數(shù)學(xué)優(yōu)化思想的培育：實(shí)踐展開(kāi)及可能路徑

劉師妤　劉祖希　周龍虎

特別策劃：新青年數(shù)學(xué)教師工作室專(zhuān)欄

【摘 要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效滲透優(yōu)化思想，培育學(xué)生的優(yōu)化思想一直是教育工作者的重點(diǎn)研究課題。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)的方向是優(yōu)化，優(yōu)化是重構(gòu)認(rèn)知體系、促進(jìn)深度理解的必然路徑。以培育學(xué)生數(shù)學(xué)優(yōu)化思想為旨趣的教學(xué)活動(dòng)需要數(shù)學(xué)問(wèn)題解決以及數(shù)學(xué)命題教學(xué)的現(xiàn)實(shí)觀照，并從中汲取經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐智慧。通過(guò)對(duì)優(yōu)化問(wèn)題的典例剖析，提出以優(yōu)化問(wèn)題為媒介，以素材積累與開(kāi)發(fā)為保障，以轉(zhuǎn)化和熟悉化為抓手培育學(xué)生數(shù)學(xué)優(yōu)化思想的可能路徑。

【關(guān)鍵詞】?jī)?yōu)化問(wèn)題；優(yōu)化思想；優(yōu)化路徑

一、引言

優(yōu)化思想，顧名思義，指通過(guò)對(duì)可能性方案或決策進(jìn)行最優(yōu)化篩選的思想。在當(dāng)前學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)繁重的背景下，優(yōu)化教學(xué)對(duì)于服務(wù)“雙減”政策實(shí)施和提升教育教學(xué)質(zhì)量具有積極的現(xiàn)實(shí)意義。為達(dá)到用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，切實(shí)提高學(xué)生的問(wèn)題分析與解決能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力以及數(shù)學(xué)理性精神，應(yīng)以優(yōu)化作為過(guò)程導(dǎo)向、策略指引，讓優(yōu)化思想根植于學(xué)生內(nèi)心。優(yōu)化思想，既體現(xiàn)在問(wèn)題解決過(guò)程中多樣方案的比較、整合與篩選，又滲透在對(duì)數(shù)學(xué)核心概念、公式定理的深刻理解之中。本文通過(guò)解題教學(xué)和命題教學(xué)兩個(gè)層面，透析培育學(xué)生數(shù)學(xué)優(yōu)化思想的內(nèi)涵特征及價(jià)值意義，并總結(jié)概括出切實(shí)有效的培育策略。

二、解題教學(xué)中的優(yōu)化思想

桑代克認(rèn)為，學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是“嘗試—錯(cuò)誤”的過(guò)程。事實(shí)上，學(xué)生所接受的解題訓(xùn)練、問(wèn)題解決大抵如此。由淺層次理解數(shù)學(xué)概念、公式定理出發(fā)，通過(guò)解若干數(shù)學(xué)問(wèn)題，達(dá)到進(jìn)一步的深化理解，以培植出求簡(jiǎn)求真的數(shù)學(xué)精神，這個(gè)過(guò)程也必是一個(gè)不斷試錯(cuò)的過(guò)程。問(wèn)題解決過(guò)程中試錯(cuò)的目的不僅在于求得正解，更在于優(yōu)化思路、促進(jìn)理解、完善認(rèn)知。具體來(lái)說(shuō)，解題教學(xué)中的優(yōu)化思想可以分為問(wèn)題解決策略的優(yōu)化與問(wèn)題生成的優(yōu)化。

（一）問(wèn)題解決策略的優(yōu)化

問(wèn)題解決策略的優(yōu)化往往需要學(xué)習(xí)者對(duì)問(wèn)題涉及領(lǐng)域有所洞察并積極地嘗試更簡(jiǎn)潔的求解，這一自覺(jué)求簡(jiǎn)優(yōu)化意識(shí)的獲得還有賴(lài)于有目的的“一題多解”訓(xùn)練。

