從通法到通性：追求解題的自然屬性

姚春珍

［摘? 要］ 中考復(fù)習(xí)需注重思維的發(fā)生過程，要從通法到通性，追求解題的自然屬性. 教師進行中考復(fù)習(xí)時，要通過試題演練，使所有學(xué)生有不同的發(fā)展，要通過理思路、探方法來找到通法，從善總結(jié)、悟方法過渡到通性，最后深化到提升能力，從而提高復(fù)習(xí)的實效性.

［關(guān)鍵詞］ 中考試題；自然屬性；通法通性；復(fù)習(xí)實效性

目前，不斷有研究“自然解法”的文章出現(xiàn)，但大都基于解題學(xué)微觀層面探討自然“通法”，缺乏對解題學(xué)教學(xué)論的中觀研究. 而中考數(shù)學(xué)試題作為解題學(xué)的主導(dǎo)方向，對課堂教學(xué)起著“自然性”思想統(tǒng)領(lǐng)作用，因此，立足于系統(tǒng)常規(guī)研究試題的“通性”維度更具有前瞻意義.

就存在哲學(xué)范疇而言，“自然”取自然而然之意，即按照事物內(nèi)部規(guī)律而發(fā)展變化. 北京林業(yè)大學(xué)王向榮教授認為，自然性包括原始的自然、生產(chǎn)的自然和美學(xué)的自然. 把自然界的這種自然性借用到教學(xué)論領(lǐng)域，則需要追求解題的自然屬性［1］. 下面以2019年蘇州市中考數(shù)學(xué)試題第25題為載體，呈現(xiàn)解題探究的自然性，凸顯“崇尚自然和常規(guī)”的自然要義，引導(dǎo)自然課堂素養(yǎng)教育的實踐行為.

試題呈現(xiàn)

本題重點考查反比例函數(shù)、等腰三角形、勾股定理以及相似等知識. 本題為學(xué)生提供了綜合知識抒發(fā)見解的學(xué)習(xí)窗口，學(xué)生可以從已有的經(jīng)驗出發(fā)，將學(xué)習(xí)的知識概括成問題，然后創(chuàng)設(shè)出與認知相沖突的問題，接下來為解決沖突而繼續(xù)深究，從而使問題重新明朗化. 在以此題為線復(fù)習(xí)函數(shù)中檔題的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于第（2）問的求解方法有多種，這體現(xiàn)了學(xué)生在初中階段學(xué)會了用不同的思維方式思考問題，用不同的方法攻破問題，會綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題，體現(xiàn)了學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識. 此題既體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)教學(xué)知識的著落點——從通法到通性，找到解題的自然屬性，又彰顯了核心素養(yǎng)在初中數(shù)學(xué)這塊知識土地上落地生根，培養(yǎng)了學(xué)生的實踐能力［2］.

解法探究

1. 找尋常規(guī)思路，剖析圖形本質(zhì)，實現(xiàn)自然回歸

尋求常規(guī)解題思路，需要溯源比較. 溯源比較是解題的基本維度，反映解題學(xué)系統(tǒng)內(nèi)部的自然屬性. 這里的“溯源”是對問題來源的哲學(xué)追問；“比較”是對研究方法的認證，帶有定量分析到定性把握的自然特征. 這就是齊民友先生所認為的解題要“回到自然”，而“回到固有的生動活潑的思考”也是克萊因大師的數(shù)學(xué)遺風(fēng). 因為生動活潑思考心理狀態(tài)是溯源比較的意義結(jié)果［3］，可見自然屬性包括溯源比較的本體特征，是自然解題教學(xué)論的起點.

教材上的練習(xí)題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、線段的中點、分數(shù)的基本性質(zhì)等知識，要求學(xué)生重點掌握相似三角形的判定與性質(zhì). 學(xué)生探究出“相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比”后解決此題便比較容易上手. 教師上課講解時可加入變式，目的在于讓學(xué)生掌握求解的自然屬性. 前面的中考題與教材上的練習(xí)題，圖形本質(zhì)是相同的，因此學(xué)生很容易想到用相似三角形的性質(zhì)來求解中考題第（2）問.

如圖4所示，過點A作AH⊥x軸，垂足為H，AH交OC于點M. 因為BC⊥

本題考查了學(xué)生的知識技能、數(shù)學(xué)思考能力及問題解決能力，運用此種解法求解的學(xué)生，說明他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識扎實，基本技能達成度較好.

從問題溯源的角度來看一個城市（蘇州市）連續(xù)兩年考查同一個基本圖形的客觀事實，2020年的蘇州中考卷第10題、2021年的蘇州中考卷第24題均為一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合運用，因此研究解題的自然屬性為試題研發(fā)提供了方向和趨勢，敞亮地呈現(xiàn)了試題的來龍去脈和立意關(guān)聯(lián)，反映了命題本源的自然屬性，揭示了比較研究的意義在于發(fā)散思維的自然過渡，從而實現(xiàn)試題的自然回歸.

