指向初中生模型觀念培養(yǎng)的教學實踐與反思

朱宸材　茅莉萍　徐芷筠

【摘 要】數學建模是數學與現實世界聯系的基本途徑，模型觀念的培養(yǎng)則是數學建模在初中階段的具體目標。本文通過對模型觀念的描述，得出初中階段模型觀念的四個主要表現和模型觀念培養(yǎng)中存在的三大主要問題，接著從三個“理解”的視角構建初中生模型觀念培養(yǎng)的路徑與方法，最后通過教學設計完整呈現從具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立一次函數、一元一次方程、一元一次不等式的數學模型，研究數學問題中的數與形的關系和變化規(guī)律的過程，為有效培養(yǎng)初中生的模型觀念做出有益的嘗試與實踐。

【關鍵詞】模型觀念；數學建模；核心素養(yǎng)

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）對模型觀念有如下說明：“模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識。知道數學建模是數學與現實聯系的基本途徑；初步感知數學建模的基本過程，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。”［1］10具體而言，初中階段模型觀念的主要表現包含以下四個方面：（1）在方程（不等式）、函數等概念的形成過程中感悟模型思想；（2）能夠選擇適當的方程、不等式或者函數模型解決簡單的實際問題；（3）經歷現實情境中提出問題，選擇合適的模型嘗試解決問題的過程，感悟數學建模的思想方法；（4）在跨學科綜合實踐中運用數學知識與方法，構建模型解決跨學科類問題。［2］

對比模型觀念的主要表現，筆者發(fā)現現今學生模型觀念的培養(yǎng)存在如下問題：（1）知識之間缺乏內在關聯，知識形成、發(fā)展過程中的邏輯關系缺失，沒有形成完整的知識鏈條和結構體系，缺乏對數學知識結構體系的整體把握，難以促使學生模型觀念的真正形成和發(fā)展［3］；（2）缺乏對模型觀念產生原理的分析與理解，缺乏對學習活動的整體規(guī)劃與統籌設計，缺乏對學生認知的學情調查和研究分析，導致學生難以形成穩(wěn)定的模型觀念，教與學的過程浮于表面；（3）脫離生活經驗，忽視研究知識的路徑與方法經驗的積累，模型觀念的培養(yǎng)缺乏清晰的落地舉措和實施路徑。本文正是基于《標準》，試圖解決上述問題而進行的研究嘗試。

一、理解數學，剖析實際問題是基礎

初中階段，模型觀念所面對的實際問題可分為三類——現實原型、實際模型、數學形式。［4］真實的實際問題屬于現實原型；將現實原型進行修改和簡化，形成比較精確和簡潔的表達，稱為實際模型；將實際模型進一步簡化、架設，用數學符號表達實際模型中的變量和關系，則形成數學形式。模型觀念的培養(yǎng)應立足“四基”，指向學科核心素養(yǎng)。教師要在理解數學的基礎上揭示教學內容的本質，挖掘其內在的數學思想方法，明確教學內容在整個單元及數學體系中所處的地位和作用，在培養(yǎng)模型觀念的同時實現學科育人的目標。

1.教學內容與知識結構圖

函數、方程和不等式是人們刻畫現實世界的重要數學模型。通過函數視角再次審視一元一次方程、一元一次不等式，有利于學生形成三個“一次”的整體觀念，加強關聯知識間更深入的比較研究，加強對原有知識（一元一次方程、一元一次不等式）的理解，并且能從函數的角度將三者進行統一，將知識進行橫向與縱向的有效貫通，建立循環(huán)關聯。另外，從方程到不等式再到函數，經歷了數學化的過程，這也是初中階段形成和發(fā)展模型觀念的有效路徑。三個“一次”的探究對發(fā)展學生模型思想和數學建模能力具有重要的意義，也為后續(xù)高中階段的二次函數、解一元二次不等式的學習做了鋪墊和準備。一次函數、一元一次方程和一元一次不等式的知識結構如圖1所示。

