如何利用幾何畫板講解二次函數(shù)圖像的變化

宗迎峰

摘? 要：二次函數(shù)圖像是九年級數(shù)學教學中的重點，也是一個難點，因為二次函數(shù)圖像本身是一條曲線，不像一次函數(shù)圖像那么容易畫出，這就給教學活動帶來一定難度，所以在傳統(tǒng)教學中，教師很難直觀、準確地講清楚其性質(zhì)特征及有關(guān)變化。運用幾何畫板中的畫圖、變化等工具，可以很快捷準確地畫出二次函數(shù)的圖像，并且能夠進行各種變化的動態(tài)演示，在學生頭腦中形成動態(tài)的映像，有利于學生更好地理解掌握二次函數(shù)圖像的有關(guān)變化。

關(guān)鍵詞：幾何畫板；二次函數(shù)圖像；圖像變化

一、研究背景

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（２０２２年版）》指出：促進信息技術(shù)與數(shù)學課程融合。因此教師可以合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，設(shè)計生動的教學活動，促進數(shù)學教學方式方法的變革；在實際問題解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學習環(huán)境，提升學生的探究熱情，開闊學生的視野，激發(fā)學生的想象力，提高學生的信息素養(yǎng)。

在探究函數(shù)圖像性質(zhì)過程中，動態(tài)變化是一個很重要的內(nèi)容，也是一個難點。因為在傳統(tǒng)教學中，體現(xiàn)出來的大多是一種靜態(tài)變化，教師很難把一些動態(tài)的問題解釋清楚，特別對一些空間想象能力較弱的學生而言更是如此。常用的ＰｏｗｅｒＰｏｉｎｔ、Ｆｌａｓｈ動畫雖然能夠演示運動變化，但是由于它們不具備準確的計算、度量功能，因此演示的大多只是一種表象，很難反映出問題的本質(zhì)?！皫缀萎嫲濉边@一工具具有動態(tài)直觀、數(shù)形結(jié)合、色彩鮮明、變化無窮的特點，它的繪圖、計算、變化等功能能準確演示出圖像的運動，使學生能夠通過現(xiàn)象看到本質(zhì)，這不僅極大地提升了學生的學習興趣，而且降低了學生理解問題的難度。

二次函數(shù)圖像的變化主要是做平移、軸對稱、中心對稱的變化，要求學生求出其變化后的解析式。教材中只涉及了在頂點形式下的平移變化，而對頂點形式下的軸對稱和中心對稱變化沒有做過多的安排。對一般形式下的變化，教學過程中通常采用先化成頂點的形式，然后再做相關(guān)的變化，這個過程比較煩瑣，容易出錯，并且學生對其變化以后的解析式缺乏準確透徹的理解。

在教學二次函數(shù)圖像的過程中，教師可以運用幾何畫板（５．０６版）這一工具，通過畫圖、變化、動畫等功能，讓學生在動態(tài)變化中觀察、體驗變化前后的圖像有哪些相同點、哪些不同點，進一步思考這些變化與不變給解析式帶來怎樣的變化，使學生體驗到數(shù)形結(jié)合的思想，從而更好地掌握教學內(nèi)容。

因為函數(shù)圖像的變化會引起解析式中常數(shù)的相關(guān)變化，所以可以首先讓學生熟悉頂點形式ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ中各個常數(shù)的作用：ａ的絕對值決定著開口的大小，ａ的符號決定著開口的方向；ｋ決定著對稱軸（直線ｘ＝ｋ），還決定著頂點的橫坐標；ｈ決定著頂點的縱坐標，頂點坐標是（ｋ，ｈ）。

二、二次函數(shù)圖像在頂點形式下的軸對稱變化

以ｙ＝２（ｘ－３）²＋１為例，可以讓學生在練習本上畫出草圖，作關(guān)于ｘ軸對稱的圖形，觀察圖形的大致特征，思考哪些圖形發(fā)生變化、哪些不變，進一步思考解析式將發(fā)生怎樣的變化。但是通常學生畫出的圖形缺乏準確性，并且不同學生畫出的圖形也會有很大的差距，這樣就會造成理解困難，需要教師規(guī)范畫圖思路，利用幾何畫板的“繪圖”工具畫出ｙ＝２（ｘ－３）²＋１的圖像。