例1 已知橢圓C：x²/2+y²=1，直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)D使得四邊形AODB為平行四邊形，求OD長(zhǎng)度的取值范圍。

【分析】若直接聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，可以表示出弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出D點(diǎn)坐標(biāo)，求OD長(zhǎng)度的范圍便要依賴(lài)于參數(shù)k、m滿足的條件（即保證直線與橢圓相交）。但注意到，除直線l要與橢圓相交外，再無(wú)其他限定條件（如過(guò)定點(diǎn)或定斜率等）了，所以不妨直接對(duì)D點(diǎn)作特征分析，將問(wèn)題變更（轉(zhuǎn)化）為：對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)D，是否總能作一個(gè)平行四邊形AODB，其中另外兩個(gè)頂點(diǎn)A、B也落在橢圓C上呢？經(jīng)驗(yàn)告訴我們，這可以辦得到。因?yàn)闄E圓的弦所在直線的斜率與原點(diǎn)到弦中點(diǎn)連線的斜率之積為定值，OD的中點(diǎn)E便是說(shuō)理的關(guān)鍵。這里我們得到的啟示是，問(wèn)題解決的思路并不一定要遵循問(wèn)題生發(fā)的邏輯順序，要善于剖析條件之間、條件與結(jié)論間的邏輯關(guān)聯(lián)，從而確定新的研究思路。

（二）問(wèn)題生成的優(yōu)化

致力于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的問(wèn)題教學(xué)，應(yīng)循序漸進(jìn)地實(shí)現(xiàn)“就題論題”向“就題論道”的問(wèn)題解決層次與境界的躍遷。追求問(wèn)題解決的優(yōu)化過(guò)程實(shí)質(zhì)上是生成性思考的過(guò)程，它一般包括為重構(gòu)或完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)性生成，由具體解決策略遷移并升格為一般性觀念的概括性生成，一般性或特殊意義的新問(wèn)題或方法的創(chuàng)造性生成［1］。

三、命題教學(xué)中的優(yōu)化思想

數(shù)學(xué)命題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，其成效直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。命題教學(xué)從抽象的數(shù)學(xué)概念或公式、定理出發(fā)，進(jìn)入其內(nèi)在邏輯系統(tǒng)和意義領(lǐng)域，概念的內(nèi)涵和外延得到有效延伸，公式定理的適用條件和應(yīng)用范圍得到充分拓展，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力也隨之增強(qiáng)。因此，教師在教學(xué)中既要厘清教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)活動(dòng)的“明線”（提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、系統(tǒng)化），也要厘清貫穿其中的“暗線”（一般性觀念）［3］，從而為教學(xué)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。

（一）優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，提升學(xué)生核心素養(yǎng)

不同教學(xué)觀下的教學(xué)過(guò)程處理是不一樣的。若主張教學(xué)以獲取知識(shí)、掌握技能為根本目的，那么教學(xué)過(guò)程是以知識(shí)為中心，背離以學(xué)為中心的；若主張教學(xué)完全按照學(xué)生興趣和需要來(lái)開(kāi)展，那么教學(xué)過(guò)程是對(duì)學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)的過(guò)分關(guān)注（忽略了間接經(jīng)驗(yàn)的作用）；若主張教學(xué)是一種“特殊的認(rèn)知、互動(dòng)過(guò)程”，那么教學(xué)過(guò)程則是以發(fā)展自我認(rèn)知為中心的過(guò)程，是致力于發(fā)展學(xué)生學(xué)科觀念、學(xué)科素養(yǎng)的過(guò)程。因此，要以正確的教學(xué)觀指導(dǎo)教學(xué)過(guò)程，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程的全過(guò)程，從而提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

