì)到“相對(duì)性”，從而抽象出“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”這一數(shù)學(xué)模型。當(dāng)學(xué)生從具體描述多少的數(shù)，走向表示相對(duì)狀態(tài)的數(shù)，這一跨越便融通了學(xué)生對(duì)數(shù)的固有認(rèn)識(shí)：數(shù)只能表示數(shù)量的多少。從正到負(fù)，也滿足了學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的表達(dá)，現(xiàn)實(shí)生活中不僅有“黑”，也有“白”。課標(biāo)提出，要會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，那么，負(fù)數(shù)的產(chǎn)生就是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)，同樣促進(jìn)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光審視現(xiàn)實(shí)世界，從而有關(guān)數(shù)的相對(duì)性表述的必要性便一覽無(wú)遺。所以，這是學(xué)生建立完整的數(shù)感體系的一個(gè)重要支點(diǎn)。

由此，負(fù)數(shù)是小學(xué)階段認(rèn)識(shí)數(shù)的一個(gè)重要分水嶺，無(wú)論是鏈接初中的數(shù)軸與絕對(duì)值等知識(shí)，還是體現(xiàn)其在生活中的廣泛運(yùn)用，都有舉足輕重的作用。它是學(xué)生建立完整的數(shù)概念的重要組成部分，也是學(xué)生數(shù)感結(jié)構(gòu)化、整體化和關(guān)聯(lián)化的重要支撐。

從確定到不確定，從真實(shí)到虛擬，從絕對(duì)到相對(duì)，不斷地拓展數(shù)的內(nèi)涵、意義和領(lǐng)域，學(xué)生數(shù)感的發(fā)展也就能循序漸進(jìn)，一步一個(gè)腳印，從孤立的點(diǎn)，發(fā)展成線、面，再到立體的結(jié)構(gòu)。這便是課標(biāo)中最為突出的要求，即結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化的思維的生成，推動(dòng)結(jié)構(gòu)化的數(shù)感的形成。上好“種子課”，把握數(shù)感發(fā)展的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展真正落地。