2.教學流程解析

從代數的知識框架解析：從宏觀視角看，是從生活原型抽象出實際模型的三種形式（函數模型、方程模型、不等式模型）；從中觀視角看，學生已經學到一次函數的最后一節(jié)內容，了解一次函數的學習路徑；微觀角度則是研究一次函數、一元一次方程與一元一次不等式的關系，讓學生對初中代數內容產生整體的認知［5］。情境引入則可從學生物理課所用的彈簧入手，分別構建函數模型、方程模型及不等式模型來解決問題，同時從數的角度初步感受一次函數轉化為一元一次方程及一元一次不等式的條件。

根據以上思路展開問題設計，下文“教學過程”中問題1—3的設計是進一步讓學生從數的角度體會當一個變量的取值確定時一次函數可以轉化為一元一次方程，當一個變量的取值范圍確定時，一次函數轉化為一元一次不等式；問題4—6的設計則是讓學生從形的角度利用一次函數圖象去解決一元一次方程和一元一次不等式的問題，通過問題串的方式感悟數形結合的思想方法；例題與變式設計是為了讓學生能利用本節(jié)課所學知識在給定的數學背景下提出問題并解決問題；歸納小結是讓學生對本節(jié)課的數學思想方法有進一步理解，同時對所學知識進行發(fā)展性的思考；課后作業(yè)是讓學生學會用數學的眼光觀察生活，抓住模型研究的實質。

二、理解學生，建立認知基礎是關鍵

模型觀念的培養(yǎng)方式大致分為兩類：一類是在教學中經歷完整的數學建模過程，重點培養(yǎng)學生整體建模的能力，評價學生在全過程參與中的水平和等級，進行行為特征和水平等級的分類；另一類是根據學生的學情特點，設置片段式的教學任務，考查學生在各個環(huán)節(jié)中的表現。前者反映了數學建模的整體性，但操作難度較大；后者更適合日常的教學，教師可以根據學生的學情特點，制訂行之有效的培養(yǎng)方案，以點帶面地達到培養(yǎng)目標。

1.學情分析是模型觀念培養(yǎng)的前提

（1）學生的認知基礎

通過之前學習，學生從數的角度認識了一次函數和一元一次方程、一元一次不等式的關系，也從形的角度理解了一次函數和用數軸表示不等式解集的方法。本課將從形的角度再次引導學生體會一次函數圖象和一元一次方程、一元一次不等式的關系，進而通過函數的觀點來認識方程和不等式的內在關聯，通過函數的對應關系來建立數學模型，并進行研究與應用。

（2）學生的認知特點

初二學生的思維特點已經開始從直觀思維逐漸向抽象思維過渡，具備了一定的邏輯推理能力和概括歸納能力，在學習中更愿意嘗試動手實驗，產生了利用所學知識解決實際問題的意愿。因此，教師要在課堂中指導學生進行“動手做，動腦想，多合作，大膽猜，會驗證”的合作探究，幫助學生掌握探究學習的方法。因此，本課從問題情境出發(fā)，通過問答和交流的形式引導學生探究發(fā)現一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間的內在關聯，從形的角度出發(fā)建立數學模型解決對應問題，培養(yǎng)學生的模型觀念和創(chuàng)新意識［5］。

2.凝練教學過程是學生模型觀念培養(yǎng)的關鍵

（1）以觀察活動為抓手——讓學生初步形成模型觀念

通過觀察彈簧的伸展變化來激發(fā)學生的想象力，實驗操作掛重物的過程又加強了學生的感性認識，學生通過觀察、想象、實驗、計數、分析、作圖、歸納等過程，建立一次函數的數學模型，通過合作探究將函數模型逐漸過渡到一元一次方程和一元一次不等式的模型上，初步形成了本課涉及的三種基本模型，也將新知識納入已有的認知結構中。

