一道中考試題的深度探尋
——以2023年揚(yáng)州市中考第28題為例

姚 軍 李愛民

? 江蘇省高郵市甘垛鎮(zhèn)澄陽初級(jí)中學(xué) ? 江蘇省儀征市新集中學(xué)

中考試題的命制立意是體現(xiàn)考試目的,反映學(xué)科本質(zhì)及課程教學(xué)改革方向.一份高質(zhì)量的試卷是命題人經(jīng)過反復(fù)推敲、仔細(xì)斟酌、精心打磨形成的,由科學(xué)、可信、新穎、有充足的信息和一定深度的考題組成.其中壓軸題尤為突顯,它綜合性較強(qiáng),一般從學(xué)生所學(xué)知識(shí)、思維方法、問題呈現(xiàn)等方面進(jìn)行設(shè)計(jì),突出考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵能力,體現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)和素養(yǎng)目標(biāo)的整體結(jié)構(gòu)能力.

當(dāng)然,很多壓軸題由于受時(shí)間、空間、難度要求等方面的限制,還有一些知識(shí)未能呈現(xiàn)在試題中,如果從設(shè)問的不同角度進(jìn)一步挖掘定能展現(xiàn)更完整的知識(shí)體系,同時(shí)對(duì)學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)起到延續(xù)和創(chuàng)新作用.筆者通過對(duì)2023年揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)試卷第28題的深度探尋,挖掘了更多有價(jià)值的問題,以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、空間觀念、推理能力的目的,幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值,并能夠從問題解決的過程中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心[1].

1 原題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A在y軸正半軸上.

(1)如果四個(gè)點(diǎn)(0,0),(0,2),(1,1),(-1,1)中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)y=ax2(a為常數(shù),且a≠0)的圖象上.

①a=______.

②如圖1,已知菱形ABCD的頂點(diǎn)B,C,D在該二次函數(shù)的圖象上,且AD垂直于y軸,求菱形的邊長.

圖1

③如圖2,正方形ABCD的頂點(diǎn)B,D在該二次函數(shù)的圖象上,點(diǎn)B,D在y軸的同側(cè),且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè),設(shè)點(diǎn)B,D的橫坐標(biāo)分別為m,n,試探究n-m是否為定值,如果是,求出這個(gè)值;如果不是,請(qǐng)說明理由.

圖2

(2)已知正方形ABCD的頂點(diǎn)B,D在二次函數(shù)y=ax2(a為常數(shù),且a>0)的圖象上,點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè),設(shè)點(diǎn)B,D的橫坐標(biāo)分別為m,n,直接寫出m,n滿足的等量關(guān)系式.

2 試題解析

上述試題解析如下.

解析：(1)①由于二次函數(shù)y=ax2頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為y軸,因此可判斷點(diǎn)(0,2)不在該二次函數(shù)的圖象上,其他三個(gè)點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上,進(jìn)而求出a=1.

③如圖3,若點(diǎn)B,D同在y軸右側(cè),過點(diǎn)B,D分別作y軸的垂線,垂足分別為M,N,易得△ABM≌△DAN,所以BM=AN,AM=DN.因?yàn)锽(m,m2),D(n,n2),所以AN=m,AM=n,NO=n2,MO=m2.因?yàn)镹O-MO=MN,所以n2-m2=m+n,即(n+m)(n-m)=m+n.又n+m≠0,所以n-m=1.若點(diǎn)B,D同在y軸左側(cè),同理可得n-m=1.綜上可得,n-m=1.

圖3

圖4

評(píng)注：本題以探索圖形在拋物線上的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的幾何模型為背景,關(guān)注學(xué)生的代數(shù)推理能力.綜合考查二次函數(shù)與特殊四邊形等初中數(shù)學(xué)核心知識(shí),考查學(xué)生幾何直觀能力與圖形模型思想.通過圖形的運(yùn)動(dòng)變化,突出對(duì)模型思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的考查.作為綜合題,問題層層推進(jìn),難度逐步增加,體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,起到了區(qū)分與把關(guān)的作用.

3 考題再思考

3.1 對(duì)未關(guān)注的點(diǎn)A,C的思考

接著原題(1)中的第③問繼續(xù)探究,在正方形ABCD中,我們關(guān)注的點(diǎn)當(dāng)然是拋物線上的B,D兩點(diǎn),這兩點(diǎn)始終在拋物線上,而另兩點(diǎn)A,C往往被我們忽略了,其中點(diǎn)A在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng),它引領(lǐng)點(diǎn)B,D的位置,但運(yùn)動(dòng)的軌跡始終是一條射線.正方形ABCD中還有一點(diǎn)C,它的運(yùn)動(dòng)軌跡又是什么呢?

借助幾何畫板追蹤點(diǎn)C,會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是一條拋物線,如圖5.怎么理解呢?

