讓思考成為數(shù)學(xué)運算的助推器

林琴

摘要：高中階段對數(shù)學(xué)運算的要求更高，注重數(shù)學(xué)思想與邏輯推理，這就離不開數(shù)學(xué)思維與方法，以及解題中的思維能力與整體的把握能力.結(jié)合實例，從法則應(yīng)用的合理性，簡便運算的靈活性，公式選擇的有效性以及路徑選取的高效性等層面，借助合理的數(shù)學(xué)思考來提升數(shù)學(xué)運算能力.

關(guān)鍵詞：高考；思考；數(shù)學(xué)運算；法則；合理

隨著新高考改革步伐的不斷邁進(jìn)，高考更加注重對學(xué)生各方面能力的考查與區(qū)分，突出核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力.其中，對學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的要求就提到了一個更高的層面，因而提高高中生數(shù)學(xué)運算能力是一個亟待解決的數(shù)學(xué)問題.鑒于此，下面結(jié)合實例來具體闡述如何處理數(shù)學(xué)運算問題，讓思考成為數(shù)學(xué)運算的助推器.

1 法則應(yīng)用的合理性

解決問題中的數(shù)學(xué)運算過程，就是一個數(shù)學(xué)法則應(yīng)用的過程.厘清數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)與內(nèi)涵，結(jié)合相關(guān)問題中所涉及到的概念、定義、公式、定理以及性質(zhì)等本質(zhì)，通過數(shù)學(xué)運算法則的應(yīng)用，建立聯(lián)系，直擊要害，達(dá)到運算法則應(yīng)用的合理性.

例1 （2022年高考數(shù)學(xué)上海卷·11）若|a|=|b|=|c|=λ，且滿足a·b=0，a·c=2，b·c=1，則λ=___________.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，確定平面向量的位置關(guān)系并構(gòu)建相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，合理應(yīng)用

平面向量中的相關(guān)運算法則，利用平面向量的坐標(biāo)表示與設(shè)置，結(jié)合平面向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)公式等構(gòu)建相應(yīng)的方程組，即可確定參數(shù)的值.

解析：由a·b=0，可得a⊥b.

構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)向量a=（λ，0），b=（0，λ），c=（x，y），x，y∈R，則有x2+y2=λ2，其中λ>0.

由a·c=2，b·c=1，得λx=2，λy=1，則x=2λ，y=1λ.將上式代入x2+y2=λ2，得4λ2+1λ2=λ2，則λ=45.

故填答案：45.

點評：在解決平面向量問題時，經(jīng)常應(yīng)用定義法、坐標(biāo)法與幾何法這幾種常見的方法來解決.這里，在解決平面向量問題中，借助平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建，利用坐標(biāo)法的代數(shù)運算來分析與處理平面向量中的相關(guān)問題，是一種更加合理的數(shù)學(xué)運算法則的應(yīng)用.借助坐標(biāo)法，化“形”為“數(shù)”，代數(shù)運算處理.

2 簡便運算的靈活性

結(jié)合數(shù)學(xué)問題中涉及到的基本性質(zhì)、整體思維、重要結(jié)論等，合理構(gòu)建與問題對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)關(guān)系等，簡化運算，全面提升數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)思維的靈活性，明確運算目標(biāo)，構(gòu)建相應(yīng)的聯(lián)系，優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

例2 （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·16）已知橢圓x26+y23=1，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且|MA|=|NB|，|MN|=23，則直線l的方程為___________.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合直線與x軸，y軸分別交于兩點，利用直線截距式方程的設(shè)置，引入對應(yīng)的參數(shù)與方程，結(jié)合直線方程的特征，可以快捷簡便地確定直線與坐標(biāo)軸的對應(yīng)交點問題，方便問題的進(jìn)一步分析與求解；進(jìn)而結(jié)合橢圓的中點弦性質(zhì)，為簡便運算提供更加靈活與便利的條件.

解析：設(shè)直線l的方程為xm+yn=1（m＞0，n＞0），則M（m，0），N（0，n）.

取線段AB的中點E，由|MA|=|NB|，可知點E是線段MN的中點，即Em2，n2.

結(jié)合橢圓的中點弦性質(zhì)，有kOEkAB=-b2a2=-12，

而kAB=kMN=-nm，kOE=nm，

則有-nm×nm=-12，即m2=2n2.

又|MN|=23，即m2+n2=12，所以m=22，n=2.

所以直線l的方程為x22+y2=1，即x+2y-22=0.故填答案：x+2y-22=0.

點評：根據(jù)題設(shè)條件設(shè)置合適的直線方程，是簡單快捷處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題中的一個重點，也是靈活運算的基礎(chǔ).而熟練掌握圓錐曲線中的一些“二級結(jié)論”（本題中用到圓錐曲線的中點弦性質(zhì)），在破解小題時可以更加靈活便捷，優(yōu)化數(shù)學(xué)運算，簡化解題過程，提升解題效益，節(jié)約寶貴時間.