函數(shù)圖像在幾何畫板中是不能直接做關(guān)于直線對稱的圖形的，需要標記鏡面來“反射”。教師先在ｙ＝２（ｘ－３）²＋１圖像上構(gòu)造一個點，然后做這個點關(guān)于ｘ軸的反射點，經(jīng)過這兩個點構(gòu)造線段，在新線段上構(gòu)造點，選中這個點和第一個點作為軌跡，通過移動線段上的點，最終就得到了ｙ＝２（ｘ－３）^２＋１關(guān)于ｘ軸的對稱圖形。

這個變化過程是動態(tài)的，教師拖動新線段上構(gòu)造的點就可以演示從原圖像到對稱圖形的整個變化過程，在學生頭腦中建立運動的映像，使學生更好地理解變化的規(guī)律。

過程演示之后，教師可以讓學生觀察變化后的圖形與原圖形相比有哪些發(fā)生變化、哪些不變。學生能很容易看出開口的大小不變，方向相反；對稱軸不變；頂點縱坐標變成相反數(shù)。此時教師可以先讓學生獨立思考，然后通過討論得出常數(shù)變化后的結(jié)果：ａ＝-２，ｋ＝-３，ｈ＝-１，解析式為ｙ＝ －２（ｘ－３）²－１。

學生在根據(jù)圖像變化得出解析式以后，還需要檢驗答案是否正確。但是在幾何畫板中，二次函數(shù)“軌跡”的解析式是不能度量出來的，所以教師可以畫出函數(shù)ｙ＝ －２（ｘ－３）²－１的圖像，讓學生來觀察這條曲線和剛才的軌跡是否重合。然后引導(dǎo)學生上升到一般規(guī)律，得到結(jié)論：函數(shù)ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的圖像關(guān)于ｘ軸對稱圖形的解析式為ｙ＝－ａ（ｘ－ｋ）²－ｈ。通過圖形變化得到解析式中常數(shù)的變化，這是典型的數(shù)圖結(jié)合思想。

教師可以用和上面相同的方法來教學函數(shù)ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的圖像關(guān)于ｙ軸對稱的變化。這種動態(tài)變化的特點能夠在學生頭腦中留下深刻的印象，使學生更好地用運動的觀點理解變化規(guī)律。

在這個活動過程中，還可以增加學生到操作臺操作演示的環(huán)節(jié)，以調(diào)動學生積極性，激發(fā)學生的學習興趣。

三、函數(shù)ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的圖像分析

教師可以先讓學生思考：平面直角坐標系中的點，關(guān)于原點對稱的點的坐標有什么樣的變化，然后讓學生思考二次函數(shù)ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）2＋ｈ的頂點關(guān)于原點對稱的點的坐標是什么。

以ｙ＝２（ｘ－３）²＋１為例。教師先讓學生在練習本上畫出草圖，要重點強調(diào)頂點的變化、開口的變化、對稱軸的變化。在學生畫出草圖之后，需要觀察思考：這些變化會引起解析式怎樣的變化，猜想解析式的變化。

此時教師用幾何畫板畫出ｙ＝２（ｘ－３）²＋１的圖像，在圖像上構(gòu)造任意點，然后在“變化”菜單中選擇“旋轉(zhuǎn)”，以原點為中心旋轉(zhuǎn)１８０°，就能得到它關(guān)于原點對稱的點；連接這兩個點，構(gòu)造線段，在這條線段上構(gòu)造點，選中這個點和函數(shù)圖像上的點作軌跡，拖動線段上新構(gòu)造的點，就得到了ｙ＝２（ｘ－３）²＋１關(guān)于原點的中心對稱圖形。

學生觀察新圖像和原來的圖像，容易看到開口方向、對稱軸、頂點坐標都發(fā)生了變化，相應(yīng)的解析式中，ａ變?yōu)橄喾磾?shù)、ｋ變?yōu)橄喾磾?shù)、ｈ變?yōu)橄喾磾?shù)，這樣就得到了解析式ｙ＝－２（ｘ＋３）²－１。然后通過畫出二次函數(shù)ｙ＝－２（ｘ＋３）²－１的圖像觀察它們是否重合來檢驗答案。

有了上面的過程，學生就能總結(jié)出一般規(guī)律：ｙ＝ａ（ｘ－ｋ）²＋ｈ的圖像關(guān)于原點對稱，ａ、ｋ、ｈ的符號都要發(fā)生變化，即解析式為ｙ＝－ａ（ｘ＋ｋ）²－ｈ。

