開發(fā)數(shù)學“動手做”：學習材料設計應有的視角
——以”圖形的放大與縮小”教學為例

江蘇南京市百家湖小學 （211100） 王 軍

筆者在教學“圖形的放大與縮小”時，有學生提出了一些疑問：“怎樣才能更方便地將復雜的圖形按比例放大或縮?。拷滩纳蠄D形的放大與縮小都是將圖形上的對應邊進行放大或縮小，而圓是曲線圖形，為什么改變半徑的長度就能將圓放大或縮小？……”恰巧教材在這一節(jié)課的練習中編排了“動手做”（如圖1），讓學生通過操作不同圖形的放大來感受圖形的相似性?！皠邮肿觥笔翘K教版教材的特色欄目，是通過操作、游戲、實驗、調(diào)查研究等方式，引導學生親身體驗和感知數(shù)學知識的形成與發(fā)展，感受數(shù)學文化的魅力，激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)學生的數(shù)學思考，使得學生感悟數(shù)學思想、積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗。

圖1

基于此，筆者根據(jù)學生的疑問并結(jié)合教材編排的“動手做”活動內(nèi)容，對相關(guān)的實驗進行了重新設計，以期實現(xiàn)學生對“圖形的放大與縮小”的再認識。

【案例描述】

活動一：探究放大和縮小原圖的原理

師：大家已經(jīng)學習了有關(guān)圖形放大與縮小的知識。研究了長方形、正方形的放大與縮小后，你還想研究哪些圖形的？

生1：三角形、平行四邊形、梯形……

師：請先選定一個圖形，在方格紙上畫出來，再將它按照一定的比放大或者縮小。

生2：我研究的是直角三角形，將它按1∶2的比縮小。先將兩條直角邊的長度縮小為原來的，再連接直角邊的兩個端點，得到一個小直角三角形。

生2（出示圖2）：我可以驗證。原來的直角三角形的斜邊有4 段方格的對角線那么長，現(xiàn)在的小直角三角形有2段那么長，斜邊也縮小為原來的。

圖2

師：看來，確定好兩條直角邊縮小后的長度，斜邊縮小后的長度也能確定了。

生3（出示圖3）：還可以找到一條直角邊的中點，再找另一條直角邊的中點，連接這兩個中點，形成的小三角形就是原來直角三角形按1∶2 的比縮小的圖形。

圖3

生4：我研究的是平行四邊形，把它按照3∶1的比放大。根據(jù)平行四邊形的特征，只要把這兩條鄰邊的長度同時放大到原來的3倍就可以了。（如圖4）

圖4

生5：雖然圖形看起來放大了，但鄰邊夾角的角度會不會發(fā)生變化，導致和原來的平行四邊形不一樣。

師：的確，保持圖形內(nèi)角的角度不變也是圖形放大和縮小要考慮的關(guān)鍵要素。那么放大這個平行四邊形時還要怎么做呢？

生6：用量角器測量出鄰邊的夾角的角度，再在畫圖的時候保持相同的角度。

生7：在原圖的基礎(chǔ)上把鄰邊同時放大為原來的3倍，再作對邊的平行線后相連。

……

師：剛才我們在方格紙上研究了多種圖形的放大與縮小，如果沒有這樣的方格紙，你還能將圖形放大和縮小嗎？

生8：可以用尺子和量角器分別量出能確定圖形形狀和大小的邊長和夾角，再按照給定的比將圖形放大或縮小。

師：你關(guān)注到了圖形的邊和角，考慮得很全面。

生9：也可以在原圖的基礎(chǔ)上放大和縮小。

師：確實，在原圖上直接進行放大與縮小是一種非常方便的方法。

師：再看剛才在原圖上縮小直角三角形的作品（如圖3）。把圖上的線段都擦掉，這樣縮小的過程其實只是改變了三角形的什么？

生10：改變了頂點的位置。

生11：確定了三角形3 個頂點的位置，三角形的形狀與大小也就確定了。

師：其實，把原來直角三角形的頂點當作原點，兩條直角邊分別當作一個標準單位長度“1”，那么這兩個點分別移動到對應直角邊的的位置時，也就是按1∶2的比縮小。（如圖5）

圖5

師：同樣地，在原圖（如圖4）中將平行四邊形按3∶1 的比放大，可以把原來的一組鄰邊分別當作一個標準單位長度“1”，再分別將它們延長到“3”，找到頂點的位置。第4 個點的位置你能確定在哪嗎？

