理工類課程課程思政的實踐方法

李曉焱　閆樹熙　馬崛

摘? 要：該文以高等數(shù)學(xué)經(jīng)典知識點定積分的概念為例，結(jié)合地方區(qū)域特色，挖掘陜北文化資源，將優(yōu)秀文化資源融入到地方高校的高等數(shù)學(xué)課程中。根據(jù)課程特點，確立思政目標(biāo)，探尋思政元素切入點，設(shè)計教學(xué)過程。在此基礎(chǔ)上，提出“潤物無聲”的思政實施方法，對理工類教師開展課程思政具有積極的借鑒意義.

關(guān)鍵詞：理工類課程；課程思政；高等數(shù)學(xué)；定積分；實施方法

中圖分類號：G641? ? ? ? 文獻標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2023）26-0164-06

Abstract： This paper is aimed at offering some implementation methods of integrating the ideological and political factors with the science and engineering courses in local colleges and universities， taking the concept of point definite integral in classical knowledge of Advanced Mathematics as an example. By exploring the local and cultural characteristics， setting pre-class emotion and moral aim， the paper seeks possible ways for teaching design. Based on this curriculum design， the ideological and political education is carried out in an imperceptible but effective way. This paper hopes to offer some practical reference significance for other teachers in relative courses.

Keywords： science and engineering courses; curriculum ideology and politics; Advanced Mathematics; definite integral; implementation method

2021年3月，教育部辦公廳發(fā)布的《關(guān)于開展課程思政示范項目建設(shè)工作的通知》強調(diào)，全面推進不同類型學(xué)校的課程思政建設(shè)理論研究和教學(xué)實踐，探索創(chuàng)新課程思政建設(shè)方法路徑，加快形成“校校有精品、門門有思政、課課有特色、人人重育人”的良好局面[1]。高等數(shù)學(xué)課程是高等院校面向理工類、經(jīng)管類等專業(yè)大一學(xué)生開設(shè)的一門公共理論必修課，著重培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力、幾何直觀和空間想象能力，以及熟練的運算能力，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和今后從事科學(xué)研究活動奠定了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。其授課時間長、覆蓋廣，在榆林學(xué)院，每年有8個學(xué)院近2 100名本科生學(xué)習(xí)該門課程。作為一名高等數(shù)學(xué)任課教師，如何在專業(yè)知識講授的同時能用好課堂主渠道，深入知識的內(nèi)涵，充分挖掘思政元素，幫助學(xué)生樹立科學(xué)正確的人生價值觀，已成了尤為迫切需要解決的問題。

立德樹人，在思政課程中引領(lǐng)、在通識類課程中浸潤、在社科類課程中深化[2]。然而，理工類課程邏輯性強、抽象性強、應(yīng)用性強，與思政似乎“風(fēng)馬牛不相及”?；谏鲜鎏攸c，使得思政元素自然無聲地融入相比人文社科類課程更具有挑戰(zhàn)性[3]。究其原因，首先是課程固有的理性思維與思政傾向的感性思維很難做到真正意義上融合，其次傳統(tǒng)理工類課程往往重認(rèn)知輕情感，重講解輕互動，重考試輕能力，致使思政元素“刻意”生硬地走進課堂，難以達到“潤物無聲”的效果。盡管具有很大的挑戰(zhàn)性，但目前高等院校大部分的理工類教師已悄然在自己的課程中進行了課程思政的探索與實踐[4-6]，并逐步開展課程思政示范項目建設(shè)工作。

本文以高等數(shù)學(xué)定積分的概念為例，面向經(jīng)管類學(xué)生創(chuàng)設(shè)有地域特色的、有陜北文化氣息的教學(xué)案例，讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴。課中對課程內(nèi)容適當(dāng)優(yōu)化，降低學(xué)習(xí)難度，處理好定量和定性、具體和抽象、主觀判斷和邏輯推理等關(guān)系。主要采用啟發(fā)式、問題驅(qū)動式的教學(xué)方法讓學(xué)生更好地融入課堂，突出以學(xué)生為中心的理念，借助多媒體直觀、細(xì)致地演示“分割、近似代替、求和、取極限”的過程， 使得復(fù)雜的問題可視化，從而加深對抽象理論的理解。引導(dǎo)學(xué)生概括出定積分的概念，啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)會解決問題中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，并提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力。

一? 課程思政目標(biāo)