在規(guī)律總結(jié)以后，教師可以讓學生舉例來鞏固所學的知識，先說出一個二次函數(shù)解析式，然后說出其圖像關(guān)于原點對稱圖像的解析式，再在操作臺上畫圖檢驗結(jié)果是否正確。這樣的教學效果是傳統(tǒng)教學無法比擬的。

四、一般形式的二次函數(shù)圖像變化

（一）平移變化

關(guān)于二次函數(shù)的平移，教材中只涉及了在頂點形式下的平移變化，遇到一般形式時，通常是先化成頂點形式，然后再做相關(guān)的變化，但這樣比較麻煩，容易出錯。

教師在講解一般形式二次函數(shù)圖像平移時，可以先讓學生再次明確一般形式ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ中各個常數(shù)的作用（ａ決定圖像開口的形狀，ａ、ｂ決定圖像的對稱軸，ｃ決定著圖像與ｙ軸的交點縱坐標），以便在觀察過程中準確把握常數(shù)隨函數(shù)圖像的變化而變化。

以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６向右平移２個單位長度為例。教師先用幾何畫板畫出ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的圖像，構(gòu)造函數(shù)圖像上的一個點，然后在“變化”菜單中選擇“平移”，將這個點在水平方向上平移２個單位長度，垂直方向上移動為０，得到平移點；用這兩個點構(gòu)造線段，然后在這條線段上構(gòu)造點，用線段上構(gòu)造的點和函數(shù)圖像上的那個點構(gòu)造軌跡，拖動線段上的點就能得到原函數(shù)向右平移２個單位長度后的圖像。

此時教師讓學生觀察圖像猜想解析式，即根據(jù)二次函數(shù)頂點形式圖像左右平移的規(guī)律，先猜想結(jié)果，再畫圖加以檢驗。幾何畫板不能度量軌跡的解析式，只能通過觀察函數(shù)圖像是否重合來檢驗結(jié)論。

在教學實踐過程中曾經(jīng)出現(xiàn)過圖像平移之后會跳回原來的位置，不能停留在終點，影響演示效果的情況。對此可以先做出函數(shù)ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６向右平移２個單位長度的動畫，然后做出函數(shù)ｙ＝２（ｘ－２）²－４（ｘ－２）－６的圖像并選中隱藏按鈕，依次選中兩個按鈕，在“編輯”菜單中“操作類按鈕”選擇“系列按鈕”，這樣就實現(xiàn)了一個按鈕控制整個移動過程，并且不會發(fā)生跳回現(xiàn)象。

向左平移可以讓學生自己類比探究。二次函數(shù)圖像上下平移相對比較簡單，因為學生知道圖像在上下平移的過程中，開口形狀不變，所以ａ不變；對稱軸不變，所以ｂ值不變；只有與ｙ軸的交點發(fā)生變化，即上升或者下降。對這個平移變化，學生不難理解，教師可以讓學生以操作、觀察、分析為主。把函數(shù)ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６向上平移２個單位長度，學生能直接得到解析式ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６＋２，然后讓學生畫出圖形，觀察分析。

讓學生用幾何畫板自己體驗的過程必不可少，經(jīng)過多次的猜想、畫圖、觀察、分析，學生不僅能理解平移的規(guī)律，還能在頭腦中留下深刻直觀的印象。

（二）軸對稱變化

以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的圖像關(guān)于ｘ軸對稱為例。教師用幾何畫板畫出ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的圖像以后，在圖像上構(gòu)造一個點，然后在“變化”中選擇“反射”，做這個點關(guān)于ｘ軸的反射點；經(jīng)過這兩個點構(gòu)造線段，在新線段上構(gòu)造點，選中這個點和第一個點作軌跡，拖動線段上的點，就得到了ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６關(guān)于ｘ軸的對稱圖像。

根據(jù)前面的學習，學生可以知道開口的大小不變，方向相反，所以ａ變?yōu)?２；對稱軸不變，所以ｂ變?yōu)椋?；與ｙ軸的交點變了，所以ｃ＝６。此時，教師讓學生進一步思考討論圖像的變化會讓解析式發(fā)生怎樣的變化，得出結(jié)論以后進行畫圖驗證。