圖5

如果把B,D兩點(diǎn)看作一動(dòng)點(diǎn)(兩點(diǎn)位置存在一定的關(guān)系),點(diǎn)C隨點(diǎn)B,D的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),又點(diǎn)B,D在拋物線上運(yùn)動(dòng),由“瓜豆原理”可知點(diǎn)C也在拋物線上運(yùn)動(dòng).

圖6

基于此結(jié)論,可以設(shè)置如下問題:

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;(2)求動(dòng)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的最小值;(3)求正方形ABCD面積的最小值.

在探尋點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí),兩次運(yùn)用了“K”字型模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化,一次是找B,D兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系,另一次是找點(diǎn)C與B,D兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系,對(duì)思維能力的要求較高.學(xué)生從中獲取了解決問題的基本策略,同時(shí)培養(yǎng)了代數(shù)推理能力.

3.2 對(duì)拋物線的一般性思考

3.2.1 將拋物線沿y軸平移

將拋物線y=ax2(a為常數(shù),且a>0)沿y軸向上或向下平移|k|個(gè)單位長度,此時(shí)拋物線的解析式為y=ax2+k(a為常數(shù),且a>0).

圖7

3.2.2 將拋物線沿x軸平移

圖8

3.2.3 將拋物線沿x軸、y軸平移

將拋物線y=ax2(a為常數(shù),且a>0)的圖象先沿x軸向左或向右平移|h|個(gè)單位長度,再沿y軸平向上或向下平移|k|個(gè)單位長度,此時(shí)拋物線的解析

圖9

不難發(fā)現(xiàn),無論拋物線怎么平移,這樣的正方形若存在,則B,D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系只取決于對(duì)稱軸的位置以及a的大小.基于此結(jié)論,可以設(shè)置如下問題:對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a>0),點(diǎn)A在對(duì)稱軸上,正方形ABCD的頂點(diǎn)B,D在該二次函數(shù)的圖象上,試探究B,D兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系.

在研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)過程時(shí),如果從整體變化和相對(duì)位置不變的角度探尋,進(jìn)行縱向挖掘,層層推理,由易到難,會(huì)發(fā)現(xiàn)更深刻、更一般的結(jié)論.這樣不僅可以優(yōu)化考題設(shè)計(jì),也能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的縱深拓展.

4 感悟反思

4.1 立足方法,形成解題模式

上述試題的探究立足于幫助學(xué)生構(gòu)建這類數(shù)學(xué)問題的解題模式,促進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形在拋物線上運(yùn)動(dòng)這一模型的識(shí)別和深度探尋,對(duì)學(xué)生提高解題速度和深度理解解題過程都有很大的幫助.該試題總結(jié)了與拋物線相關(guān)的正方形中B,D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系.上述探究都是通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),并用坐標(biāo)表示線段的長度,再根據(jù)幾何模型中線段的數(shù)量關(guān)系列出方程,進(jìn)而推導(dǎo)出B,D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系.將解題經(jīng)驗(yàn)顯性化、一般化,并總結(jié)出其中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、方程、函數(shù)建模等數(shù)學(xué)思想方法.

4.2 知識(shí)生長,激發(fā)思維延續(xù)

開展考題探究不僅要關(guān)注解題突破過程,還應(yīng)重視拓展過程,在拓展的過程中促進(jìn)知識(shí)的生長.弗賴登塔爾認(rèn)為“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)唯一正確的方法是讓學(xué)生進(jìn)行‘再創(chuàng)造’,也就是說,由學(xué)生本人把學(xué)習(xí)的東西實(shí)現(xiàn)或創(chuàng)造出來,教師的任務(wù)是為學(xué)生的發(fā)展創(chuàng)造條件、引導(dǎo)探索”[2].因此,平時(shí)的考題研究應(yīng)不局限于原題,還應(yīng)大膽探究,推廣衍生新問題,這樣學(xué)生的思維在原有的基礎(chǔ)上又能得到延續(xù)和發(fā)展,從而促進(jìn)學(xué)生深入思考問題,把問題真正想深、悟透、學(xué)活.

4.3 滲透素養(yǎng),聚焦關(guān)鍵能力

考題是學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力落實(shí)的主要衡量指標(biāo)之一,這就要求教師平時(shí)不能僅停留在對(duì)考題方法的研究上,還應(yīng)對(duì)考題立意、本質(zhì)、拓展加以探究,旨在把學(xué)生對(duì)考題“研”的過程轉(zhuǎn)向教師對(duì)考題“命”的研究上.上述試題中,通過圖形在拋物線中的運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生在分析問題過程中借助數(shù)學(xué)模型培養(yǎng)幾何直觀、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

總之,在深度學(xué)習(xí)背景下的初中數(shù)學(xué)壓軸題的探究中,教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題的能力,提高學(xué)生的問題意識(shí),最終通過巧妙的問題設(shè)計(jì),不斷提升問題厚度,使學(xué)生拓展思維寬度,提升思維深度,進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.