讓學(xué)生了解陜北地域特色文化，充分利用紅色資源，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣；介紹中國古代著名的劉徽“割圓術(shù)”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化自信；在理解概念、升華思想的過程中激發(fā)學(xué)生的求知欲，主動參與課堂討論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和探索未知世界的精神；應(yīng)用高等數(shù)學(xué)解決生活中的實際問題，增加學(xué)生的社會責(zé)任感；通過定積分思想中量變與質(zhì)變的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生正確的價值觀，增強實現(xiàn)強國夢的決心和信心，最大化地發(fā)揮高等數(shù)學(xué)獨特的文化育人功能，使得應(yīng)用型本科院校經(jīng)管類的學(xué)生拓寬數(shù)學(xué)的知識性和人文性。思政目標(biāo)如圖1所示。

二? 教學(xué)設(shè)計思路

定積分的概念是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，在力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、生命科學(xué)和社會科學(xué)等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)課以“創(chuàng)設(shè)問題—探究問題—解決問題—應(yīng)用問題”作為主線，針對學(xué)生熟悉陜北窯洞的特點，從需要多少張麻紙貼窗戶引入曲邊梯形的面積計算問題，借鑒劉徽“割圓術(shù)”的思想找到解決問題的方案和步驟。進一步提及定積分在其他領(lǐng)域的背景和應(yīng)用，將這些問題歸結(jié)為一類特殊和式的極限，找出解決此類應(yīng)用問題的共性，從共性中抽象出定積分的概念，同時開闊學(xué)生的知識視野。針對學(xué)生來自經(jīng)管類專業(yè)的特征，利用所學(xué)知識解決經(jīng)濟學(xué)中的收益問題，提高學(xué)生解決實際問題的意識和能力，體會學(xué)以致用、用以促學(xué)的學(xué)習(xí)意義。

（一）? 創(chuàng)設(shè)問題

2021年9月13日，在陜西省榆林市考察調(diào)研的習(xí)近平總書記來到楊家溝革命舊址強調(diào)“要充分運用紅色資源”“賡續(xù)紅色血脈”[7]。窯洞作為陜北一張響亮的名片，為中國革命史寫下了濃墨重彩的一筆，如圖2所示?，F(xiàn)如今窯洞不僅是陜北人的居住場所而且是紅色文化教育基地。從窯洞的窗格的外部形態(tài)引發(fā)學(xué)生思考，為什么窯洞依山開鑿建成拱形？是因為黃土黏性大，直立性強，而拱頂?shù)某兄啬芰Ρ绕巾敽?，能更好地防止泥土掉落，這樣修建才有支撐力，堅固耐勞，也充分體現(xiàn)了我國勞動人民的智慧。在陜北，每到過年會把窯洞的窗格重新貼上麻紙，這樣既顯得明亮又保暖散氣，那對于這樣一個拱形窗格，我們需要買多少張麻紙呢？對于這個問題，祖先的智慧就是數(shù)小方格的個數(shù)，邊上的非方格也用方格來代替，每個小方格的面積易算，窯洞窗格的近似面積也就可以算出來，需要的麻紙也就確定了。然而窯洞是拱形的，它的準(zhǔn)確面積又如何算呢？

基于此背景，創(chuàng)設(shè)問題：如何計算拱形窗格的準(zhǔn)確面積？進一步提問，如何計算平面曲邊圖形的面積呢？

（二）? 探究問題

提到面積，同學(xué)們并不陌生，回顧中學(xué)計算過的平面圖形的面積，有矩形、梯形、圓和橢圓等規(guī)則圖形的面積，對于不規(guī)則平面圖形的面積即一般曲邊圖形的面積中學(xué)并未學(xué)到。其實，求曲邊圖形的面積是個古老的問題，早在公元263年，我國古代杰出的數(shù)學(xué)家劉徽就創(chuàng)立了“割圓術(shù)”。所謂“割圓術(shù)”就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積無限逼近圓的面積，當(dāng)邊數(shù)不能再增加時，就是圓面積。他在“割圓術(shù)”中提出“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這被視為中國古代極限觀念的佳作。通過介紹劉徽“割圓術(shù)”，讓學(xué)生切實感受到民族的自豪感及對中國文化的認(rèn)同感，樹立遠大的理想和堅定的信念。學(xué)生在課堂上不僅能夠?qū)W到基礎(chǔ)知識，還可以開拓境界，熏陶心靈，有利于學(xué)生的身心發(fā)展。

