單元整體視角下的問題鏈教學(xué)實踐與思考

摘? 要：數(shù)學(xué)教學(xué)要重視單元整體結(jié)構(gòu)，強調(diào)知識的邏輯連貫，加強學(xué)習(xí)理論指導(dǎo)，增強數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 文章以“中點四邊形的探究”為例，就如何進行單元整體視角下的問題鏈教學(xué)進行簡要介紹.

關(guān)鍵詞：單元整體；問題鏈；中點四邊形

作者簡介：胡柳青（1973— ），男，高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與解題研究.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》在“教學(xué)建議”中指出，在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系，改變過于注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計，推進單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián).《浙江省初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求（2021版）》中指出，提倡開展基于核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計，在全章、單元整體基礎(chǔ)上進行課時教學(xué)設(shè)計，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 課時教學(xué)對于把握與優(yōu)化課堂活動進程具有重要意義，但是也存在如下不足：易使知識割裂，無法形成知識鏈和結(jié)構(gòu)體系；過于重視知識技能，缺乏對情感態(tài)度的關(guān)注，難以提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)；易拘泥具體內(nèi)容“就課論課”，忽視教學(xué)整體“高屋建瓴”. 單元整體教學(xué)倡導(dǎo)將學(xué)習(xí)內(nèi)容置于整體結(jié)構(gòu)之中，更多關(guān)注內(nèi)容的本質(zhì)、蘊含的思想及素養(yǎng)的提升，對于避免教師過于關(guān)注具體知識，拓寬教學(xué)視野和提升教學(xué)效率等具有重要作用. 現(xiàn)以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“浙教版教材”）“中點四邊形的探究”一課為例，談?wù)劰P者對運用問題鏈進行單元整體視角下的教學(xué)的實踐與思考.

一、背景介紹

中點四邊形是對初中階段四邊形知識的拓展，對其進行探究，既是對所學(xué)平行四邊形（包括特殊平行四邊形）內(nèi)容的提升，也是對三角形中位線性質(zhì)的鞏固. 在常規(guī)教學(xué)中，教師更多關(guān)注如何引導(dǎo)、學(xué)生能否理解，目標聚焦在中點四邊形問題的解決，以及進一步掌握特殊四邊形的性質(zhì)與判定，而對于“中點四邊形是如何產(chǎn)生的，為什么要研究，中點四邊形是如何變化和發(fā)展的，怎樣去研究，如何通過中點四邊形讓學(xué)生體會和掌握研究幾何圖形的方法和策略，應(yīng)該研究什么”這些隱含在學(xué)習(xí)過程中尤為重要的方法經(jīng)驗，無法得以充分體現(xiàn). 學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)了解了三角形與四邊形，在七年級和八年級上學(xué)期學(xué)習(xí)了平行線、三角形（特殊三角形）和全等三角形等知識，已經(jīng)具備了一定的幾何直觀和邏輯推理能力，但演繹和歸納、類比推理等能力還有所欠缺，通過幾何直觀來發(fā)現(xiàn)和提出問題、歸納和形成猜想等能力也亟須加強.

二、教材分析

中點四邊形內(nèi)容散見于浙教版教材第四章“平行四邊形”和第五章“特殊平行四邊形”. 在“4.5 三角形的中位線”一課安排例題證明一般四邊形的中點四邊形為平行四邊形（第99頁）；在“5.1 矩形”（第1課時）安排動手操作，在兩條對角線互相垂直的四邊形紙板中剪出矩形（第116頁）；在“5.2 菱形”（第2課時）要求探究三角形的兩條中位線與三角形的兩條邊所圍成的四邊形的形狀（第122頁），并在作業(yè)題中要求證明兩條對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形（第123頁）；最后，在“5.3 正方形”作業(yè)題中要求證明順次連接正方形四條邊上特殊位置的四個點構(gòu)成正方形. 以上內(nèi)容中包括例題、練習(xí)題、活動探究、動手操作，聚焦中位線，又不囿于中位線，從特殊到一般、從一般到特殊，形式多樣、內(nèi)容豐富，是很好的學(xué)習(xí)材料. 但是，由于學(xué)習(xí)內(nèi)容的時間跨度較大，學(xué)生對知識的整體結(jié)構(gòu)較難把握. 因此，將上述內(nèi)容整合為主題探究成為可能，也勢在必行.

