因地制宜：學(xué)生量感培養(yǎng)的有效路徑
——以“認(rèn)識公頃”一課為例

南通高等師范學(xué)校附屬小學(xué) （226009） 施榮兵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，量感主要是指對事物的可測量屬性及大小的直觀感知。量感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。在學(xué)段目標(biāo)中，第一學(xué)段要求學(xué)生形成初步的量感，第二學(xué)段和第三學(xué)段都要求學(xué)生形成相應(yīng)的量感，可見學(xué)生量感的培養(yǎng)貫穿整個小學(xué)階段。因此，教師在備課時需認(rèn)真思考教材上的素材是否符合學(xué)生的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，當(dāng)素材不能滿足培養(yǎng)學(xué)生量感的需要時，教師不應(yīng)拘泥于教材給定的素材。教師要善于揣摩教材編者的意圖，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實際情況因地制宜地開發(fā)教學(xué)資源，創(chuàng)造性地使用教材，引領(lǐng)學(xué)生開展高效的學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生形成較為良好的量感。

一、分析教材，基于學(xué)生視角尋找適合的素材

教材編排的例題具有一定的普適性，但面對不同地區(qū)的學(xué)生，有時難免會有些“水土不服”。教師在教學(xué)有關(guān)量感的新課時，首先要認(rèn)真分析教材，站在學(xué)生的角度確定教學(xué)的重難點，尋找身邊適合培養(yǎng)學(xué)生量感的教學(xué)素材。學(xué)生每學(xué)習(xí)一個新知識點，教師要全面考慮“以學(xué)生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)會遇到哪些困難”“以教材的素材進(jìn)行教學(xué)能不能產(chǎn)生較好的教學(xué)效果”等問題。如果教材上的素材滿足不了學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，教師就要思考“還需要哪些素材的輔助”“怎樣才能順利讓學(xué)生完成相應(yīng)知識點的學(xué)習(xí)”。只有準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，選擇合適的教學(xué)資源，教學(xué)才能做到有的放矢，才能順利完成一節(jié)課的教學(xué)。

蘇教版教材五年級上冊“認(rèn)識公頃”一課中的公頃是個比較大的面積單位，學(xué)生對這個較大面積單位的感知不可能一蹴而就，要讓學(xué)生順利建立量感，素材的選擇尤為重要。

在學(xué)習(xí)公頃這個新的面積單位之前，學(xué)生的知識基礎(chǔ)是在三年級下冊認(rèn)識的平方厘米、平方分米和平方米這幾個較小的面積單位。而在這節(jié)課之前，教材也只是側(cè)重于平行四邊形、三角形和梯形面積公式的推導(dǎo)以及相關(guān)面積問題的計算，并無有關(guān)量感的鋪墊。也就是說，在學(xué)習(xí)公頃之前，學(xué)生頭腦中只有在三年級學(xué)習(xí)面積單位時建立的幾到幾十平方米概念，而且中間一年多的時間沒有關(guān)于面積的任何訓(xùn)練，部分學(xué)生對平方米這個面積單位也已經(jīng)感到模糊，一下子跨越到公頃（10000 平方米）這個較大的面積單位，學(xué)習(xí)勢必不可能一帆風(fēng)順。

教材是以四個著名景點的面積為素材（如圖1）導(dǎo)入新課，目的是讓學(xué)生對公頃這個新的面積單位有初步的認(rèn)識。

圖1 教材上的素材

通過課前調(diào)查發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生沒有去過這些景點，個別去過的學(xué)生對這些景點也沒有面積大小的概念。顯然，這些素材遠(yuǎn)離學(xué)生的生活實際。因此，如果只用這些素材引入新課，學(xué)生就只知道“公頃是個新的面積單位”“公頃很大”，對于具體有多大，學(xué)生可能連感性的認(rèn)識都沒有。