那么，我們能否把“割圓術(shù)”中所蘊藏著的“以直代曲、無限逼近”的數(shù)學(xué)思想用到求曲邊圖形的面積中呢？要解決這個實際問題，首先需要將拱形窗格放入二維平面中，如圖3所示。建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形給出曲邊梯形的定義。

實際上，會計算曲邊梯形的面積，曲邊圖形的面積就迎刃而解了，因為我們可以通過相互垂直的直線將曲邊圖形分割成若干個曲邊梯形，這樣會使得問題直觀化和簡單化，也使學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容有感官上的認(rèn)識，使枯燥的數(shù)學(xué)問題顯得更親切。要解決所提出的問題，關(guān)鍵點在于如何處理曲邊梯形中的這條曲線。如果這條曲線是直線，那由矩形的面積公式就可以得到，而現(xiàn)在是曲線，當(dāng)然不能用公式。接下來，請同學(xué)們留意窗格外部形態(tài)特點及引導(dǎo)學(xué)生思考矩形與曲邊梯形的本質(zhì)區(qū)別在哪里，抓住問題的核心，啟發(fā)學(xué)生思考。經(jīng)過學(xué)生認(rèn)真討論，總結(jié)為這條曲線是連續(xù)的，由連續(xù)函數(shù)的定義可知曲邊梯形的高f（x）在很小的一段區(qū)間上變化是微小的，幾乎不變。因此把曲邊梯形分割成許多個窄曲邊梯形，用這些窄曲邊梯形的面積和近似代替曲邊梯形的面積，當(dāng)然誤差一直存在，用什么方法可以使誤差盡量減?。看藭r需要多媒體動態(tài)展示分割越來越多就越接近準(zhǔn)確值的過程，從而引出極限的思想。探究問題的設(shè)計過程中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常用的以簡單的圖形逼近復(fù)雜的圖形的思想，為學(xué)習(xí)多重積分奠定基礎(chǔ)。

（三）? 解決問題

根據(jù)上一節(jié)討論的結(jié)果，借助于PPT演示每一步動畫，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受無限逼近過程的同時，繼續(xù)思考如何用數(shù)學(xué)語言表述每一步的分析過程。分為四步：分割→近似代替→求和→取極限（圖4）。

這里需要學(xué)生注意兩點：一是乘積和式本身雖然與兩個“任意”有關(guān)，但是乘積和式的極限值與兩個“任意”是無關(guān)的；二是在取極限時要保證無限細(xì)分，就是要讓每個小區(qū)間都要無限縮小，使得當(dāng)n→∞時，不僅把區(qū)間[a，b]分得無限多，而且還要讓每個小區(qū)間長度？駐xi無限小。通過逐步層層推導(dǎo)，得出曲邊梯形的面積。常言道“冰凍三尺，非一日之寒；滴水穿石，非一日之功”。無限細(xì)分，積“小”成多，積沙成塔，最終使得窄矩形的面積和無限逼近曲邊梯形的面積。這種由量變引起質(zhì)變的過程蘊含著由量變到質(zhì)變的辯證關(guān)系。

求曲邊梯形的面積屬于幾何問題，實際上，不均勻密度的細(xì)棒質(zhì)量、變速直線運動的路程、旋轉(zhuǎn)體的體積、變力沿直線所做的功、物體的引力、液體的壓力、剛體的轉(zhuǎn)動問題、風(fēng)險利潤和投資決策等問題都可歸結(jié)為這樣一個特殊乘積和式的極限。這些問題背景完全不同，但是在處理問題上有很多共性，引導(dǎo)學(xué)生分組討論歸納總結(jié)得出共性，首先所要求的量都對區(qū)間具有可加性；其次解決這類問題的方法與步驟完全相同，都是通過這四步得到，分割是為了近似代替，求和是為了取極限得到精確值；最后就是所求的量的極限結(jié)構(gòu)式是相同的，都是特殊乘積和式的極限。那么我們拋去所有背景，把這些共性抽象為一個一般的數(shù)學(xué)概念，即定積分的概念，也稱黎曼積分。結(jié)合四步解決問題的過程板書概念，對定積分的記號進行說明，那么曲邊梯形的面積就可表示為