（2）以思想方法為引領——讓學生領悟建模的精髓

數形結合思想是本節(jié)課的重要思想方法，但如果僅僅停留在形的角度研究問題顯然是不夠的?？梢試L試運用圖像法解方程和不等式，更重要的一點是本節(jié)課應站在更高的視角下，用函數觀點統領方程、不等式的研究過程，通過函數思想形成模型觀念。在教學中，應當把側重點放到模型觀念的培養(yǎng)上，數與形的研究作為輔助，通過問題串的設計和數學活動的開展，讓學生領悟數學建模的方法和精髓，提升數學核心素養(yǎng)。［3］

（3）以探索交流為形式——讓學生主動參與建模過程

探索是無聲的思維，交流是有聲的思考。新課改倡導學生在思考中合作，在合作中交流，在交流中體驗，在體驗中感悟。良好的氛圍可以促使學生積極參與課堂，只有主動參與其中，才能真正感受數學建模過程的真諦。數學建?；顒涌梢詫F實問題可視化，任務驅動具體化，探究活動有效化，歸納反思結構化，使學生不僅在大腦中體會數學建模的全過程，更能身臨其境地完整經歷數學建模的活動過程，從而有效提高學生的數學建模能力。

三、理解教學，課堂教學的有效實施是核心

1.課時教學目標

（1）通過探究彈簧秤稱物過程中彈簧的變化，體會一次函數、一元一次方程與一元一次不等式的內在聯系。

（2）了解一次函數、一元一次方程與一元一次不等式在解決問題過程中的作用和聯系。

（3）經歷實際問題的探究過程，初步形成模型觀念，發(fā)展邏輯推理的數學核心素養(yǎng)。

2.教學的重點和難點

（1）教學重點：通過彈簧秤的實例，初步體會一次函數、一元一次方程和一元一次不等式的內在聯系。

（2）教學難點：了解一元一次不等式與一元一次方程、一次函數在解決問題過程中的作用和聯系。

3.教學過程

（1）生活情境，激發(fā)興趣

【導入】教師提出現代社會通常用電子秤來稱量物體的質量，電子秤上的讀數會隨著物體質量的變化而變化，再往前有桿秤，一邊是秤砣，另一邊是盛物體的秤盤，利用的是杠桿原理，教師隨后提問還有什么秤。學生提到彈簧秤，即彈簧的一端固定，另一端掛物體，物體的質量和彈簧伸長的長度是有關系的。于是，教師順理成章地與學生共同研究彈簧秤的工作原理。

【實驗操作】教師在彈簧秤上先掛50g的砝碼，測量彈簧長度并記錄（5cm），再依次增加砝碼質量（每次增加50g的砝碼）并記錄彈簧的長度，得到相應的數據后，引導學生進行歸納，得出規(guī)律（胡克定律：在彈性限度內，物體的形變與引起形變的外力成正比）。

【設計意圖】從日常生活中的彈簧秤出發(fā)，引導學生對生活中的實際問題保持數學觀察與數學思考。

（2）知識整合，溫故知新

教師引導學生用學過的數學知識描述上述變化過程：每掛50g的物體，彈簧伸長1cm，如果把物體的質量設為x g，把彈簧的長度設為y cm，則得到函數表達式y=1/50x+4。

教師引導學生作圖，繪制表示彈簧長度和物體質量之間變化關系的圖象：y隨x的增大而增大，是一條經過（0，4）點的直線（如圖2）。

從圖2可以看出，隨著物體質量的不斷增大，彈簧的長度是不斷增長的。彈簧秤其實不是直接測量物體的質量，而是測量彈簧的長度，這就是彈簧秤的原理。

提問：你能不能通過測量彈簧的長度來確定所掛物體的質量？

【設計意圖】通過對彈簧秤原理的研究，引導學生經歷發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，從現實問題中理解函數是描述變量關系的模型；通過“彈簧掛物”中測量彈簧長度求物體質量的過程，引導學生從實際操作中理解方程是描述相等關系的模型，以及一元一次方程和一次函數之間的區(qū)別和聯系。