2. 巧添輔助線，轉(zhuǎn)化比值，實現(xiàn)自然聯(lián)想

解題過程中學(xué)生應(yīng)綜合運用數(shù)學(xué)知識. 知識點在教材中是靜態(tài)呈現(xiàn)的，但在解題運用中是動態(tài)生成的. 在復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)從整體上把握教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生從知識結(jié)構(gòu)上將內(nèi)容進行整合，將知識進行統(tǒng)籌，將方法進行內(nèi)化，從而實現(xiàn)解題的自然聯(lián)想. 添加輔助線，是學(xué)生運用所學(xué)知識解題時質(zhì)的飛躍的體現(xiàn). 復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)遵循量力性原則，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性、整體性，從而實現(xiàn)自然聯(lián)想，實現(xiàn)自然解題的發(fā)展.

解法二：學(xué)生在解得C（4，3）后，并沒有直接求出交點M的坐標(biāo)，而是運用“平行線等分線段定理”求線段MH的長度或轉(zhuǎn)化成線段的比來求MH的長度.

學(xué)生把求線段AM長度的解決思路和方法進行了遷移，不是中規(guī)中矩地運用常規(guī)方法，而是另辟蹊徑，讓計算量相對減小. 有的學(xué)生解得點D的坐標(biāo)后，過點D作x軸的垂線，運用“平行線分線段成比例定理”將比例進行轉(zhuǎn)化. 學(xué)生解得點D的坐標(biāo)后，想到求比值用相似比，于是回到出發(fā)點. 在作高的過程中，學(xué)生得到比例的性質(zhì)，可謂“植一木，成一林”. 解題中體現(xiàn)了用幾何直觀和空間想象來理解數(shù)學(xué)，更體現(xiàn)了學(xué)生將知識轉(zhuǎn)化為能力.

從自然屬性出發(fā)，在從“解決什么”到“學(xué)到什么程度”的過程中，研究解題的自然聯(lián)想為解決此類問題指明方向，提示“轉(zhuǎn)化”思想，過渡到自然聯(lián)想. 此類解法使學(xué)生學(xué)會思考，解題穩(wěn)重而又不失方法靈活. 學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能達到一定程度時才能得到自然聯(lián)想，上述求解過程充分體現(xiàn)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，學(xué)生的推理能力和幾何直觀等核心素養(yǎng)培養(yǎng)也落到了實處.

3. 借助相似三角形，尋求通法通性，實現(xiàn)自然建模

學(xué)生在尋求更高層次的解題思路時，會經(jīng)歷綜合運用知識的過程，掌握解題方法，拓寬研究問題的思路，會有新的認識，新的生成，新的思維突破，并形成通法通性，實現(xiàn)自然建模，最終培養(yǎng)學(xué)生的基本素養(yǎng). 學(xué)生求線段的長度時，借助相似三角形構(gòu)造模型，可見自然屬性應(yīng)包括通法通性的特征，實現(xiàn)自然建模，實現(xiàn)自然解題教學(xué)論的飛躍.

解法三：學(xué)生發(fā)散思維，在AB的右側(cè)構(gòu)造“A”形相似三角形，使計算量減小.

學(xué)生通過兩次構(gòu)造相似三角形來求解，即在AB右側(cè)構(gòu)造圖形，使計算簡單，將問題轉(zhuǎn)化為一個合適的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了學(xué)生對相似三角形知識有較強的綜合運用能力. 此解法培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維，并通過問題重新構(gòu)造模型，體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

解法四：學(xué)生通過構(gòu)造“X”形模型找相似.

學(xué)生的思維非常活躍，為找相似，順其自然地想到了構(gòu)造“X”形相似. 由數(shù)到形，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力. 學(xué)生采用上述解法，說明學(xué)生平常學(xué)習(xí)中注重實踐探究，體現(xiàn)了學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，更體現(xiàn)了學(xué)生的想象能力很強，數(shù)學(xué)建模也搭建得比較成熟.

從問題通法通性角度解答此類中考題，從題目的適宜性、生成性、創(chuàng)生性角度出發(fā)評析此類題目，此題難度不大，兼顧了所有學(xué)生，讓學(xué)生都有所體悟，因此起到了“以題知法”的作用. 此題可以作為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段的原始素材，然后延伸教學(xué)內(nèi)容，拓寬思維，尋求通法通性，實現(xiàn)自然建模，最終得到試題的自然回歸.

4. 借助參數(shù)，由特殊到一般，實現(xiàn)自然順應(yīng)

尋求解題的一般性思路，能真正掌握數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)特征，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，最終得到自然順應(yīng). 數(shù)學(xué)知識的獲得不能局限于某一個點，應(yīng)從解決問題背后隱藏的思想方法中挖掘，內(nèi)化為方法，用這種方法去研究和解決新問題，從而使問題螺旋式上升，方法螺旋式升華［4］. 可見自然屬性應(yīng)包括一般性原則，實現(xiàn)自然順應(yīng)，實現(xiàn)自然解題教學(xué)論的升華.