三、教學(xué)設(shè)計

1. 教學(xué)目標

本節(jié)課的教學(xué)目標設(shè)置如下.

（1）通過對中點四邊形的探究，鞏固三角形中位線和特殊四邊形的性質(zhì)、判定，發(fā)展學(xué)生的合情推理和演繹推理能力.

（2）經(jīng)歷畫圖、猜測、驗證、歸納等活動，體會和掌握研究幾何圖形的方法和策略，感受聯(lián)想、分類、類比等數(shù)學(xué)思想.

（3）利用中點四邊形解決問題，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)、樂于思考、勇于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2. 教學(xué)過程

（1）課題引入.

如圖1，順次連接△ABC各邊中點所得的△DEF叫做“中點三角形”. 它有什么特征？說說你的認識.

思考1：在圖1中，取DF，F(xiàn)E，ED的中點，得到新的中點三角形（如圖2），繼續(xù)取中點（如圖3），所得中點三角形與原三角形有什么聯(lián)系？

思考2：若將圖1中的△ABC變?yōu)樘厥馊切?，如等腰（直角）三角形，所得中點三角形與原三角形有什么聯(lián)系？

思考3：若F，E，D分別是△ABC三邊的三等分點（如圖4）、四等分點（如圖5）……，則△FED在形狀、周長、面積等方面與△ABC有什么聯(lián)系？

思考4：若將三角形變?yōu)樗倪呅?、五邊形……時，所得中點多邊形在形狀、周長、面積等方面與原多邊形有什么聯(lián)系？

師生共同確定研究方向：選擇中點四邊形進行研究，探索中點四邊形與原四邊形的聯(lián)系.

【設(shè)計意圖】上課伊始，教師有意避開中位線問題，從知識整體結(jié)構(gòu)入手，補充中點四邊形的上位概念——中點三角形，引發(fā)學(xué)生思考，并得出若干想法，因勢利導(dǎo)選取研究主題——中點四邊形. 這既為課堂的探究作了鋪墊，也符合幾何學(xué)習(xí)的一般過程，即先給出定義，再研究性質(zhì)、判定，最后應(yīng)用拓展. 如此處理，突出了學(xué)習(xí)目標的自然形成過程，提升了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.

（2）活動探究.

類比中點三角形，順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形叫做“中點四邊形”. 對于中點四邊形，你覺得有哪些方面需要研究？

探究1：想象任意四邊形的中點四邊形是什么圖形？想象有困難的話，可以嘗試畫出一般四邊形的中點四邊形，并觀察其形狀.

針對探究1，教師提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生思考.

問題1：如圖6，任意四邊形的中點四邊形是什么形狀的四邊形？如何證明？

問題2：中點四邊形與原四邊形是如何建立聯(lián)系的？

問題3：上述過程中，你是如何開展探索的？

【設(shè)計意圖】探究1的3個問題層層深入. 問題1強調(diào)知識的獲得，問題2強調(diào)本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，問題3是活動經(jīng)驗的總結(jié). 師生共同歸納得到“想象—畫圖—觀察—猜想—驗證—歸納”的幾何研究的一般方法. 顯性化的是知識的獲取、本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，更重要的是其中蘊含的數(shù)學(xué)思想和研究方法.

探究2：我們知道任意四邊形的中點四邊形一定是平行四邊形. 對此，你還有其他想要研究的問題嗎？

針對探究2，師生共同總結(jié)以下幾個思考方向.

思考1：由中點四邊形想到中點多邊形，中點多邊形在形狀、周長、面積等方面和原多邊形是否存在聯(lián)系？

思考2：由中點四邊形想到中點特殊四邊形，原四邊形為特殊四邊形時，其中點四邊形是否為特殊四邊形？

思考3：逆向思考，當中點四邊形為特殊四邊形時，原四邊形會是什么樣的四邊形？

師生共同確定研究方向：從一般到特殊，特殊四邊形的中點四邊形有何特征？反之，中點四邊形是特殊四邊形時，原四邊形又有什么特征？

針對以上研究方向，教師提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生思考.