本節(jié)課的教學(xué)難點是讓學(xué)生建立1 公頃大小的表象。教材是先直接給出概念“邊長100 米的正方形土地，面積是1 公頃”，然后讓學(xué)生通過活動建立100平方米有多大這個表象，也就是讓28名學(xué)生手拉手圍成一個正方形，正方形的面積大約是100平方米。在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生通過計算去想象100 個100 平方米是10000 平方米，也就是1 公頃。學(xué)生在學(xué)這節(jié)課之前，對100 平方米的大小并沒有概念，因此，即使有了28 名學(xué)生手拉手圍成一個大約100 平方米的正方形這個即時表象，也很難在此基礎(chǔ)上通過想象去感知100 個100 平方米有多大。從100 直接跳躍到10000 ，跨度較大，超過了學(xué)生的感知范圍，不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以此為基礎(chǔ)建立的10000平方米的表象猶如“空中樓閣”。

學(xué)生量感的建立，應(yīng)遵循由小到大、螺旋上升的原則，跨度不能大。教師此時需要思考：學(xué)生身邊有沒有占地面積是100 平方米、1000 平方米和10000 平方米的地方呢？如果能找到，就可以讓學(xué)生逐步建立100平方米、1000平方米、10000平方米的表象，有助于學(xué)生建立比較穩(wěn)定的1公頃表象。

二、找準(zhǔn)參照物，以豐富的現(xiàn)實表象培養(yǎng)學(xué)生的量感

教學(xué)活動應(yīng)使學(xué)生的認(rèn)知與身體、環(huán)境建立聯(lián)系。選擇的素材應(yīng)是學(xué)生熟悉的，可以因地制宜地從身邊找素材，從而讓學(xué)生通過有邏輯的推理想象，借助熟悉的小量感知大量；有時還需要借助轉(zhuǎn)化量，讓學(xué)生從其他角度進(jìn)行感知。學(xué)生坐在教室里學(xué)習(xí)，就算教師創(chuàng)設(shè)的情境再生動形象，多媒體技術(shù)的運用再嫻熟，學(xué)生的感知也只是在視覺層面，體驗不會很深刻。當(dāng)“虛擬情境”滿足不了學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，學(xué)生很難在“虛擬情境”中感知較大的量，因此，在真實情境中選擇合適的素材讓學(xué)生感知就相當(dāng)有必要了。當(dāng)學(xué)生走出教室，以現(xiàn)實生活中的資源為學(xué)習(xí)素材，抽象的數(shù)學(xué)知識就會變得直觀形象，學(xué)生的體驗自然會深刻，學(xué)習(xí)效率自然會提高。

既然學(xué)生對教材編排的四個景點（如圖1）不熟悉，也沒有面積大小的概念，教師就應(yīng)尋找學(xué)生熟悉的景點。例如本校每學(xué)期都會組織學(xué)生參加校外實踐活動，五年級的學(xué)生對學(xué)校周邊的風(fēng)景區(qū)都比較熟悉，如占地面積約21 公頃的“南通城市綠谷”、占地面積約35 公頃的“南通嗇園”、占地面積約53公頃的“南通奇妙農(nóng)場”、占地面積約125公頃的“南通植物園”，學(xué)生基本都游玩過這些本地旅游景點。學(xué)生熟悉的素材已經(jīng)找到，下一步就是在現(xiàn)實生活中找到面積是100 平方米、1000 平方米、10000 平方米的地方讓學(xué)生實地感受，這還是得從學(xué)生的身邊找起。筆者課前和同年級的幾位數(shù)學(xué)教師一起去測量了幾個有代表性的建筑物：一間教室的長為8.2 米，寬為6.3 米（兩間教室的占地面積約為100 平方米）；學(xué)校有標(biāo)準(zhǔn)的室內(nèi)籃球館，籃球場長為28米，寬為15米（兩個多一點的籃球場的占地面積約為1000 平方米）；學(xué)校的操場是標(biāo)準(zhǔn)的400 米跑道，內(nèi)圈長方形的長是85.4 米，寬是73 米（如圖2），操場跑道圈起來的場地面積剛好接近1公頃。這幾個現(xiàn)成的面積原型，讓學(xué)生有了直觀的體驗，有利于學(xué)生逐步建立比較穩(wěn)定的1 公頃表象。