在定積分的定義中，兩個“任意性”學(xué)生不容易理解，一是小區(qū)間分割的任意性，二是小區(qū)間取點的任意性。若定義中的任意性減少一個，或分割為等分時小區(qū)間內(nèi)取點的任意性，或者保留分割的任意性而小區(qū)間內(nèi)取點全部為小區(qū)間左或右端點，就會給出定積分的兩個等價定義[8]。另外，對于定積分定義，討論較多的是如何利用定積分的定義探討極限問題，也是考研和參加競賽的同學(xué)必須掌握的內(nèi)容。將[a，b]等分，取？孜i為每個小區(qū)間的端點，則

掌握定義的同時也要讓學(xué)生深入理解定積分思想方法的精髓。概念中蘊含了四步深厚的數(shù)學(xué)思想，其中“化整為零，積零為整”背后的哲學(xué)思想記錄著新中國的崛起，中國自20世紀(jì)50年代起，每五年繪制一份五年計劃，對國民經(jīng)濟和社會發(fā)展做出規(guī)劃。從“一五”到“十四五”一以貫之的目標(biāo)就是實現(xiàn)現(xiàn)代化，五年一小步，積小勝為大勝，積跬步而至千里，從量變到質(zhì)變，每一個五年都是在中國特色社會主義道路路標(biāo)的向?qū)虑斑M的，都是向強國夢漸進的行軍，愿同學(xué)們?yōu)閷崿F(xiàn)中國夢努力奮斗、勤奮學(xué)習(xí)，而我們學(xué)習(xí)的過程就是在求解曲邊梯形的面積的過程。每一天認(rèn)認(rèn)真真地努力便構(gòu)成學(xué)習(xí)的小梯形，最終構(gòu)成自我成長的大梯形。如今，“十四五”規(guī)劃必將帶領(lǐng)我們向著社會主義現(xiàn)代化強國和更具有幸福感的未來邁進。

（四）? 應(yīng)用概念

定積分概念可以說是高等數(shù)學(xué)課程中最經(jīng)典的定義，是后繼學(xué)習(xí)多重積分、曲線、曲面積分概念的鋪墊。概念本身具有計算的技巧性和高度的抽象性，是學(xué)生最不容易理解的概念之一?？此瞥橄蟮臄?shù)學(xué)概念，其實都有實際背景，使得教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)在講授的過程中遇到各種困難。為解決實際問題，學(xué)生根據(jù)客觀現(xiàn)象對知識進行凝練，將客觀規(guī)律濃縮到定積分的概念中，體會概念中化整為零、以直代曲、積零為整和無限逼近的數(shù)學(xué)思想過程。最后應(yīng)用概念解決經(jīng)濟學(xué)中的收益問題，如假設(shè)商品的價格P是銷售量x的函數(shù)P=P（x），計算當(dāng)銷售量從a到b時的收益為多少？（設(shè)x為連續(xù)變量）。學(xué)生探索利用定積分的概念解決問題。鼓勵學(xué)生課后搜集更多關(guān)于定積分概念的其他案例，認(rèn)真學(xué)習(xí)文化知識，學(xué)以致用，增加學(xué)生的社會責(zé)任感。

至此，我們已經(jīng)會用定積分的概念來解決實際問題，那么再回到一開始提出的問題，如何計算窯洞拱形窗格的準(zhǔn)確面積？由實際的測量數(shù)據(jù)可知，如圖5所示。

如果直接利用定義去計算，學(xué)生會遇到什么困難？這也正是下節(jié)課要講的知識點微積分的基本公式——牛頓-萊布尼茨公式。并指出概念是從客觀現(xiàn)象中抽象出來的，蘊涵著唯物辯證的哲學(xué)思想。體會積分思想中量變與質(zhì)變的關(guān)系，學(xué)會處理非均勻分布總量的問題，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)價值觀和鉆研精神，感受數(shù)學(xué)的妙用，激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)中思考數(shù)學(xué)的熱情。

三? 課程思政融入高等數(shù)學(xué)的實施方法

理工類課程開展課程思政是“育人”這一教育本質(zhì)對課程的內(nèi)在需求，是新時代中國語境下的“課程觀”，聚焦的是學(xué)生情感、態(tài)度、價值觀的變化成長。因此，本文根據(jù)理工類課程的特點，針對經(jīng)管類學(xué)生的特性，從教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式和教學(xué)情感等方面挖掘思政元素，探尋切入點，以高等數(shù)學(xué)定積分的概念為例，確立課程思政目標(biāo)；設(shè)計教學(xué)過程，尋求“潤物無聲”的思政實施方法；對于不同專業(yè)不同課程，構(gòu)建典型思政案例，依托教學(xué)研究活動，形成課程思政研討的和諧氛圍，將成功的思政案例進行推廣并實踐。