問題1：嘗試運用“想象—畫圖—觀察—猜想—驗證—歸納”的研究思路，探究原四邊形分別是平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形時，其中點四邊形分別是什么四邊形？填寫表1.

[一般四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 中點四邊形 ][表1]

問題2：原四邊形為矩形和等腰梯形時，其中點四邊形均為菱形. 對此，你有什么想法？中點四邊形為菱形時，原四邊形一定為矩形或等腰梯形嗎？

問題3：你能畫出一個不是菱形的四邊形，使得其中點四邊形是矩形嗎？中點四邊形是特殊四邊形時，探究原四邊形需滿足什么條件，填寫表2.

[中點四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 原四邊形 ][表2]

問題4：如圖7和圖8，你能運用其他方法來說明矩形（菱形）的中點四邊形是菱形（矩形）嗎？

【設(shè)計意圖】以上探究過程中，關(guān)注對象不同，理解角度不同，解決方法不同. 思考1是從特殊到一般，思考2是從一般到特殊，思考3是逆向思考，強調(diào)思維的深刻與變通. 問題1 ～ 3的解決，旨在提醒學(xué)生不能被事物的表面所迷惑，要透過現(xiàn)象明晰本質(zhì)，即決定中點四邊形形狀的是原四邊形對角線的數(shù)量與位置關(guān)系. 對于問題4的解決思路，學(xué)生是容易想到的，轉(zhuǎn)換視角，回到矩形（菱形），利用勾股定理、三角形全等、等腰三角形等知識解決問題，強調(diào)知識學(xué)習(xí)的完備性和思維方法的多樣性. 教師要關(guān)注解法的自然生成，讓學(xué)生充分表達觀點和想法，主動且富有個性地學(xué)習(xí).

探究3：與三角形相比較，四邊形中還有兩條特殊線段——對角線. 如果將對角線的中點納入研究范疇，你會如何思考？

針對探究3，師生共同確定以下幾個思考方向.

思考1：在四邊形中，取各邊和對角線中點，可以得到6個中點，這些中點可以構(gòu)成多少個中點三角形、中點四邊形？你覺得哪些圖形有研究價值？

思考2：對于這些中點多邊形，你認為該如何進行研究？研究什么？

師生共同確定研究方向：依照上述方法，研究含對角線中點的中點四邊形形狀與原四邊形的聯(lián)系.

針對以上研究方向，教師提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生思考.

問題1：如圖9，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是各邊和對角線的中點，可得到多少個中點平行四邊形？

問題2：如圖10，四邊形EQGP是平行四邊形嗎？你認為原四邊形滿足何種條件時，四邊形EQGP是菱形（矩形）？中點四邊形EQGP是否一定存在？原四邊形有何特征時，它不存在？

問題3：如圖11，對于中點四邊形HPFQ可以研究什么？說說你的想法.

【設(shè)計意圖】探究3的設(shè)計基于如下考慮. 第一，繼續(xù)滲透研究方法，首先研究圖形的基本元素，如邊和角，其次研究由邊角生成的新元素，如三角形的“四線”、四邊形的對角線等. 因此，研究四邊中點后，自然要研究對角線中點. 第二，從知識理解角度而言，學(xué)生雖然已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和掌握了中點四邊形的有關(guān)性質(zhì)，但是仍然需要教師為學(xué)生創(chuàng)造落實“四基”、提高“四能”的機會，通過一題多法、多題化一，使學(xué)生理解問題的本質(zhì)，提升學(xué)習(xí)能力.

探究4：上述研究中，我們利用中位線及特殊平行四邊形的性質(zhì)解決了中點四邊形問題. 我們還在一次函數(shù)中研究過平行線，能否將中點四邊形放到平面直角坐標系中研究？

思考1：對于線段中點，你有哪些認識？知道線段兩個端點的坐標，你能否表示出它中點的坐標？

思考2：對于“兩直線平行”，你有哪些認識？能否利用直線上的兩點坐標求出直線解析式？若兩直線平行（或垂直），其解析式之間有什么聯(lián)系？

思考3：對于一般四邊形的中點四邊形形狀，能得到哪些結(jié)論？你可以證明嗎？你能判斷矩形（菱形）的中點四邊形的形狀并證明嗎？

師生共同確定研究方向：嘗試構(gòu)建平面直角坐標系，求出相應(yīng)直線的表達式（線段長度），利用解析法解決上述問題.