例3 如何理解三角恒等變換中的和差化積與積化和差公式？

盡管《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)三角函數(shù)的和差化積與積化和差公式的要求并不高，但該組公式能淋漓盡致地凸顯三角恒等變換的精髓，因而人教A版數(shù)學(xué)教材在“例題”“練習(xí)”“拓廣探索”欄目都提到了它的證明及含義。

為突破此教學(xué)難點(diǎn)，并檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)兩角和與差的公式、二倍角公式的效果，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)下筆者向?qū)W生拋出了“如何理解三角恒等變換中的和差化積與積化和差公式？”這一問(wèn)題。通過(guò)小組合作和師生商討的主題式探究形式，學(xué)生普遍達(dá)成以下共識(shí)：

（1）公式的結(jié)構(gòu)。它是合理選用公式的依據(jù)，如為了湊出特定的角或是確定的運(yùn)算形式。

（2）公式內(nèi)部間的聯(lián)系。通過(guò)換元、誘導(dǎo)、方程變換等方式能實(shí)現(xiàn)公式體系的快速構(gòu)建。

（3）公式與外部公式（如二倍角公式）的關(guān)聯(lián)。通過(guò)變量代換等方式可以得到二倍角公式，體會(huì)特殊與一般的辯證觀。

（4）公式的幾何詮釋。單位圓這一思維工具不僅能直觀演繹公式，還能體現(xiàn)定義三角函數(shù)的優(yōu)越性。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的視角審視數(shù)學(xué)對(duì)象，有利于培養(yǎng)學(xué)生的整體性思維。

不難看出，對(duì)該問(wèn)題的多維度探究并不見(jiàn)得優(yōu)化程度有多高，但教師讓學(xué)生親歷完整的自我問(wèn)題式思考與解決過(guò)程，本質(zhì)上就是對(duì)教學(xué)過(guò)程的優(yōu)化，當(dāng)然也包括問(wèn)題本身。學(xué)生在課堂中獨(dú)立思考與探索的機(jī)會(huì)本就不多，教師要合理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，將學(xué)生引導(dǎo)到“我是問(wèn)題解決者，學(xué)習(xí)的主人”的軌道上來(lái)，真正掌握研究問(wèn)題的一般思維方法。

（二）優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生主題思考意識(shí)

數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性上，數(shù)學(xué)教學(xué)的效率意識(shí)［4］則體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合上。通過(guò)對(duì)相近數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)掘與自然整合，不僅能凸顯知識(shí)的整體性和本質(zhì)特征，更能增強(qiáng)學(xué)生的主題思考意識(shí)。

例4 如何推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式？

筆者與不少教師交流發(fā)現(xiàn)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)并非像我們預(yù)設(shè)的那樣順暢，甚至總有遭受冷場(chǎng)的尷尬，即學(xué)生想不到“乘以公比，再錯(cuò)位相減”。既然學(xué)生覺(jué)得不自然、難以理解，教師搭設(shè)再多的腳手架也只是生硬的預(yù)設(shè)，其生成也必是不和諧的。何不讓學(xué)生按照他們認(rèn)為自然的思路去探究呢？通過(guò)課堂觀察，筆者發(fā)現(xiàn)：在一堂課上，只有4名學(xué)生直接研究S_n=1+q+q²+…+q^n-1這一方程，甚至根據(jù)等差數(shù)列依葫蘆畫(huà)瓢利用倒序相加法化簡(jiǎn)，最后無(wú)疾而終；絕大多數(shù)學(xué)生嘗試對(duì)公比q賦值，想從特殊結(jié)論中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律（成功的人數(shù)約占一半）；還有幾名學(xué)生絲毫沒(méi)有進(jìn)展。結(jié)果表明，如此追求自然化的教學(xué)沒(méi)有讓學(xué)生對(duì)“錯(cuò)位相減法”印象深刻，取而代之的是特殊與一般的數(shù)學(xué)思維方式，這種方法是學(xué)生“原創(chuàng)”的，是他們從自己的原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中歸納得到的。