通過對多個圖像變化的演示觀察，教師可以引導(dǎo)學生總結(jié)一般規(guī)律，得到結(jié)論：函數(shù)ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ的圖像關(guān)于ｘ軸對稱圖形的解析式為ｙ＝－ａｘ²－ｂｘ－ｃ。

教師也可以用同樣的方法來教學函數(shù)ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ的圖像關(guān)于ｙ軸對稱的變化。以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６為例，可以讓學生進行操作演示體驗， 學生在畫出圖形以后，就可以觀察到圖像開口的形狀不變，所以ａ＝２；對稱軸變化，所以ｂ變?yōu)椋?；與ｙ軸的交點不變，所以ｃ＝－６。然后得出解析式為ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６，畫圖驗證，最終得到結(jié)論：函數(shù)ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ的圖像關(guān)于ｙ軸對稱圖形的解析式為ｙ＝ａｘ²－ｂｘ＋ｃ。

（三）關(guān)于原點對稱

以ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６為例，教師先讓學生在練習本上畫出草圖，可以強調(diào)一下開口的變化、對稱軸的變化、與ｙ軸交點的變化。學生畫出圖形之后需要觀察思考：這些變化會引起解析式怎樣的變化，并進一步猜想變化之后的解析式。

然后教師用幾何畫板畫出ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６的圖像，在圖像上構(gòu)造任意點，在“變化”菜單中選擇“旋轉(zhuǎn)”，以原點為中心旋轉(zhuǎn)１８０°，得到它關(guān)于原點對稱的點；連接這兩個點，構(gòu)造線段，在這條線段上構(gòu)造點，選中這個點和函數(shù)圖像上的點作軌跡，拖動這個點，就得到了ｙ＝２ｘ²－４ｘ－６關(guān)于原點中心對稱的圖形。

根據(jù)頂點形式關(guān)于原點對稱變化的規(guī)律，學生知道開口方向、對稱軸、與ｙ軸交點都發(fā)生了變化，相應(yīng)的解析式中，ａ變?yōu)橄喾磾?shù)、ｂ值不變、ｃ變?yōu)橄喾磾?shù)，這樣就得到了解析式ｙ＝-２ｘ²－４ｘ+６，然后教師通過畫出二次函數(shù)ｙ＝-２ｘ²－４ｘ+６的圖像來檢驗答案。

學生再探究總結(jié)出一般規(guī)律：ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ的圖像關(guān)于原點對稱，ａ、ｃ的符號改變，ｂ的符號不變，即解析式為ｙ＝－ａｘ²＋ｂｘ－ｃ。

建議教師在每次總結(jié)規(guī)律以后，就讓學生舉例來鞏固所學的知識，先說出一個二次函數(shù)解析式，然后說出其圖像變化之后的解析式，再在操作臺上畫圖檢驗結(jié)果是否正確。這樣不僅可以使學生熟練掌握規(guī)律，還能讓學生更加透徹地理解原理。

函數(shù)圖像變化問題體現(xiàn)函數(shù)的聯(lián)系和數(shù)形結(jié)合的思想。解析式理解具有抽象性，在傳統(tǒng)教學活動中，二次函數(shù)圖像繪圖的準確性是無法保證的，圖形有關(guān)變化之后解析式的檢驗更是無法實現(xiàn)的。而幾何畫板能化抽象為直觀，有助于說明函數(shù)圖像間的聯(lián)系及變化特點；畫板動態(tài)反映了函數(shù)的變化過程，使得學生進一步理解二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，強大的交互性也讓學生有更多的參與機會，提高學生學習數(shù)學的興趣。

盡管幾何畫板使教學更加便捷、有效，但只能作為輔助教學工具，而不能以演示代替教師的分析和講解。要想提高數(shù)學教學效率，促進數(shù)學教育改革，重點還是應(yīng)放在教師自身素質(zhì)的培養(yǎng)和提高上。

參考文獻：

［１］黃夏秋． 幾何畫板在高中數(shù)學教學設(shè)計、實用與評價［Ｊ］． 當代家庭教育，２０２０（０７）：８６．

［２］陳炳霞． 幾何畫板在初中數(shù)學教學中的實踐探究［Ｊ］． 中學課程輔導(dǎo)，２０２３（０９）：４８－５０．

［３］溫桂珠． 善用 實用 妙用 精用——淺談幾何畫板在小學數(shù)學教學中的恰當應(yīng)用［Ｊ］． 教師，２０１９（３３）：７６－７８．

（責任編輯：向志莉）