事實上，在理工類課程中，很多課堂中的細(xì)節(jié)也體現(xiàn)著思政。例如，在遇到難題時研討、質(zhì)疑、辯論，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的縝密，小心求證的謹(jǐn)慎等都是思政元素融入的契機。而且，在很多文獻中，教師都提及了思政素材的準(zhǔn)備，包括歷史任務(wù)、文化傳承、歷史沿革、社會時事、行業(yè)現(xiàn)狀及前沿發(fā)展等，這些都是教師在教學(xué)準(zhǔn)備中需要時常探索的思政素材。很多課程的思政案例文獻還明確指出了思政素材與教學(xué)內(nèi)容之間的對應(yīng)關(guān)系，并寫入教學(xué)大綱。思政素材準(zhǔn)備可以讓思政隨時發(fā)生，而不僅僅是在課程或單元開始。

思政融入課程的關(guān)鍵在于恰到好處地把握融入的時機。事先準(zhǔn)備好的思政教學(xué)設(shè)計，優(yōu)點在于教師容易進行課堂把控，但不恰當(dāng)設(shè)計往往使思政在教學(xué)中變得過于顯眼和生硬。因此，思政融入的另一條途徑是學(xué)生主動，即準(zhǔn)備好素材，因課堂而變。教師可以在回答學(xué)生問題、解決學(xué)生困難或在學(xué)生提出質(zhì)疑時巧妙的融入。例如，在本節(jié)內(nèi)容中，學(xué)生會質(zhì)疑為什么不用窄梯形的面積作近似代替呢？教師試問：用窄梯形代替后，無限細(xì)分的極限表達式如何表示？是不是更為復(fù)雜？這種以學(xué)生為主動的思政方式，看似帶有隨機性，但又有必然性，其優(yōu)點在于讓思政變得順理成章、潤物無聲。

參考文獻：

[1] 教育部辦公廳關(guān)于開展課程思政示范項目建設(shè)工作的通知[EB/OL].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A08/s7056/202103/t20210 322_521681.html.

[2] 高德毅，宗愛東.從思政課程到課程思政：從戰(zhàn)略高度構(gòu)建高校思想政治教育課程體系[J].中國高等教育，2017（1）：43-46.

[3] 孫華.探索教師教學(xué)發(fā)展的前沿：國際高校教與學(xué)的對話[M].北京：北京出版社，2020.

[4] 潘璐璐，徐根玖，臺炳龍，等.理工類課程實踐課程思政的邏輯及方法——以高等數(shù)學(xué)函數(shù)曲線的凹凸性為例[J].高等數(shù)學(xué)研究，2020，23（1）：22-25，50.

[5] 李洪亮，裴慧麗.定積分概念教學(xué)方法思考[J].教育進展，2020，10（2）：120-124.

[6] 李媛媛.“課程思政”理念融入高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的策略探究[J]產(chǎn)業(yè)與科技論壇，2022，21（4）：145-146.

[7] 全家悅.用好紅色資源，賡續(xù)紅色血脈[N].陜西日報，2021-09-24（1）.

[8] 王燁，李雨生，卜長江.定積分定義中的兩個任意性[J].高等數(shù)學(xué)研究，2021，24（6）：9-11，25.

基金項目：陜西本科和高等繼續(xù)教育教學(xué)改革研究項目“推進產(chǎn)教融合，創(chuàng)新實踐教學(xué)——應(yīng)用型統(tǒng)計分析與量化決策人才培養(yǎng)的探索與實踐”（21ZY013）；榆林市軟件工程技術(shù)研究中心建設(shè)項目 “糊聚類分析算法在榆林市政務(wù)、智慧監(jiān)察大數(shù)據(jù)平臺構(gòu)建的應(yīng)用研究”（CXY-2020-007）；榆林學(xué)院2021年課程思政教學(xué)團隊示范項目“高等數(shù)學(xué)”（KCSZ04）

第一作者簡介：李曉焱（1984-），女，漢族，陜西榆林人，碩士，副教授。研究方向為幾何函數(shù)論。