實(shí)踐表明，呈現(xiàn)不同的問(wèn)題情境更有利于同一主題觀念的揭示與理解。無(wú)論是錯(cuò)位相減，還是錯(cuò)位相加，甚至是錯(cuò)位相乘，都是基于方程組作結(jié)構(gòu)化處理，將無(wú)限項(xiàng)求和化簡(jiǎn)為有限項(xiàng)的基本思想。類(lèi)似地，利用交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程也不能盲目地求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)再實(shí)施消參，而要尋求整體消參的辦法；蒙日?qǐng)A背后的方程思想才是轉(zhuǎn)化的精髓所在。

從例4來(lái)看，自然化、本質(zhì)化、關(guān)聯(lián)化也應(yīng)是教學(xué)中問(wèn)題優(yōu)化的三種方式。自然的思路落在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，自然是走向順暢、高效的必經(jīng)之路。教學(xué)適于自然（包括人性的自然和客觀的自然），這是一切教學(xué)優(yōu)化理論總的指導(dǎo)原則［5］。對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的探尋，即對(duì)簡(jiǎn)潔有效的問(wèn)題解決模式的探索。發(fā)掘知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，有助于知識(shí)的整合、觀念的聚合以及認(rèn)知結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化和優(yōu)化，本質(zhì)上是深度教學(xué)的重要環(huán)節(jié)［6］。

（三）優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，提升學(xué)生思維品質(zhì)

基于學(xué)情精準(zhǔn)分析的教學(xué)設(shè)計(jì)，必然是著眼于提升學(xué)生思維品質(zhì)的精彩設(shè)計(jì)。合理、有效的教學(xué)設(shè)計(jì)是學(xué)生活動(dòng)的設(shè)計(jì)，是促使學(xué)生認(rèn)知不斷躍遷的設(shè)計(jì)。在此過(guò)程中，學(xué)生能逐步養(yǎng)成獨(dú)立探究的習(xí)慣，能進(jìn)一步發(fā)展思維的嚴(yán)密性、深刻性和批判性。

例5 如何得到“直線與平面垂直的性質(zhì)定理”？

作業(yè)反饋及調(diào)研表明，立體幾何線面間的諸多判定和性質(zhì)定理中，數(shù)“直線與平面垂直的性質(zhì)定理”學(xué)生掌握得最差，其次是“線面平行的性質(zhì)定理”。主要是因?yàn)檫@兩大性質(zhì)定理都是在引進(jìn)輔助平面和輔助直線的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化。學(xué)生在公理和其他定理的學(xué)習(xí)中已經(jīng)形成了思維定式：過(guò)分關(guān)注已有點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系而忽略構(gòu)造輔助元素的作用，且易混淆定義和性質(zhì)的區(qū)別。為了界定某數(shù)學(xué)對(duì)象，我們常會(huì)根據(jù)其本質(zhì)特征A給出定義，反過(guò)來(lái)，也就能判定該數(shù)學(xué)對(duì)象具備性質(zhì)A，但這樣還不能上升到定理的層面。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)性質(zhì)是為了區(qū)別數(shù)學(xué)對(duì)象體現(xiàn)出的屬性，而數(shù)學(xué)性質(zhì)定理是基于已有命題的重要性結(jié)論或規(guī)律?！拔恢藐P(guān)系的轉(zhuǎn)化”是各判定定理、性質(zhì)定理合理給出的指引，因此既要在單獨(dú)體系內(nèi)（“平行體系”或“垂直體系”）考察轉(zhuǎn)化的方向性，也要在體系間思索轉(zhuǎn)化的可能性。