解法五：有少量學(xué)生將點A看成動點，運用參數(shù)k來解決問題.

此解法與解法三有相同之處，但繞開了k的具體數(shù)據(jù). 可以說在如此短的時間內(nèi)將數(shù)學(xué)“從特殊到一般”思想達到融會貫通的地步，是學(xué)生“學(xué)習(xí)能量”和核心素養(yǎng)積累到一定程度才能達到的境界，其能為學(xué)生的創(chuàng)新意識培養(yǎng)和可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).

從問題一般性原則出發(fā)講述同一知識考查的客觀內(nèi)容，從“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想蘊含數(shù)學(xué)的一般性觀念，能提升對知識點和方法的深度理解，將方法內(nèi)化于心，將數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)策略，從而實現(xiàn)自然順應(yīng)，實現(xiàn)知識的自然屬性回歸.

教學(xué)啟示

中考真題作為復(fù)習(xí)階段的原始素材，有重要的引領(lǐng)作用，教師如何在課堂分析中進行客觀呈現(xiàn)，如何將解題的自然屬性進行呈現(xiàn)，如何將試題的通性進行體現(xiàn)都非常重要，真題講解將引領(lǐng)課堂自然生成.

1. 理思路，探方法

教師的作用在于提升學(xué)生的認知高度，復(fù)習(xí)的任務(wù)還在于“發(fā)展”，即知識得到新的發(fā)展，學(xué)生得到新的發(fā)展. 很多試題，表面上看是新題，但同舊題的求解方法差不多. 這打破了教師和學(xué)生的慣性思維，促使師生共同探索，教學(xué)相長，其樂無窮.

2. 找通性，善總結(jié)

復(fù)習(xí)的任務(wù)在于系統(tǒng)整理、融會貫通. 上述試題喚醒了學(xué)生已有的解決函數(shù)的經(jīng)驗，運用構(gòu)圖直接求解或運用轉(zhuǎn)化等方法，都是找通性，讓零散的知識一一再現(xiàn). 上述過程，學(xué)生通過解題，將原有的知識點形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)和思維網(wǎng)，從“找模型—建模型—解模型—用模型”的通性中去解決問題，并總結(jié)經(jīng)驗. 解題復(fù)習(xí)，能增強學(xué)生對數(shù)、形的整體認識，能使知識達到系統(tǒng)性、連貫性和可持續(xù)性，同時有利于將學(xué)生從茫茫題海中解脫出來，達到事半功倍的學(xué)習(xí)效果.

3. 悟方法，提能力

函數(shù)中考題一般從基本圖形出發(fā)，轉(zhuǎn)化為求交點問題、相似三角形，最后得到一個簡單的模型. 這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，能促進學(xué)生把問題想深想透，將思維與實踐引向更深遠處.

在平時的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注問題的解決，要教給學(xué)生解決問題的各種方法和策略，更要注重學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實和提高. 在平時的教學(xué)中，教師要讓學(xué)生多訓(xùn)練一題多解，要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題用到了哪些方法，是否有更特殊的解法，這些解法有沒有共同點……這樣學(xué)生就會對不同的解法進行比較，養(yǎng)成從不同角度思考問題的習(xí)慣，并找到此類題的通性通法. 所以，教師在平時的教學(xué)中應(yīng)該多展示一些能夠鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的真題，多滲透一些解決問題的思想，找到解題的自然屬性.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出“形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性精神”［5］，此類中考題正好呼應(yīng)了新課標(biāo). 不同的學(xué)生用不同的思維解題，考查了全體學(xué)生應(yīng)該達到的課程目標(biāo)的基本要求，同時考查了不同學(xué)生用不同的策略. 解題教學(xué)要既面向全體學(xué)生，又關(guān)注學(xué)生的個體差異；既用常規(guī)思路，又找到通法通性，體現(xiàn)不同差異學(xué)生的核心素養(yǎng)的養(yǎng)成. 此類中考題將思想貫穿題中，將直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)隱藏于解題中，找到解題的自然屬性，讓所有的學(xué)生都能參與到解題中，實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.

參考文獻：

［1］孫朝仁. 認知系統(tǒng)的邏輯秩序：讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生的“道”——基于數(shù)學(xué)實驗的視角［J］. 江蘇教育，2016（Z3）：23-26.

［2］羅增儒. 核心素養(yǎng)與課堂研修［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（23）：14-20.

［3］孫朝仁. 初中數(shù)學(xué)“教思考”的教學(xué)細化——以“分式”為例［J］. 江蘇教育，2020（91）：38-40+60.

［4］丁小將. 試析微專題在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（08）：60-61

［5］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.