逆向思維，探尋解法

季學(xué)平

［摘? 要］ 逆向思維，就是反方向思考，與正向思維相反的思維方式. 逆向思維的培養(yǎng)，可以豐富學(xué)生的思維模式，拓寬解題途徑，提升解題能力. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個重要方面.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；逆向思維；解題策略

初中數(shù)學(xué)學(xué)到九年級，已從直線型幾何圖形拓展到曲線型幾何圖形. 隨著所學(xué)幾何圖形的不斷增多，所學(xué)的與幾何圖形相關(guān)的知識點(diǎn)也逐步增多，幾何綜合題的難度也逐漸提升. 雖然學(xué)生對于幾何綜合題也積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)和解題技巧，但還不夠全面，仍需在教與學(xué)中進(jìn)一步拓寬解題途徑，提升解題能力.

多數(shù)學(xué)生做幾何綜合題時都習(xí)慣從問題的正面入手，將教師課堂上講過的知識應(yīng)用到其中，這種解題方式很容易固化學(xué)生的思維，會阻礙學(xué)生創(chuàng)新思維能力的發(fā)展，也會影響學(xué)生的臨場發(fā)揮，不理想的成績甚至?xí)绊憣W(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和信心. 筆者在九年級上學(xué)期的期中練習(xí)時遇到了一道圓的綜合題，學(xué)生的解答情況非常不理想，問題出在哪里？在隨后的解析教學(xué)中，筆者找到了原因.

原題重現(xiàn)

試題 已知AB是☉O的直徑.

（1）如圖1所示，C，D兩點(diǎn)均在☉O上，且BC=BD，CD=AD，求證：∠ADC=2∠BDC.

（2）如圖2所示，點(diǎn)C在☉O上. 若點(diǎn)D是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且滿足AD=CD，∠ADC=2∠BDC.

①利用直尺和圓規(guī)在圖2中作出所有滿足條件的點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；

②若AB=4，BC的長度為m（0<m<4），點(diǎn)D的個數(shù)隨著m值的變化而變化，直接寫出點(diǎn)D的個數(shù)及對應(yīng)的m的取值范圍.

學(xué)生困惑

在以往的教學(xué)中，數(shù)學(xué)綜合題已有一定的訓(xùn)練，學(xué)生已經(jīng)初步積累了一些解題經(jīng)驗(yàn). 綜合題的第（1）題難度一般較低，學(xué)生有能力解決，同時建立基礎(chǔ)模型為后續(xù)問題的解決提供解題思路或方法參考，從而能拾級而上.

多數(shù)學(xué)生能想到不同方法完成第（1）題的證明，但很快發(fā)現(xiàn)，第（1）題的解題思路無法與后續(xù)問題關(guān)聯(lián)起來，不能為后續(xù)問題提供任何幫助，更沒有以往拾級而上的輕松感受，從而讓多數(shù)學(xué)生困惑不已. 在解析教學(xué)中，筆者讓學(xué)生充分發(fā)言，各自發(fā)表了解決第（1）題的不同解法，并逐一詳細(xì)板書.

首先由生1提出最基本的解法：

如圖3所示，連接OC，OD，AC后，先由BC=BD，OC=OD得AB垂直平分CD，進(jìn)而得AD=AC，再結(jié)合AD=CD

當(dāng)生1的解法完整板書后，得到了其他學(xué)生的肯定，同時也有學(xué)生提出這種解法的輔助線太多了，其實(shí)只需要作兩條，故有了生2的解法：

生2的解法利用了圖形中三角形的特殊性，求解了相關(guān)角的特殊值，當(dāng)這種解法完整板書后，又有學(xué)生提出了還可以簡化.

生3提出只需要作一條輔助線，具體解法如下：

如圖5所示，連接AC，由BD=BC得∠BCD=∠BDC；由AB為☉O的直徑，可得∠ACB=90°，進(jìn)而可得∠ACD=90°-∠BCD；由AD=CD得∠CAD=∠ACD，進(jìn)而可得∠ADC=180°-2∠ACD. 于是不難得出∠ADC=2∠BCD. 又因∠BCD=∠BDC，故可證∠ADC=2∠BDC.

在前三種解法的交流中，學(xué)生的思維全面打開，在生3的思路基礎(chǔ)上，很快就有了生4的解法：

綜合4名學(xué)生的解法不難看出，學(xué)生對綜合題的解決沒有整體性思考，沒有全局觀，往往只對題目所給的基礎(chǔ)模型進(jìn)行簡單思考，不與后續(xù)問題綜合考慮，輕易答題，或因基礎(chǔ)題（即第（1）題）的解決方法眾多，而沒有找到真正與后續(xù)問題有關(guān)的解題模型，無法為后續(xù)問題提供有效的支持，從而面對后續(xù)問題束手無策.