圖2

三、因“材”施教，在測量和計算中培養(yǎng)量感

小學(xué)生以形象思維為主，雖然高年級學(xué)生有了初步的抽象邏輯思維，但這種抽象邏輯思維仍需要一定的直觀形象支撐。教學(xué)有關(guān)量感的概念課時，教師要在學(xué)生充分感知的基礎(chǔ)上，用豐富的表象做支撐，這樣才能幫助學(xué)生理解抽象的概念。教師除了要在現(xiàn)實生活中找到合適的教學(xué)素材，還要整合和優(yōu)化素材，將其串聯(lián)起來教學(xué)。量感作為一種數(shù)學(xué)直覺具有一定的抽象性，讓學(xué)生親身經(jīng)歷體驗過程是培養(yǎng)量感的重要途徑，因此，實地感受參照物的大小等數(shù)學(xué)活動是相當(dāng)必要的。數(shù)學(xué)活動既可以是教室內(nèi)的各種學(xué)習(xí)活動，也可以是教室外的實踐活動，讓學(xué)生動手與動腦相結(jié)合，有助于學(xué)生建立較為穩(wěn)定的量感。教師要充分考慮學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時可能會遇到的困難，因地制宜，找到適合學(xué)生學(xué)習(xí)的本土素材，因“材”施教，輕松突破教學(xué)難點，使教學(xué)過程順暢，“真學(xué)”就會自然發(fā)生。

教學(xué)“認(rèn)識公頃”之前，筆者帶領(lǐng)學(xué)生一起測量了教室的長和寬、體育館內(nèi)籃球場的長和寬以及跑道內(nèi)場地的相關(guān)數(shù)據(jù)，并引導(dǎo)學(xué)生估算出各場地相應(yīng)的占地面積。學(xué)生在測量活動中鍛煉了的動手能力和合作能力，在計算中對較大的面積有了直接的體驗。在操場上測量時，筆者還組織28 名學(xué)生在操場上手拉手圍正方形，并測量圍成的正方形邊長，再估算面積。學(xué)生得出結(jié)論：28 名學(xué)生手拉手圍成的正方形面積大約是100 平方米。對比圍成的正方形和兩間教室，初步滲透面積為100 平方米的圖形形狀可以不同的理念，為上新課時讓學(xué)生理解面積是1公頃的圖形形狀的多樣化做鋪墊。

課堂上，筆者利用課前學(xué)生測量的數(shù)據(jù)和學(xué)生一起計算出一間教室的占地面積為8.2×6.3=51.66（平方米）、標(biāo)準(zhǔn)籃球場的占地面積為28×15=420（平方米）、操場內(nèi)圈面積為85.4×73+3.14×36.5×36.5=10417.465（平方米）。由于此時學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)小數(shù)乘法和圓的面積公式，在計算時可簡單告訴學(xué)生計算方法后直接用計算器算出結(jié)果。

兩間教室的占地面積大約是100 平方米，學(xué)生能直接感知，從而建立100 平方米的量感；兩個多一點籃球場的占地面積大約1000 平方米，學(xué)生能在簡單地推理中感知，也能建立穩(wěn)定的1000 平方米量感；操場內(nèi)圈面積為10417.465平方米，大約是1公頃，至此，學(xué)生建立1公頃的量感。

對于教材上“邊長100 米的正方形土地，面積是1 公頃”這句話，有些學(xué)生會錯誤地認(rèn)為只有邊長是100米的正方形面積才是1公頃。通過和操場內(nèi)圈面積的對比，學(xué)生明白操場內(nèi)圈面積減去417.465 平方米剩下的圖形形狀可以有很多種，就不再有這樣的誤解了。在測量和計算中，學(xué)生對1公頃的大小有了一個直接的感知，對1 公頃大小的圖形形狀的多樣性也有了認(rèn)識，一舉兩得。

測量是十分重要的技能，其目的是得到精確的數(shù)值，而量感更多地體現(xiàn)在不借助工具的前提下對數(shù)量有較準(zhǔn)確的感知。在學(xué)生建立了穩(wěn)定的1 公頃表象之后，筆者再結(jié)合學(xué)校的鳥瞰圖（如圖3）讓學(xué)生估一估學(xué)校的占地面積，以操場內(nèi)圈面積是1公頃左右為基礎(chǔ)進(jìn)行估算：操場除了內(nèi)圈，剩余部分面積大約為操場內(nèi)圈面積的一半，也就是0.5 公頃，整個操場的面積約1.5公頃；操場占整個學(xué)校面積的三分之一，進(jìn)而可以估算出整個學(xué)校的占地面積約4.5公頃。通過操場內(nèi)圈面積推算學(xué)校的占地面積，學(xué)生在推理中對公頃的認(rèn)識又進(jìn)了一步。