生12：作平行四邊形的對角線，把這段長度也當作一個標準單位長度“1”，然后延長到“3”，第4個點的位置也能確定。（如圖6）

圖6

活動二：操作驗證在原圖上放大方法的一般性

師：這樣的方法也適用于一般的四邊形和五邊形嗎？請用剛剛學到的方法將一般的四邊形和五邊形按2∶1 放大，并量一量放大后的圖形，看看每一條邊的長度是否都按相應的比放大，對應邊夾角的角度是否保持不變。

師：對于在原圖上放大與縮小，你有什么想說的？

生1：在原圖上放大與縮小，操作很方便，只需要改變原來圖形中的點的位置，就能夠保證圖形的形狀保持不變。

師：是的，有了這樣的方法，面對更復雜的圖形，也一樣能放大和縮小。

活動三：遷移拓展中感受更多的放大方法

師：剛剛我們在圖形上選了一個原點對圖形進行放大，想象一下，這樣的點還可能在什么位置？

生1：可能在圖形的外面。

生2：還可能在圖形的里面。

師：請以小組為單位，按照剛才的方法，任選一種情況進行驗證。

生3：我們小組在三角形ABC外任取一個點O，將O和三角形的三個頂點分別相連后作延長線，分別以OA、OB、OC為標準單位長度“1”，再分別在延長線上取2份這樣的單位長度，然后順次連接，得到一個大三角形，這個大三角形就是由原來的三角形ABC按2∶1 放大得到的。我們小組經(jīng)過測量和對比，發(fā)現(xiàn)操作正確。

師：你們不僅研究出了放大的方法，還進行了驗證，真嚴謹！

師：剛剛同學們研究了原點在圖形外部時如何放大一個圖形。仔細想想，生活中有這樣的現(xiàn)象嗎？

生4：有，美術(shù)上有這樣繪畫技巧。

生5：如果把這個原點想象成光源，對人照射后，就會在墻上留下一個按比例放大的人影。

師：確實，這樣的例子在生活中還有很多。那在圖形內(nèi)部找點，也能像這樣將圖形進行放大嗎？

生6：可以，我們小組在一個四邊形內(nèi)任選了一個點，按照同樣的方法操作，得到的大四邊形就是原來的四邊形按3：1放大的。（如圖7）

圖7

師：看來在內(nèi)部選點也能將圖形放大。同樣的，反過來也能將圖形縮小?，F(xiàn)在知道如何將圓進行放大和縮小了嗎？

生7：選取圓心為原點，改變半徑的長度，這樣圓心到圓上所有點的距離都會發(fā)生等比變化。因此只要將半徑的長度變長或變短，就能將圓進行放大或縮小。

師：原來圓的放大與縮小藏著這樣的奧秘。經(jīng)過動手操作，相信大家一定對圖形的放大與縮小都有了新的認識。

……

【反思】

“動手做”活動具有極高的教學價值，筆者結(jié)合學生的學習疑問將教材中的“動手做”活動進行了改造，并以此為支點觸發(fā)學生主動學習，取得了良好的教學效果。結(jié)合教學實踐，筆者認為可以從“學習材料定位”“學習材料設計”“學習材料使用”三個視角出發(fā)對“動手做”的教學價值、活動方式和教學組織等進行重新定位和有機改造，使之成為促進學生完整認識數(shù)學知識和原理的有效學習材料。

一、學習材料定位：讓“動手做”從“微操作”轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸僬J識”

在日常的教學中，有的教師對“動手做”的編排意圖和價值缺乏足夠的理解，同時缺乏可供參考和借鑒的資料，從而使得教學這部分內(nèi)容時僅僅要求學生了解，或者讓學生進行依葫蘆畫瓢式的簡單操作，學生大多不明所以。但學生提出的問題“怎樣才能更方便地將復雜的圖形按比例放大或縮??？教材上圖形的放大與縮小都是將圖形上的對應邊進行放大或縮小，而圓是曲線圖形，為什么改變半徑的長度就能將圓放大或縮小？……”，以及“動手做”中以原圖為基礎(chǔ)的放大或縮小、復雜圖形的放大與縮小的原理是什么？只有讓學生親身實踐、探索、感悟，才能讓學生真的理解其蘊含的數(shù)學本質(zhì)。