（3）學生活動，深入研究

學生活動：每人分別取未知質量的砝碼裝進小袋子，掛在彈簧秤上，請其他同學讀出彈簧的長度后，求物體的質量（袋子質量可忽略不計）。（教師以問題串的形式展開活動）

問題1：彈簧長度是10cm時，物體質量是多少？

問題2：請觀察，如何由一次函數得到一元一次方程？

問題3：在一次函數的圖象上，你能求出當彈簧長度為12cm時，彈簧所掛物體的質量嗎？在y=1/50x+4的函數圖象中，如何找到一元一次方程1/50x+4=12的解？

問題4：你能利用一次函數的圖象求出相應的一元一次方程的解嗎？

問題5：彈簧的長度是有限的，彈簧秤必須在彈簧的彈性限度內才能有效使用。這根彈簧最多能伸長到16cm，請問它最多能掛多少克的物體？你能用什么方法來解決這個問題？

歸納小結：為了研究彈簧秤的原理，我們得到了一次函數、一元一次方程和一元一次不等式，這就是我們今天學習的內容——一次函數、一元一次方程、一元一次不等式。

問題6：同學們，今天一起來研究這三者之間有什么關系。先來回想下，我們是怎樣得到這三個式子的？

學生通過小組研討，經歷數學活動后得到結論：從相等關系和不等關系中得出一元一次方程和一元一次不等式。當長度范圍小于等于16時，y≤16，有1/50x+4≤16，即在變化過程中，確定了一次函數兩個變量中某一個變量的范圍時，就有了一元一次不等式，求解不等式，解集是另一個變量的范圍。

問題7：x取何值時，函數y=2x+4的值是正數？

問題8：在一次函數的圖象上，當x取何值時，1/50x+4≤16？哪些點的縱坐標小于等于16，你能把它們描出來嗎？它們的橫坐標取值是多少？不等式的解集是多少？當x取何值時，1/50x+4≤8？

歸納小結：由已知的變量取值范圍，通過函數圖象求出另一個變量的取值范圍，即為不等式的解。從數的角度看，一次函數確定一個變量的范圍，可以轉化成不等式，進而求另一個變量的范圍。從形的角度看，可以利用一次函數圖象求得一元一次不等式的解。所以一次函數和一元一次不等式不僅有數的轉換，也有形的聯系。

【設計意圖】通過對彈簧秤量程的研究，從實際問題中理解不等式是描述不等關系的模型，以及一元一次不等式和一次函數之間的區(qū)別和聯系。教師引領學生親身體驗，充分活動，學以致用，感受三個“一次”在刻畫不同現實模型時的區(qū)別和聯系，引領學生從數和形兩方面對三個“一次”之間的聯系進行討論、研究，使學生深入了解三個“一次”在解決問題中的作用和聯系。

（4）應用練習，能力提升

例題：請你畫出y=2x+4的圖象，并根據圖象求2x+4=0，2x+4＞0，2x+4＜6的解。

變式1：y=kx+b（k≠0）的圖象如圖3所示，經過（-2，0）和（0，3），請你解方程kx+b=0和不等式kx+b＞0。

變式2：圖4是一次函數y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂的圖象，其中y₁=k₁x+b₁過點（-2，0）和點（0，4），y₂=k₂x+b₂過點（3，0）和點（0，4），解不等式k₁x+b₁＞k₂x+b₂。

【設計意圖】在例題與變式中，有用方程來解決函數問題的，也有利用函數圖象來解決方程、不等式的問題，引導學生感受函數圖象的直觀形象，便于學生從形的特征解決方程、不等式的問題，幫助學生在形與數之間建立對應與聯系。