3 公式選擇的有效性

在數(shù)學(xué)運算前需合理選擇公式，同時要根據(jù)題目意圖進(jìn)行思考，以目標(biāo)引領(lǐng)思維，特別涉及到有多種公式可供選擇時（主要是三角函數(shù)問題、數(shù)列問題等），要洞察已知條件與所求結(jié)論之間的有效聯(lián)系，合理數(shù)學(xué)思維與推理，進(jìn)行有效性的公式選擇，達(dá)到“一箭封喉”，真正提升數(shù)學(xué)運算的準(zhǔn)確性.

例3 （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·6）角α，β滿足sin （α+β）+cos （α+β）=22cos α+π4sin β，則（? ）.

A.tan（α+β）=1

B.tan（α+β）=-1

C.tan（α-β）=1

D.tan（α-β）=-1

分析：根據(jù)題設(shè)條件，從眾多的三角恒等變換公式中進(jìn)行有效性的公式選擇，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，先利用兩角和與差的三角函數(shù)公式加以展開，使得復(fù)雜角轉(zhuǎn)化為簡單角，再綜合變形所得的三角函數(shù)關(guān)系式，“逆向”利用兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后進(jìn)行三角函數(shù)式的變形與求值.

解析：由sin （α+β）+cos （α+β）=22×cosα+π4sin β，可得

sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin α＼5sin β=22cos αcos π4-sin αsin π4sin β=2cos α＼5sin β-2sin αsin β.

于是sin αcos β-cos αsin β=-cos αcos β-sin αsin β，即sin （α-β）=-cos （α-β）.

所以tan（α-β）=-1.故選擇答案：D.

點評：根據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論中相應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式等信息，正確利用兩角和與差的三角函數(shù)公式在復(fù)雜角與簡單角之間進(jìn)行“正向”與“逆向”變形處理，有效選取三角函數(shù)公式，以最有效、最簡便的方式，構(gòu)建題設(shè)條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，從而實現(xiàn)問題的分析與解決.

4 路徑選取的高效性

數(shù)學(xué)運算的路徑是多樣性的，合理的積極思考，可以使得運算路徑更加高效、更加直接，進(jìn)而借助數(shù)學(xué)運算以及邏輯推理等的綜合應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)運算的效率.

例4 （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·12）（多選題）對任意x，y，x2+y2-xy=1，則（? ）.

A.x+y≤1

B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2

D.x2+y2≥1

分析：根據(jù)題設(shè)條件，將條件中的二元方程加以配方處理，轉(zhuǎn)化為兩代數(shù)式的平方和為1的形式，引入?yún)?shù)進(jìn)行三角換元，進(jìn)而選取高效的數(shù)學(xué)運算路徑，結(jié)合對應(yīng)的參數(shù)將x+y，x2+y2表示為三角函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行恒等變形與處理，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定對應(yīng)的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合選項來分析與判斷.

解析：由x2+y2-xy=1，配方可得

x-12y2+32y2=1.

令x-12y=cos θ，32y=sin θ，θ∈［0，2π），則x=33sin θ+cos θ，y=233sin θ.

于是x+y=3sin θ+cos θ=2sin （θ+π6）∈［-2，2］，則選項A錯誤，選項B正確；

而x2+y2=33sin θ+cos θ2+233sin θ2=33sin 2θ-13cos 2θ+43=23sin 2θ-π6+43∈23，2，則選項C正確，選項D錯誤.

故選擇答案：BC.

點評：在破解一些涉及代數(shù)式或參數(shù)的取值范圍或最值，以及不等式成立等相關(guān)問題時，經(jīng)常利用三角換元法，將目標(biāo)代數(shù)式或參數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的形式，借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來處理，是解決此類問題中比較高效的一種數(shù)學(xué)運算路徑的選取.

在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中，完善與提升數(shù)學(xué)運算能力是一個漸近與螺旋上升的過程.在此過程中，還要不斷強(qiáng)化一些其他方面的能力，如敏銳的觀察力、整體思維能力、化繁為簡的轉(zhuǎn)化能力以及解題全過程的統(tǒng)籌安排能力等，合理調(diào)配，不斷優(yōu)化，真正讓思考融入到數(shù)學(xué)運算中去，不斷通過思考優(yōu)化數(shù)學(xué)運算，通過數(shù)學(xué)運算促進(jìn)思考，形成良性循環(huán).讓數(shù)學(xué)運算根植于思考的土壤，借助思考的“翅膀”提升數(shù)學(xué)運算能力，尋找快樂源泉，讓運算過程開出絢麗的思維之花.