在直線與平面垂直前提下，推出直線與平面內(nèi)任一直線垂直屬于線面垂直的定義，推出過(guò)該直線的任一平面與已知平面垂直則成了面面垂直的判定定理，所以必須轉(zhuǎn)向平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造輔助元素成了可能。若引進(jìn)輔助平面，當(dāng)輔助平面與已知平面平行時(shí)，直線也垂直于輔助平面，即由線面垂直的條件推出了線面垂直的結(jié)論，轉(zhuǎn)化目的沒(méi)有達(dá)到；當(dāng)輔助平面與已知平面垂直時(shí)，已知直線要么在輔助平面內(nèi)，要么與它平行，即結(jié)論開(kāi)放，沒(méi)有了數(shù)學(xué)定理的確定美。而引進(jìn)輔助直線，當(dāng)且僅當(dāng)直線也與已知平面垂直時(shí)，直線間的平行關(guān)系就水到渠成了。通過(guò)上述分析，要得到線面垂直的性質(zhì)定理，不能通過(guò)直覺(jué)性告知，要通過(guò)理性的認(rèn)識(shí)和闡明。

四、培育學(xué)生優(yōu)化思想的有效策略

教學(xué)活動(dòng)一旦存在，對(duì)優(yōu)化教學(xué)的探索就一直沒(méi)有停歇過(guò)。蘇聯(lián)教育家巴班斯基為了解決學(xué)生普遍存在的留級(jí)、學(xué)習(xí)成績(jī)不佳等問(wèn)題，提出要對(duì)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行最優(yōu)化處理，即在一定教學(xué)條件下尋求合理的教學(xué)方案，使教師和學(xué)生花更少的時(shí)間和精力獲得更好的教學(xué)效果，使學(xué)生獲得更好的發(fā)展。培育學(xué)生的優(yōu)化思想的邏輯起點(diǎn)還應(yīng)回到“學(xué)習(xí)”這一核心上來(lái)，如學(xué)習(xí)環(huán)境的構(gòu)建、學(xué)習(xí)資源的豐富與呈現(xiàn)、學(xué)習(xí)方式的多樣化與優(yōu)化等。具體可采取以下策略培育學(xué)生的數(shù)學(xué)優(yōu)化思想。

（一）以優(yōu)化問(wèn)題為媒介，滲透優(yōu)化思想

優(yōu)化從始至終都不是數(shù)學(xué)的特權(quán)，任何學(xué)科的發(fā)展都是不斷優(yōu)化的結(jié)果。從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)制定到教材編寫(xiě)再到教師施教，都是為了更有利于教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”，各個(gè)系統(tǒng)與環(huán)節(jié)都在相互協(xié)調(diào)、整體優(yōu)化。每一次有意義的數(shù)學(xué)思考，或是方法的改進(jìn)、結(jié)論的推廣，抑或是新概念的引進(jìn)、思想觀念的更新，都是不斷優(yōu)化所帶來(lái)的產(chǎn)物。正如鄭毓信所說(shuō)：“不斷的優(yōu)化可以看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的本質(zhì)所在?！保?］數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，表面上是一個(gè)知識(shí)密度和容量不斷擴(kuò)大的過(guò)程，實(shí)際上是伴隨著數(shù)學(xué)問(wèn)題不斷優(yōu)化，優(yōu)化意識(shí)不斷強(qiáng)化，學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能并運(yùn)用于真實(shí)情境中來(lái)解決復(fù)雜問(wèn)題，從而促進(jìn)學(xué)習(xí)者元認(rèn)知能力、問(wèn)題解決能力、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高階思維能力的發(fā)展的過(guò)程。

優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)比較分析、追根溯源的過(guò)程，既要為證實(shí)尋求證據(jù)并提供辯護(hù)，也要為證偽構(gòu)造反例并進(jìn)行反駁［8］。優(yōu)化意識(shí)不是從無(wú)到有的，它需要生長(zhǎng)土壤——優(yōu)化問(wèn)題或一般性問(wèn)題。實(shí)際生活中的“費(fèi)用最省”“利潤(rùn)最大”等問(wèn)題往往要從極端情況去探求研究對(duì)象的最大（?。┲担覀兘y(tǒng)稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題，而一般性問(wèn)題則不具備這些屬性。由于優(yōu)化問(wèn)題本身要探討如何優(yōu)化等問(wèn)題，自然成為培養(yǎng)優(yōu)化思想的一大途徑，也能最大限度地發(fā)揮問(wèn)題解決的教學(xué)價(jià)值。

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。問(wèn)題或作為思考材料，或作為教學(xué)方式，都試圖引發(fā)興趣，發(fā)展思維，優(yōu)化思維當(dāng)屬其中之一。對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的探尋乃至對(duì)隱匿其中的“本原性學(xué)科問(wèn)題”［9］的挖掘，是學(xué)科理性精神的彰顯，是優(yōu)化的又一現(xiàn)實(shí)價(jià)值體現(xiàn)。通過(guò)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，問(wèn)題被有效分解直至被解決，學(xué)生的思維品質(zhì)在這一過(guò)程中得到了優(yōu)化，因而優(yōu)化問(wèn)題不會(huì)成為培養(yǎng)優(yōu)化思想的唯一途徑。任何數(shù)學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展都遵循著簡(jiǎn)化、優(yōu)化、深刻化的基本原則。概括地說(shuō)，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程即培養(yǎng)優(yōu)化思想的過(guò)程。從這一意義上講，以優(yōu)化問(wèn)題為特質(zhì)的問(wèn)題教學(xué)為學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的學(xué)習(xí)環(huán)境準(zhǔn)備基礎(chǔ)。同時(shí)也要認(rèn)識(shí)到，對(duì)于不同思維層次的學(xué)生，應(yīng)采取不同的策略優(yōu)化問(wèn)題的解決過(guò)程［10］，如元認(rèn)知策略比精細(xì)加工策略更適合于思維層次較高的學(xué)生。

（二）以素材積累與開(kāi)發(fā)為保障，發(fā)展優(yōu)化思想

優(yōu)化意識(shí)不能也不應(yīng)僅由解題歸納而得，教學(xué)中還要呈現(xiàn)需要優(yōu)化的直接素材（在這里不妨將教材中或拓展的教學(xué)內(nèi)容稱(chēng)為直接素材，而通過(guò)解題歸納得到的則屬于間接素材），即教師要想方設(shè)法為發(fā)展學(xué)生的思維尤其是優(yōu)化問(wèn)題的意識(shí)提供條件。如人教版義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”便滲透了運(yùn)籌思想。運(yùn)籌思想包括優(yōu)化思想和對(duì)策論。該部分內(nèi)容呈現(xiàn)了學(xué)生日常生活中的一些簡(jiǎn)單事例（討論烙三張餅時(shí)怎樣操作最省時(shí)間；討論家里來(lái)客人需要沏茶時(shí)，怎樣安排各項(xiàng)工作能讓客人盡快喝上茶），讓學(xué)生嘗試從優(yōu)化的角度在解決問(wèn)題的多種方案中尋找最優(yōu)的方案。又如人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》選修2-2中“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”一章中“生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例”小節(jié)，給出了生活中求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)不是由學(xué)生已積累的生活（或數(shù)學(xué)）經(jīng)驗(yàn)通過(guò)對(duì)比與分析做出優(yōu)化，而是通過(guò)程式化的基本思路（用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題→用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題→優(yōu)化問(wèn)題的答案→優(yōu)化問(wèn)題）以導(dǎo)數(shù)作為工具實(shí)施優(yōu)化。

奧蘇伯爾指出，影響學(xué)習(xí)的最重要的一個(gè)因素是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué)。這表明，學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，一定程度上決定了學(xué)習(xí)的效果。教材集眾教育專(zhuān)家智慧之結(jié)晶，有很強(qiáng)的示范性和較高的權(quán)威性。以優(yōu)化為旨趣的素材給學(xué)生生成的第一印象會(huì)產(chǎn)生積極的印刻效應(yīng)，極利于優(yōu)化思想的培養(yǎng)。實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)家們的思維過(guò)程和成果本質(zhì)上是豐富的優(yōu)化問(wèn)題素材，我們應(yīng)善于從數(shù)學(xué)家的“廢紙簍”尋找數(shù)學(xué)思維的自然性和合理性［11］，讓優(yōu)化自然生發(fā)。

