勾股定理教學(xué)中融合數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐

李雪雪

【摘要】數(shù)形結(jié)合既是一種高效的解題方法，又是一種先進(jìn)的解題思想.在勾股定理教學(xué)中融合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以有效提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文分別從融合數(shù)學(xué)文化、結(jié)合信息技術(shù)、設(shè)計(jì)思考問(wèn)題、布置練習(xí)任務(wù)、拓展生活作業(yè)等方面，探索初中數(shù)學(xué)勾股定理教學(xué)中融合數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；勾股定理；初中數(shù)學(xué)

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一種思想，該思想立足于“形”和“數(shù)”這兩個(gè)基本的研究對(duì)象，深入分析其中的內(nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)化關(guān)系.如果學(xué)生能充分掌握、熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就能事半功倍地學(xué)好幾何課程.

對(duì)于初中數(shù)學(xué)而言，勾股定理被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，在勾股定理教學(xué)中有效融合數(shù)形結(jié)合思想，可以直指教學(xué)重點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，拓展學(xué)生的思維深度.下面從融合數(shù)學(xué)文化、結(jié)合信息技術(shù)、設(shè)計(jì)思考問(wèn)題、布置練習(xí)任務(wù)、拓展生活作業(yè)等角度入手，探究有效的實(shí)踐策略.

1 融合數(shù)學(xué)文化，引入教學(xué)主題

雖然學(xué)生對(duì)“數(shù)”和“形”的概念不陌生，但將二者結(jié)合在一起的學(xué)習(xí)思路，學(xué)生需要一定的時(shí)間去接受和理解.為了有效縮短這個(gè)內(nèi)化知識(shí)的過(guò)程，促進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想與勾股定理教學(xué)的深度融合，教師可以適當(dāng)結(jié)合數(shù)學(xué)文化，通過(guò)內(nèi)涵豐富的文化元素，引入有關(guān)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)主題，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生探究新知、驗(yàn)證定理、證明結(jié)論[1].

例如 教師可以對(duì)學(xué)生介紹三國(guó)時(shí)期東吳的知名數(shù)學(xué)家趙爽，他曾經(jīng)發(fā)表過(guò)著作《周髀算經(jīng)注》，并附有“勾股圓方圖”，在今天也被稱為“趙爽弦圖”.其內(nèi)容不僅具有簡(jiǎn)約之美，也附有深厚、經(jīng)典的文化內(nèi)涵.通過(guò)以上數(shù)學(xué)歷史，可以直觀體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思路，給出勾股定理的詳細(xì)證明方法.如圖1所示，將四個(gè)相同的直角三角形按照?qǐng)D1的形式拼合在一起，可以構(gòu)成一個(gè)更大的正方形.該正方形的面積為三角形弦的平方，也等于中間的小正方形的面積加上四個(gè)直角三角形的面積，而小正方形的面積為“股減去勾”的平方.由此，根據(jù)以上推導(dǎo)，建立以下等式：（b－a）2+4×1／2ab=c2，經(jīng)化簡(jiǎn)之后，就能得出a2+b2=c2的結(jié)論.

除了我國(guó)悠久燦爛的數(shù)學(xué)歷史文化，教師還可以引入國(guó)外的數(shù)學(xué)故事，進(jìn)行中西文化對(duì)比，起到百家爭(zhēng)鳴的教學(xué)效果.

例如 教師可以為學(xué)生介紹愛(ài)因斯坦在11歲證明勾股定理的故事.如圖2所示，愛(ài)因斯坦先在一個(gè)直角三角形的斜邊上引出一道垂線，將其分成不同的兩個(gè)部分，構(gòu)成了三個(gè)大小不同的直角三角形.隨后，再如圖3所示，利用三個(gè)三角形的斜邊作為邊長(zhǎng)，作出三個(gè)新的正方形.因?yàn)檫呴L(zhǎng)分別為a、b、c，所以面積為a2、b2、c2.雖然三個(gè)圖形的面積不同，但形狀完全一樣，符合相似性的特點(diǎn).所以每一個(gè)圖形之中，三角形的面積與正方形的面積比值也應(yīng)當(dāng)完全相等.假設(shè)這個(gè)比值為m，則三個(gè)三角形的面積分別為ma2、mb2、mc2.因?yàn)閮蓚€(gè)小三角形的面積加起來(lái)等于大三角形的面積，所以ma2+mb2=mc2，a2+b2=c2.

教師通過(guò)引入趣味橫生的數(shù)學(xué)故事文化元素，學(xué)生不僅能感慨于古代數(shù)學(xué)家的智慧，也能活躍思維，啟發(fā)學(xué)習(xí)思路，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生更為深刻的認(rèn)識(shí).

2 結(jié)合信息技術(shù)，剖析思想特點(diǎn)

教師若想將數(shù)形結(jié)合思想以通俗易懂的形式展現(xiàn)出來(lái)，需要采用更為直觀、形象的教學(xué)方案[2].初中生普遍活潑好動(dòng)，對(duì)充滿趣味性的事物具有強(qiáng)烈的探究興趣.針對(duì)初中生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，教師應(yīng)當(dāng)貫徹趣味引導(dