多維聯(lián)想 多方探究

范建兵

［摘? 要］ 文章通過(guò)一道中考?jí)狠S題的深度剖析，引導(dǎo)師生在解題教學(xué)中關(guān)注知識(shí)融合和圖形解構(gòu)，多維聯(lián)想尋思路，多方探究求生長(zhǎng).

［關(guān)鍵詞］ 聯(lián)想；突破；探究

試題呈現(xiàn)

試題 （2022年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)卷第8題）如圖1所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B是x軸正半軸上一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到線段AC.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，3），則m的值為（ ? ? ）

解法探究

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種基本的教學(xué)方式，又是培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)的基本途徑.本題設(shè)計(jì)巧妙，基于課本又高于課本，借助圖形的旋轉(zhuǎn)，融合了等邊三角形、直角三角形、勾股定理、相似等幾何知識(shí)，為學(xué)生提供了施展才華的廣闊空間. 現(xiàn)提出幾種解題思路，供大家參考.

思路3 如圖4所示，將線段AO繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到線段AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸，交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥ED，交直線ED于點(diǎn)F. 根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△AED各邊的長(zhǎng)，再由“一線三直角”模型可得△AED∽△DFC，接著根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且CF=2，求得DF的長(zhǎng)，從而求出m的值.

思路4 如圖5所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，交x軸于點(diǎn)D，連接CB，構(gòu)造∠AEO=∠CFO=60°，先分別解Rt△AEO和Rt△CFD，再通過(guò)證明△AEB≌△BFC，得到AE=BF，EB=FC，從而建立方程并求得m的值.

思路5 如圖6所示，與思路4相似，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸，交y軸于點(diǎn)E，連接CB，構(gòu)造∠CDE=∠BFO=60°，先分別解Rt△CDE和Rt△BFO，再通過(guò)證明△CDA≌△AFB，得到CD=AF，DA=FB，從而建立方程并求得m的值.

……

試題評(píng)價(jià)

1. 思路探尋，從條件中想關(guān)聯(lián)

G.波利亞在《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》一書中提醒我們：你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)形式稍有不同的類似問(wèn)題？你能從已知數(shù)據(jù)中得出一些有用的東西嗎？你能以不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎［1］ ？這說(shuō)明問(wèn)題的解決離不開(kāi)聯(lián)想，聯(lián)想能夠幫助我們有效地、快速地探尋到解題思路.

蘇州前幾年的中考幾何綜合題，往往涉及許多知識(shí)點(diǎn)，并且有著較難的圖形識(shí)別要求.2022年第8題一改“常態(tài)”，以最基礎(chǔ)、最簡(jiǎn)潔的幾何圖形（線段）為載體，考查了學(xué)生對(duì)幾何變換（旋轉(zhuǎn)）的理解. 題目看似簡(jiǎn)單，但簡(jiǎn)單圖形中卻蘊(yùn)含了豐富的思維要求，對(duì)學(xué)生的幾何直觀、抽象意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)等素養(yǎng)要求很高. 解題時(shí)，我們不妨將試題中的各類知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，通過(guò)知識(shí)的整體性與關(guān)聯(lián)性展開(kāi)聯(lián)想，尋找可能的解題思路. 如由“旋轉(zhuǎn)”聯(lián)想到變換前后的變和不變，由“60°角”聯(lián)想到等邊三角形和特殊角的三角函數(shù)值，由“計(jì)算邊長(zhǎng)”聯(lián)想到勾股定理，由“平面直角坐標(biāo)系”聯(lián)想到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)、直線解析式、關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、待定系數(shù)法等……

2. 方法探究，從經(jīng)驗(yàn)中尋突破

G.波利亞將數(shù)學(xué)解題劃分為四個(gè)階段：讀題、擬訂方案、執(zhí)行、回顧［2］. 反思以上幾種思路：對(duì)于思路1，學(xué)生比較容易想到，但它對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求太高，許多學(xué)生看到方程時(shí)望而卻步，無(wú)法順利求解；思路2和思路3的思考源于對(duì)旋轉(zhuǎn)的深度理解，特別是在平面直角坐標(biāo)系中，要求學(xué)生能將線段AB的旋轉(zhuǎn)習(xí)慣性地看成是△AOB的旋轉(zhuǎn)（這種思考問(wèn)題的意識(shí)需要教師在平時(shí)的教學(xué)中不斷滲透），找出其中的定量（點(diǎn)D的位置和點(diǎn)C的軌跡）與變量（點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)），這樣更有利于問(wèn)題的解決. 順利讀題、擬訂方案、執(zhí)行方案后，學(xué)生還需要養(yǎng)成良好的回顧與反思解題習(xí)慣，突破經(jīng)驗(yàn)再思考：我是怎么想到的？還可以怎么想？哪種方法更好一些？

3. 模型識(shí)別，從解題中找思路

加強(qiáng)解題教學(xué)不是同一問(wèn)題的反復(fù)訓(xùn)練，更不是搞題海戰(zhàn)術(shù). 它的正確做法是通過(guò)解題和反思活動(dòng)，在解題的基礎(chǔ)上總結(jié)、歸納解題方法，強(qiáng)化建模意識(shí)，提煉數(shù)學(xué)模型，提升學(xué)生素養(yǎng). 思路4和思路5都應(yīng)用了“一線三等角”解題模型，借助模型來(lái)構(gòu)造圖形的全等或相似，從而建立方程并求解. 作為一個(gè)常練常考的幾何模型，“一線三等角”深受教師和學(xué)生的喜愛(ài)，在蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)第35頁(yè)和九年級(jí)下冊(cè)第59頁(yè)、第91頁(yè)都有明確的“一線三等角”圖例. 教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生“窺一斑而知全豹”，引導(dǎo)學(xué)生在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)上不斷關(guān)聯(lián)和引申. 圖7至圖12都是“一線三等角”常見(jiàn)的基本圖形（可根據(jù)角度大小與相等角的分布進(jìn)行分類）. 因此，解題教學(xué)中增加基本圖形的識(shí)別與構(gòu)造，可以豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，完善學(xué)生的知識(shí)體系，提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的模型觀念，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

4. 深度探究，在反思中求生長(zhǎng)

深度學(xué)習(xí)是在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的一種完善與遞進(jìn). 在問(wèn)題解決的基礎(chǔ)上，為了讓學(xué)生更好地理解問(wèn)題的解決路徑，實(shí)現(xiàn)中考題引發(fā)思考和引領(lǐng)教學(xué)的潛在功能，我們可以通過(guò)對(duì)原有問(wèn)題的再提問(wèn)、再改編等方式對(duì)具體知識(shí)進(jìn)行再建構(gòu)，以引發(fā)師生深度理解，促進(jìn)解題經(jīng)驗(yàn)的再生長(zhǎng).

改編1 基于原題旋轉(zhuǎn)方向的改編.

如圖13所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到線段AC.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，-1），則m的值為_(kāi)___.

改編2 基于原題旋轉(zhuǎn)角度的改編.

如圖14所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°后得到線段AC.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，3），則m的值為_(kāi)___.

改編3 基于原題隱含結(jié)論的再挖掘.

如圖15所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到線段AC，連接OC，則線段OC的最小值為_(kāi)___.

改編4 基于知識(shí)的再融合.

結(jié)束語(yǔ)

什么是好題？個(gè)人認(rèn)為好題應(yīng)該具備來(lái)路正、出路廣、融合強(qiáng)、韻味足的特征，源于課本但又高于課本，既能夠體現(xiàn)基本知識(shí)和基本技能的考查，又能夠引領(lǐng)學(xué)生解題能力的提高和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升［2］. 2022年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)卷第8題就是好題的代表，具有圖形簡(jiǎn)潔、構(gòu)造簡(jiǎn)單、思路寬廣的好題之韻，讓人流連忘返、回味無(wú)窮.

參考文獻(xiàn)：

［1］G.波利亞. 怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法［M］. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

［2］陳偉華. 認(rèn)清“來(lái)路”? ?認(rèn)準(zhǔn)“出路”——以2020年蘇州市中考數(shù)學(xué)卷第18題為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（10）：53-54.