圖3 學(xué)校的鳥瞰圖

學(xué)校是學(xué)生再熟悉不過的地方，一個五年級的學(xué)生已經(jīng)熟悉學(xué)校的每一個角落，以學(xué)生最為熟悉的場地作為教學(xué)“認(rèn)識公頃”的素材再好不過。在學(xué)生認(rèn)識完身邊有關(guān)公頃的素材，有了量感的基礎(chǔ)后，再把教材編排的四個景點呈現(xiàn)給學(xué)生，效果會更好。

四、課外延伸，深化學(xué)生對量感的理性認(rèn)知

一節(jié)課的時間有限，量感的培養(yǎng)僅靠課上的學(xué)習(xí)難以全面深入。教師要在吃透教材的前提下，在課后進(jìn)行適度“擴(kuò)容”，布置有針對性的課外拓展作業(yè)，使學(xué)生量感的培養(yǎng)過程變得更“豐滿”。學(xué)生的課外拓展作業(yè)也要因地制宜，教師可根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生課后觀察熟悉的家鄉(xiāng)、觀察地大物博的祖國。在真實情境中應(yīng)用所學(xué)知識解決有關(guān)度量的實際問題，不僅有助于學(xué)生鞏固在課堂上學(xué)到的知識，同時也滋養(yǎng)了學(xué)生的家國情懷。

學(xué)生學(xué)完新課后雖然已經(jīng)形成初步的量感，但對公頃的認(rèn)識還處在從感性到理性的過渡階段，還需要在實際應(yīng)用中進(jìn)一步深化。認(rèn)識公頃，不僅是認(rèn)識一個面積單位，建立穩(wěn)定的1 公頃有多大的表象，還要養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識和解決實際問題的習(xí)慣，形成抽象能力和應(yīng)用意識。教師要有單元整體教學(xué)的視野，不僅要完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，還要全面考慮所學(xué)知識點在整個單元乃至整個小學(xué)階段學(xué)習(xí)中所處的地位，有針對性地進(jìn)行教學(xué)延伸。

教學(xué)完“認(rèn)識公頃”這節(jié)課后正好是個周末，筆者給學(xué)生布置了兩項課外拓展作業(yè)：（1）想辦法了解自己家所在小區(qū)的占地面積是多少公頃；（2）查閱相關(guān)資料，看看自己游玩過一個風(fēng)景區(qū)的占地面積是多少公頃。周一進(jìn)行作業(yè)匯報交流時，學(xué)生都能準(zhǔn)確說出自己家所在小區(qū)的占地面積，小到幾公頃，大到幾十公頃。學(xué)生游玩過有名的風(fēng)景區(qū)主要有：南京雨花臺風(fēng)景區(qū)占地面積約153.7公頃、蘇州虎丘山風(fēng)景區(qū)占地面積約72.8公頃、常州中華恐龍園占地面積約40 公頃、天安門廣場占地面積約44公頃、南通能達(dá)生態(tài)通廊總占地面積約213 公頃、如皋水繪園占地面積約27 公頃、南通狼山風(fēng)景名勝區(qū)總面積約11.27平方千米……學(xué)生了解了自己家所在小區(qū)的占地面積和“回頭看”游玩過的景區(qū)，既深化了對公頃的理性認(rèn)知，也為下節(jié)課學(xué)習(xí)“平方千米”做強有力的鋪墊。

學(xué)生量感培養(yǎng)的素材從熟悉的現(xiàn)實生活中來，建立量感后在實際運用中得以鞏固和提升，在活學(xué)活用中深化對量感的理性認(rèn)知。學(xué)生在拓寬數(shù)學(xué)視野的同時學(xué)習(xí)逐步走向深入，學(xué)生的核心素養(yǎng)也實現(xiàn)自然進(jìn)階。