吃透基本圖形對提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力的研究

楊麗萍

［摘? 要］ 平面幾何中的基本圖形是指幾何問題中常見的、具有典型特征，能夠得到常用結(jié)論的一些圖形. 基本圖形的掌握，有助于提高學(xué)生的幾何直觀和想象能力，再通過猜測、驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，能從某種程度上有效促進(jìn)學(xué)生幾何思維的發(fā)展.

［關(guān)鍵詞］ 基本圖形；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)學(xué)力.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，我們在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中，可以通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象、提煉，得到新的研究對象具備的結(jié)論或關(guān)系. 教師的教育教學(xué)應(yīng)注重對基礎(chǔ)知識、基本技能的教學(xué)，并督促學(xué)生理解基礎(chǔ)知識、掌握基本技能. 掌握“知識與技能”是學(xué)生發(fā)展的最基礎(chǔ)目標(biāo)，同時(shí)要落實(shí)“數(shù)學(xué)思考”“問題解決”“情感態(tài)度”等目標(biāo). 在教學(xué)中，教師應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解與掌握，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識真正意義上的內(nèi)化. 當(dāng)然，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，絕對不能依賴死記硬背，而應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上應(yīng)用知識，并不斷鞏固、深化、內(nèi)化知識. 筆者認(rèn)為，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)意見，教師在教學(xué)中，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力，使學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析）. 數(shù)學(xué)學(xué)力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間并不是相互獨(dú)立的，二者相輔相成. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對數(shù)學(xué)教學(xué)具有明確的指導(dǎo)意義，起著統(tǒng)領(lǐng)性的作用. 數(shù)學(xué)學(xué)力則可以看作是在核心素養(yǎng)指導(dǎo)下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較為實(shí)用的具體操作方法，它是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的現(xiàn)實(shí)操作路徑，具有可操作性、具體化的特點(diǎn).

學(xué)生都想學(xué)好數(shù)學(xué)這門課，但無奈自身數(shù)學(xué)學(xué)力的缺乏，使得絕大部分學(xué)生學(xué)得非常吃力. 筆者也經(jīng)常聽到身邊的同事這樣吐槽：“這道題我都講了無數(shù)遍了，怎么還有這么多人做不對？”從這句話中可以得到兩個(gè)信息：一，這道題經(jīng)?？?，在平時(shí)的練習(xí)中出現(xiàn)的頻次較高，姑且說它是典型題；二，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率不高，一個(gè)高頻出現(xiàn)的練習(xí)題，學(xué)生多次接觸后仍有部分做不對. 基于這兩點(diǎn)，筆者深刻地體會到，在平時(shí)的教學(xué)中教師應(yīng)采取措施去提升、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力. 數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)主張：與其做大量的難題，不如把一道題的各個(gè)側(cè)面研究通透，這樣會積累更好的經(jīng)驗(yàn)，提高解決其他問題的能力. 基于波利亞的主張，教師在教學(xué)中應(yīng)深挖問題本源. 平面幾何問題的本源是一些基本圖形，具體指幾何問題中常見的、具有典型特征，能夠得到常用結(jié)論的一些圖形. 基于某一類基本圖形的變式題或拓展題比比皆是，學(xué)生只要熟練掌握基本圖形，經(jīng)歷猜測、驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程，便能求解. 在求解的過程中，學(xué)生提高了幾何直觀和想象能力，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，對提升數(shù)學(xué)學(xué)力起到了立竿見影的效果. 下面以基本圖形“飛鏢形”在解題中的靈活應(yīng)用為例，進(jìn)行具體闡述.

基本圖形——“飛鏢形”

如圖1所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”，在“飛鏢形”圖形中，∠ADC與∠A，∠C，∠B之間的數(shù)量關(guān)系為∠ADC=∠A+∠C+∠B. 該數(shù)量關(guān)系可以通過添加輔助線（連接BD并延長），并利用三角形的外角性質(zhì)得到.