基于以上思考，筆者對“動手做”活動的進行了整體設計，讓學生經(jīng)歷“獨立探索不同圖形的放大和縮小—理解和掌握在原圖基礎(chǔ)上放大的方法—原點在圖形外和圖形內(nèi)進行放大”三個層次的操作活動來感悟圖形放大與縮小的本質(zhì)是點的位置的移動變化，進而理解復雜圖形的放大與縮小的原理是從原點出發(fā)連接圖形上的頂點，并分別以這些連線長度為單位長度，按比例畫出對應點的位置，然后順次連接，就能得到相應的放大或縮小后的圖形。在這個過程中，學生經(jīng)歷的不僅僅是對圖形的簡單放大或縮小的操作，更多是對放大和縮小背后數(shù)學原理的“再認識”，從而能站在更高的視角上整體把握圖形變化的本質(zhì)。

二、學習材料設計：讓“動手做”從“做數(shù)學”進階到“創(chuàng)數(shù)學”

在教學中按部就班地呈現(xiàn)“動手做”的活動內(nèi)容，只能讓學生掌握有限的知識與方法，無法讓學生形成深刻的認知，以及對“動手做”與“圖形的放大與縮小”產(chǎn)生關(guān)聯(lián)性的理解。因此，筆者對“動手做”活動的呈現(xiàn)方式進行了改進，從學生已有的放大與縮小方法知識切入，讓學生體驗多種與原有方法不一樣的放大方法。事實上，打破常規(guī)的學習活動不僅有利于開闊學生的視野，也能提高學生的認知能力。

在上述案例中，筆者根據(jù)學生喜歡在具有操作性的、直觀豐富的數(shù)學活動中學習的特性，引導學生研究在原圖基礎(chǔ)上放大和縮小圖形的方法后，適時地直觀呈現(xiàn)和介紹從原點連線取“單位長度”將圖形放大的方法，有效地激發(fā)了學生的學習興趣。學生不僅在交流和操作中主動研究了應用這種方法放大三角形、四邊形、五邊形、六邊形等多邊形的一般普適性，更主動思考原點在圖形外和圖形內(nèi)的放大方法，并加以實踐驗證，形成豐富的數(shù)學思考。因此，對于“動手做”的活動，教師有必要結(jié)合學習內(nèi)容、學生的年齡特征和心理特點設計具體且豐富的體驗活動，以此升華學生的體驗和感受，讓學生在實踐操作和創(chuàng)造中實現(xiàn)自我突破。教師要積極地讓課堂上的“動手做”從“做數(shù)學”進階到“創(chuàng)數(shù)學”，使學生的數(shù)學學習看得見、摸得著。

三、學習材料使用：讓“動手做”從“不動點”升級成“觸發(fā)器”

“動手做”的活動內(nèi)容蘊含著豐富的數(shù)學知識與思想方法，教師要有意識地引導學生交流、辨析、比較、歸納、概括、聯(lián)想，促進學生從單純的“手動”升級為積極的“腦動”，通過啟發(fā)聯(lián)想和回顧反思，觸發(fā)學生實現(xiàn)知識的同化與順應，形成完整的知識結(jié)構(gòu)。如在本文案例中，筆者并沒有局限于教材提供的例子，而是引導學生操作原點在圖形上、圖形外、圖形內(nèi)的放大或縮小，還啟發(fā)學生比較在原圖基礎(chǔ)上放大或縮小方法的共同點，以及聯(lián)系生活中的應用原型和“為什么圓的放大（縮?。┡c半徑有關(guān)”的相關(guān)問題。如此一來，學生不僅獲得將圖形放大與縮小的多樣方法，更經(jīng)歷自我解惑、自主關(guān)聯(lián)知識、完善認知結(jié)構(gòu)、達成學習進階的過程?？梢灶A見，學生未來學習相似圖形的有關(guān)知識時必然會產(chǎn)生熟悉感，同時學生也能逐步形成一種主動對問題和知識進行拓展、反思、類比、聯(lián)系和歸納概括的數(shù)學學習意識。

因此，在“動手做”的教學中，教師需要有全局意識，讓學生在動手操作的過程中將技能方法、知識原理、生活原型有機地關(guān)聯(lián)起來，使學生的數(shù)學學習從“淺表”走向“深層”，從“分析”走向“綜合”，從“孤島”走向“聯(lián)結(jié)”，形成系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)。