問題解決

在肯定幾名學(xué)生的解題思路后，筆者帶領(lǐng)學(xué)生分析這幾種解法能否為下面的問題提供幫助，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這幾種解法都無法為下面的作圖提供幫助. 故對于綜合題來說，基礎(chǔ)問題的確可以有多種解決方法，但哪一種方法才能為后續(xù)問題提供方法指導(dǎo)才是解題的重點(diǎn)，因?yàn)?，解決綜合題時，首先要通讀整個大題，把幾個問題全部了解清楚. 有了基礎(chǔ)問題的解決思路后，不應(yīng)急于動手書寫，而應(yīng)適當(dāng)逆向思考，從后續(xù)問題逆向?qū)A(chǔ)問題進(jìn)行深入探究，思考后續(xù)問題與基礎(chǔ)問題的關(guān)系，挖掘前后問題之間的共性，分析其中的關(guān)聯(lián)，建立有效的基礎(chǔ)問題模型，這樣才能使后續(xù)問題變得簡單.

實(shí)際教學(xué)時，筆者引導(dǎo)學(xué)生分析第（2）題，由“AB是☉O的直徑”“點(diǎn)C在☉O上. 若點(diǎn)D是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且滿足AD=CD，∠ADC=2∠BDC”“尺規(guī)作圖求點(diǎn)D”可知，圖1完全滿足作圖要求，是眾多作圖結(jié)果中的一種，此時點(diǎn)D恰好在圓周上，就這種特殊情況做進(jìn)一步分析，有如下結(jié)果：

如圖7所示，AB是☉O的直徑，點(diǎn)C在☉O上，因此，連接AC后，可得∠ACB=90°，即AC⊥BC；由DA=DC，OA=OC，可得OD所在的直線是AC的垂直平分線，DG⊥AC，從而可得DG∥BC. 進(jìn)而可得∠2=∠3，同時，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，可得∠ADC=2∠3，由此通過等量代換得到∠ADC=2∠BDC.

結(jié)合基礎(chǔ)模型，就不難找到第（1）題的解題策略和第（2）題的作圖思路. 分析完成后，學(xué)生們很快就給出了兩個小題的解答.

（1）如圖7所示，

連接AC，OC，連接DO并延長交AC于點(diǎn)G.

因?yàn)镺A=OC，DA=DC，

所以DG⊥AC，AG=CG.

所以∠ADC=2∠3.

因?yàn)锳B是☉O的直徑，

所以∠ACB=90°.

所以BC⊥AC.

所以DG∥BC.

所以∠2=∠3.

因?yàn)锽D=BC，

所以∠1=∠2.

所以∠1=∠3.

所以∠ADC=2∠1，

即∠ADC=2∠BDC.

（2）①作圖思路：由DA=DC可得點(diǎn)D一定在AC的垂直平分線上，所以先連接AC，作其垂直平分線. 由AB是☉O的直徑，且無論C在何處，都有DO∥BC，故再需BD=BC，所以再以點(diǎn)B為圓心、BC的長為半徑作圓，與AC的垂直平分線的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，如圖8所示.

教學(xué)反思

當(dāng)學(xué)生完成第（1）題和第（2）①題的作圖后，筆者又帶領(lǐng)學(xué)生回顧此題前后問題之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生暢言本題帶給大家的感受和總結(jié)的經(jīng)驗(yàn). 學(xué)生的總結(jié)如下：

通過這道題的學(xué)習(xí)，我們有了新的解題體會. 綜合題多個小題之間一定存在解法策略上的聯(lián)系，這一點(diǎn)在以前的學(xué)習(xí)中我們就有體會. 以前遇到綜合題，我們基本上會正向思考，拾級而上，第（1）題的解題策略清晰，解法不多樣，且難度不大，這就給第（2）題的解題指明了方向，能為后續(xù)問題提供準(zhǔn)確的解題思路，只是考點(diǎn)不同，難度增加，解題過程復(fù)雜些. 圓的知識點(diǎn)較多，與其他知識結(jié)合后，同一問題的解題策略不再單一，方法多樣，可謂“條條大路通羅馬”. 眾多方法并不能都為后續(xù)問題提供解題方向或解題策略，因此，解決綜合題時，我們更應(yīng)該通讀整個問題，必要時從后續(xù)問題中尋找與基礎(chǔ)問題之間的關(guān)系，挖掘前后問題之間存在的共性特征，適當(dāng)逆向挖掘綜合題的解題方法，這樣會有意想不到的收獲.

在此題的解析教學(xué)中，筆者也和學(xué)生一同成長. 在解題設(shè)計(jì)時，筆者就要考慮引導(dǎo)學(xué)生從哪些角度去思考、分析問題. 在實(shí)際教學(xué)中，筆者則堅(jiān)持以學(xué)生為中心，解析問題的過程中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會正面遇阻而不得時，嘗試逆向思維，從后向前，挖掘前后問題之間的聯(lián)系，嘗試反向倒推，進(jìn)而尋找解題方式，建立基礎(chǔ)模型. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一種重要方法，且可以使一些難以解決的問題迎刃而解，這對于提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題有很大的幫助.