此外，考慮到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)周期的漫長(zhǎng)性與優(yōu)化問(wèn)題的直接素材過(guò)少的不匹配現(xiàn)象，教師還需要積極開(kāi)發(fā)并積累直接素材。數(shù)學(xué)源于生產(chǎn)實(shí)踐，它反映現(xiàn)實(shí)世界的規(guī)律，又成為理解世界、表達(dá)世界的有力武器，因而學(xué)生所熟悉的現(xiàn)實(shí)世界應(yīng)是直接素材的重要來(lái)源。

（三）以轉(zhuǎn)化與熟悉化為抓手，培育優(yōu)化思想

離開(kāi)了轉(zhuǎn)化與熟悉化，優(yōu)化便無(wú)從談起。一般意義上的轉(zhuǎn)化包含了熟悉化，這里著重強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化中由難化易、由繁化簡(jiǎn)的過(guò)程。教學(xué)實(shí)踐中，不少教師在課堂中總把“轉(zhuǎn)化”與“化歸思想”掛在嘴邊，或是引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題，或是作為課堂小結(jié)的陳述，卻很少談及轉(zhuǎn)化的目的或是價(jià)值所在。轉(zhuǎn)化是為了優(yōu)化，不僅是優(yōu)化解題過(guò)程，更是優(yōu)化思維的習(xí)慣，以形成有序的思維表達(dá)習(xí)慣。關(guān)于熟悉化的教學(xué)實(shí)踐也不容樂(lè)觀。將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題就一定更好研究嗎？前提是學(xué)生對(duì)于熟悉的問(wèn)題要比陌生的問(wèn)題掌握得更好，而絕大多數(shù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力不高的主要癥結(jié)便在于對(duì)熟悉的數(shù)學(xué)核心概念、典型的數(shù)學(xué)方法及思想理解不深刻、落實(shí)不到位，這般情形下的熟悉化實(shí)際上是誤入了另一個(gè)泥淖。

一般來(lái)說(shuō)，有兩種策略致力于方法的改進(jìn)與優(yōu)化。

一是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的情境范疇。問(wèn)題一般要借助情境承載，我們俗稱(chēng)為“問(wèn)題表征形式”。問(wèn)題表征是指在頭腦中對(duì)某一問(wèn)題信息進(jìn)行記載、理解和表達(dá)的方式。在問(wèn)題解決的過(guò)程中，首先要在工作記憶中對(duì)問(wèn)題涉及的對(duì)象、條件、目標(biāo)和認(rèn)知操作等進(jìn)行編碼，建立起適當(dāng)?shù)膯?wèn)題表征，包括問(wèn)題的初始狀態(tài)、問(wèn)題的目標(biāo)狀態(tài)、改變問(wèn)題狀態(tài)的操作（算子）以及對(duì)算子的約束等四個(gè)因素。問(wèn)題表征的適當(dāng)性影響問(wèn)題解決的難易程度。因而適當(dāng)改變問(wèn)題的表征形式，新情境下問(wèn)題的解決往往就容易得多。問(wèn)題表征形式的改變，還伴隨著更新、更高層次的抽象，往往也包含了觀念的必要更新，即用一種新的觀點(diǎn)去看待一件熟悉的事物，甚至是用完全不相容的觀點(diǎn)去取代原先的認(rèn)識(shí)，因此，改變問(wèn)題的表征形式理所當(dāng)然也被看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維優(yōu)化的又一重要內(nèi)涵。