問題1：對于圖6，以點B為坐標原點，建立如圖12所示的平面直角坐標系. 設(shè)點A（a，b），D（c，d），C（e，0），求出中點E，F(xiàn)，G，H的坐標，并求出相應(yīng)的直線解析式. 你發(fā)現(xiàn)了什么？

問題2：對于如圖7所示的矩形（如圖8所示的菱形），你會建立怎樣的平面直角坐標系并進行類似的研究？

【設(shè)計意圖】探究4的角度更加獨特，引導(dǎo)學(xué)生通過建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼当硎境鲋悬c坐標，利用待定系數(shù)法求得相應(yīng)直線的解析式，最后通過斜率相同（或乘積為-1）得出兩直線平行（或垂直）；利用兩點間線段長度公式得出對應(yīng)線段相等，從而確定中點四邊形形狀. 該過程引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何走向解析幾何，從不同角度看待問題，對于拓寬學(xué)生的視野、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有裨益.

（3）回顧總結(jié).

回顧探究歷程，說說你對中點四邊形的認識，嘗試總結(jié)應(yīng)該如何進行幾何圖形的研究.

問題：今天我們研究了中點四邊形，你可以通過如下幾個方面進行總結(jié)：① 我的收獲：數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)問題研究方法；② 我的困惑；③ 我的想法.

師生歸納小結(jié)，得到圖13、表3和表4.

【設(shè)計意圖】回顧、歸納本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，重點關(guān)注知識、方法和經(jīng)驗. 知識是學(xué)習(xí)的載體，方法和經(jīng)驗是本質(zhì)所在. 將小結(jié)設(shè)計成“數(shù)學(xué)日記”的形式，視時間情況也可以讓學(xué)生在課后完成，給學(xué)生充分思考、交流和總結(jié)的時間和空間.

（4）拓展引申.

問題1：觀察圖14 ～ 16，中點多邊形和原多邊形在周長、面積方面是否存在聯(lián)系？

學(xué)生提出猜想，教師運用幾何畫板軟件探索，并將結(jié)果用恰當方式表示出來.

問題2：本節(jié)課探究中點四邊形時利用了三角形中位線. 那么，這些圖形之間是否有一定的聯(lián)系呢？

教師利用幾何畫板軟件拖動四邊形頂點P，得到如下圖形：圖17和圖18是本節(jié)課研究的中點四邊形；圖19是三角形的中位線；圖20和圖21是兩種新圖形.

問題3：想象一下，若點P運動到與△ABC不在同一平面的某個位置上（如圖22），中點四邊形還存在嗎？會是平行四邊形、矩形、菱形嗎？

問題4：如圖23，如果是長方體，連接棱的中點（各面中心），又會產(chǎn)生哪些有趣的圖形和結(jié)論？你能運用今天所學(xué)的方法研究它們嗎？

【設(shè)計意圖】將問題“串”起來，讓學(xué)生帶著問題走進課堂，帶著更多問題走出課堂. 對于問題1，讓學(xué)生從多個維度研究中點四邊形，角度更加完整，拓寬學(xué)生視野. 通過問題2引導(dǎo)學(xué)生從二維平面到一維線段再到三維立體，深入對中點四邊形的研究，掌握知識本質(zhì). 學(xué)生通過深度、廣度研究，全面認識猜想或發(fā)現(xiàn)，生成新問題、獲得新發(fā)現(xiàn)、帶來新思考，走向“思考—發(fā)現(xiàn)—研究—解決—再思考—再發(fā)現(xiàn)—再研究—再解決……”的研究之路.