（5）課后探索，學有所用

課后作業(yè)：請你利用彈簧自制一個彈簧秤，明確量程，在制作過程中，利用一次函數、一元一次方程、一元一次不等式解決問題。

【設計意圖】課后的探索活動讓學生把課堂所得的數學知識應用到現實生活中，經歷“生活—數學建?！睢钡膶W習流程，培養(yǎng)學生的數學建模思想，提高學生的數學學習能力和應用能力，引導他們在具體問題中應用數學基礎知識、基本方法和基本思想，積累基本活動經驗。

（6）歸納總結，知識建構

反思提升：學完這節(jié)課，你能說出一次函數、一元一次方程與一元一次不等式之間的聯系嗎？今后的學習中，你還想研究什么？（如其他函數、方程、不等式以及它們之間的關系）

【設計意圖】圍繞主干一次函數來找到三個“一次”之間的關系，可以讓學生進一步理解函數、方程、不等式之間的聯系和區(qū)別，也為后面三個“二次”的學習提供經驗和方法。

4.小結

本節(jié)課是蘇科版數學八年級上冊“一次函數”單元的最后一節(jié)課，學生學習了一次函數的概念、圖象性質及其在實際生產生活中的應用，具備了研究一次函數在數學知識體系內部的關聯的知識基礎。對比同類單元（八年級下冊“反比例函數”、九年級下冊“二次函數”“銳角三角函數”組成了初中階段的函數類單元）可以發(fā)現，這是同類單元的起始單元。教師在解讀教材時，不僅要注重本課的知識要點，還要挖掘、研究這些知識要點所經歷的研究過程和所采用的研究方法，為學生后續(xù)進行同類單元的研究、探索提供必要的數學活動經驗?；谕|單元的維度分析，函數單元的教學設計路徑與有關方程、不等式單元的設計一樣：從生活實例得到方程、不等式、函數；研究等式、不等式、函數的性質；用函數、方程、不等式等模型解決問題，重點關注學生模型觀念的培養(yǎng)。本節(jié)課與九年級下冊“二次函數與一元二次方程”、高中的“二次函數與一元二次方程、不等式”同屬重點關注學生的幾何直觀、模型觀念等數學核心素養(yǎng)的課。通過對比和分析得到結論，本節(jié)課是“一次函數”單元的最后一節(jié)課，是同類單元（初中函數大單元）的起始單元課，是同質單元的中間鏈接課（前有一元一次方程、一元一次不等式，后有一元二次方程、二次函數）。這樣特殊的地位，使其知識上和其他單元有關聯，方法上能向其他單元遷移，素養(yǎng)上和其他單元相呼應。值得一提的是，本課對于模型觀念培養(yǎng)的探索，整個過程可以看成是在教學過程中提供一種思維的突破方式，教師不僅需要引導學生積極敏銳地去發(fā)現問題條件與所求問題之間的關聯，還要鼓勵學生在已知的數學信息中找尋模型，并對不同解答進行探究、歸納、總結，最終形成對應的模型解題方法。由此可見，在平時的教學中，教師要有意識地給學生留足思考的時間與空間，促使學生積極思考。

在數學教學中，從具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立表示數學問題的模型和數量關系，再將現實問題簡化、架設、概括后抽象出實際模型的過程，培養(yǎng)了學生將現實問題數學化的能力，最終讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界［1］5-6。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］鮑建生，章建躍.數學核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現之七：模型觀念［J］.中國數學教育（初中版），2022（12）：3-8.

［3］朱宸材.點評：以核心素養(yǎng)為指向，充分發(fā)揮知識載體作用［J］.中學數學教學參考，2018（9）：18-20.

［4］孫凱.從問題類屬談初中生數學建模能力培養(yǎng)［J］.數學通報，2020（12）：30-33.

［5］孫凱.蘇科版初中數學教材中的數學建模內容分析［J］.中小學課堂教學研究，2022（8）：21-23，44.

（責任編輯：潘安）