二是做問(wèn)題的要素分析。直譯法是問(wèn)題解決最為普遍的方法，即試圖通過(guò)對(duì)問(wèn)題中的條件和結(jié)論做細(xì)致的分析，以期挖掘出問(wèn)題的本質(zhì)信息。不肆意擴(kuò)展問(wèn)題的研究范疇，勢(shì)必將問(wèn)題引入深處，那么往往觸及問(wèn)題的本質(zhì)。回歸本質(zhì)，是對(duì)問(wèn)題核心的凝練，是簡(jiǎn)化、優(yōu)化的手段。我們有必要重新審視數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才不至于走偏、走遠(yuǎn)。林夏水在重新梳理數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程［先在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的實(shí)踐基礎(chǔ)上獲得數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)；然后上升為演繹性的理論知識(shí)（公理系統(tǒng)和形式系統(tǒng)）；再返回到實(shí)踐中，通過(guò)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題而證實(shí)自身的真理性，完善或發(fā)展新的數(shù)學(xué)知識(shí)］的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)概括為“一門(mén)演算的科學(xué)”，數(shù)學(xué)兼具算法傾向與演繹傾向，因此回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)就可理解為回到一定的前提（如基本概念及公理）上，并遵照一定的邏輯規(guī)則（如數(shù)形的等價(jià)轉(zhuǎn)化等）。如求（x+3/x-2）9的展開(kāi)式中x5的系數(shù)，我們應(yīng)自然聯(lián)想到二項(xiàng)式定理這一基本定理，再思索通過(guò)何種代數(shù)變形將該問(wèn)題（實(shí)質(zhì)是三項(xiàng)式）轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求展開(kāi)式的問(wèn)題。上述做法行不通的情形下，回到更基本的“探究得到二項(xiàng)式定理”的過(guò)程［即（a+b）n的展開(kāi)式相當(dāng)于從每個(gè)括號(hào)中任取一個(gè)字母作乘積］是必要且合理的。事實(shí)表明，這樣處理帶來(lái)了運(yùn)算的優(yōu)化。

毋庸置疑，兩種策略的共同之處都立足于“比較”，只是思考的范疇不同而已。從優(yōu)化思維的層面講，將比較的對(duì)象顯性化，并從不同的維度實(shí)施比較，更能突顯優(yōu)化的必要性。

五、結(jié)束語(yǔ)

適度形式化、合理簡(jiǎn)化、必要優(yōu)化既是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則，又符合數(shù)學(xué)教學(xué)的本真和愿景。讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的全過(guò)程，明確優(yōu)化意識(shí)在問(wèn)題研究中的助推和衍生作用；讓學(xué)生具身感受數(shù)學(xué)概念與公式定理的自然發(fā)生發(fā)展過(guò)程，體悟認(rèn)知發(fā)展邏輯與知識(shí)發(fā)展邏輯的一致性及其指導(dǎo)下的教學(xué)素材的優(yōu)化呈現(xiàn)；讓學(xué)生以轉(zhuǎn)化和熟悉化作為觀察的視點(diǎn)、抽象的基礎(chǔ)、探索的方向、猜測(cè)的依據(jù)、論證的前提，是習(xí)得數(shù)學(xué)思維方式的有效路徑。為了保證數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高效，學(xué)生還需要在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力的針對(duì)性訓(xùn)練和培養(yǎng)，以增強(qiáng)自控力、敏感性和遷移能力，實(shí)現(xiàn)從局部監(jiān)控到整體監(jiān)控的優(yōu)化改進(jìn)。［12］要適應(yīng)未來(lái)社會(huì)的發(fā)展，學(xué)生不僅需要學(xué)科眼光，更需要優(yōu)化眼光［13］。數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)，這一模式需建立在理解之上，并貫穿于問(wèn)題優(yōu)化、意識(shí)優(yōu)化、方法優(yōu)化的整個(gè)過(guò)程。關(guān)于優(yōu)化教學(xué)的模式化研究，我們?nèi)匀沃囟肋h(yuǎn)。

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