試題1? 一個(gè)五角星如圖2所示，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____.

對于此題，有些學(xué)生無從下手，但是仔細(xì)觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)該圖形中含有基本圖形“飛鏢形”，利用“飛鏢形”的重要結(jié)論，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，很容易得到該題的答案為180°.

試題2? 如圖3所示，P是△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，O是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn). 若∠BPC=115°，則∠BOC=______.

∠OCA+∠BAC=∠OAB+∠OAC+∠BAC=∠BAC+∠BAC=2∠BAC=100°.

以上兩題的解決，說明了在復(fù)雜圖形中提煉出基本圖形的重要性. 所以教師在教學(xué)中一定要引導(dǎo)和幫助學(xué)生提煉出基本圖形，并要求學(xué)生記住基本圖形相應(yīng)的結(jié)論.

變式1? 在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y.

（1）∠ABC+∠ADC=______（用含有x，y的代數(shù)式表示）.

（2）如圖5所示，BE，DF分別為∠ABC的外角平分線和∠ADC的外角平分線.

①若BE∥DF，x=30°，則y=______；

②當(dāng)y=2x時(shí)，若BE與DF交于點(diǎn)P，且∠DPB=20°，求y的值.

（3）如圖6所示，∠ABC的平分線與∠ADC的外角平分線交于點(diǎn)Q，則∠Q=______（用含有x，y的代數(shù)式表示）.

第（1）題比較簡單，利用四邊形的內(nèi)角和為360°就可以得到∠ABC+∠ADC=360°-x-y.

變式2? 我們將圖10所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”. 在“飛鏢形”中，我們很容易得到∠AOC與∠A，∠C，∠P存在數(shù)量關(guān)系∠AOC=∠A+∠C+∠P.

利用“飛鏢形”模型解決下列問題：

（1）如圖11所示，若AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大??；

（2）如圖12所示，已知直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B，∠D的關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖13所示，已知直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，則∠P與∠B，∠D的關(guān)系為______.

對于第（3）題，有了第（2）題的解題經(jīng)驗(yàn)，該題不難想到輔助線：作∠DCO的平分線交AP的延長線于點(diǎn)G（如圖15所示）. 圖15中仍含有兩個(gè)

解后反思

上面2道變式題都是測試中的壓軸題，在學(xué)生看來，無疑難度非常大. 一部分有畏難情緒的學(xué)生，光看題目中復(fù)雜的圖形就望而卻步了. 而我們在解決上面兩道“難題”時(shí) ，能從復(fù)雜圖形中找到熟悉的基本圖形──“飛鏢形”，在難度層層遞進(jìn)的梯度問題解決中，運(yùn)用了類比、追本溯源的方法，從而輕松、靈活地解決了“難題”.? 以研究平面圖形為主的初中幾何，隨著所學(xué)知識的增多、內(nèi)容的加深，一些幾何題的綜合性和復(fù)雜性也不斷增加，學(xué)生在解題過程中需要養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)圖形觀察習(xí)慣，要將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化或者類比為常見的基本圖形. 在教學(xué)中，對于復(fù)雜題型、圖形，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行去復(fù)雜化，轉(zhuǎn)化、提煉出基本圖形或轉(zhuǎn)化成熟悉的知識去解決. 長此以往地訓(xùn)練，必然有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力的培養(yǎng)與提升. “基本圖形”只是初中數(shù)學(xué)幾何中的一小部分，通過吃透“基本圖形”來提升數(shù)學(xué)學(xué)力的措施也啟發(fā)我們，可以從與學(xué)生聯(lián)系比較密切的典型題型出發(fā)，通過學(xué)生對于典型題型的理解與吃透來讓學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，形成“模式”. 這樣，在學(xué)生面對稍難或一些變式題型時(shí)，就可以透過現(xiàn)象看本質(zhì)，通過類比，洞察解題規(guī)律與本質(zhì)，從而在解題時(shí)達(dá)到事半功倍的效果.