四、教學(xué)反思

1. 單元整體視角下的問題鏈教學(xué)，把握內(nèi)容，思“課”之整體

數(shù)學(xué)知識具有嚴謹?shù)慕Y(jié)構(gòu)體系和學(xué)習(xí)程序. 受學(xué)生認知水平限制，教材內(nèi)容編排有時會將數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)打亂重組，即所謂的螺旋式上升. 但學(xué)生可能會窺一斑而不知全豹. 教師需要弄清楚知識在數(shù)學(xué)體系中的地位與作用，領(lǐng)悟教材編寫線索與意圖，關(guān)注對教材內(nèi)容的拓展與延伸，將散布于教材中“具有關(guān)聯(lián)性”的知識點進行串聯(lián)、整合、重構(gòu)，形成相對完整的教學(xué)單元，實現(xiàn)單元教學(xué)上接下聯(lián)、貫通學(xué)科素養(yǎng)與課時目標的承上啟下的作用. 本節(jié)課將浙教版教材第四章和第五章中有關(guān)中點四邊形的內(nèi)容整合在一起，從三角形中位線開始，研究一般四邊形、平行四邊形（特殊平行四邊形）的中點四邊形形狀與本質(zhì)，適時拓展延伸，從平面幾何到解析幾何，從二維到一維再到三維，有效避免知識碎片化，讓學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)知識的整體認知，以及幾何圖形研究的一般方法與經(jīng)驗.

2. 單元整體視角下的問題鏈教學(xué)，精練于例題，思“題”之深廣

初中階段的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該有一定的廣度和深度. 廣度體現(xiàn)知識容量與范圍，深度表現(xiàn)數(shù)學(xué)思想與方法. 單元整體視角下的問題鏈教學(xué)中，學(xué)生對知識的掌握、方法的提升、思想的領(lǐng)悟都凝聚于例、習(xí)題中. 首先，例題中蘊含的知識要素是主干知識和重要思想，不要旁逸斜出、主次不分；其次，例題中隱含的知識含量充足，可以適當拓展，進行豐富和必要的發(fā)散與提升；最后，例題中包含的知識種類豐富，既有基礎(chǔ)知識、基本技能，又有基本思想方法和基本活動經(jīng)驗. 教學(xué)中，教師要對所選例、習(xí)題精細打磨，關(guān)聯(lián)教學(xué)目標，強化核心思想，保證最終解決的問題具有很高的價值. 本節(jié)課從最基礎(chǔ)的問題開始探究，先研究一般四邊形的中點四邊形，然后將其特殊化為矩形（菱形、正方形），又一般化到關(guān)注形成本質(zhì)（對角線的位置與數(shù)量關(guān)系），接著從靜到動，從平面到立體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷想象、畫圖、觀察、猜測、驗證、歸納、拓展的過程，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進的問題鏈引發(fā)學(xué)生持續(xù)思考，不斷激活具體經(jīng)驗，達成對知識與方法的深度理解.

3. 單元整體視角下的問題鏈教學(xué)，得法于學(xué)習(xí)，觀“教”之本色

數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生的學(xué)與教師的教的有效統(tǒng)一. 單元整體視角下的問題鏈教學(xué)強調(diào)“學(xué)生之本位”，還“課堂之本色”. 學(xué)生是數(shù)學(xué)活動的主體，教師通過創(chuàng)設(shè)問題鏈引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)、探究、交流、歸納，有效梳理知識與方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 在教學(xué)中，教師還可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生參與變式、編題，提出一些富有探究價值的問題，使得其對知識的理解更為全面、更加透徹，讓不同層次的學(xué)生有不同程度的理解，讓個性相異的學(xué)生表達獨特的思考路徑，讓學(xué)生的疑惑引發(fā)教師思考，將被動灌輸轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃犹骄? 本節(jié)課中，通過創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生充分思考，師生共同確定研究方向，經(jīng)歷了類比、猜想、驗證、推理、引申的過程. 在這個過程中，問題是學(xué)生自己提出的，研究路徑是學(xué)生自己設(shè)計的，結(jié)論是學(xué)生自己探索的，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是如此有趣、有用，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是如此有成就感. 唯有如此，才能讓核心知識的教學(xué)和重要思想的培養(yǎng)落到實處，才能真正激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)創(chuàng)新意識，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

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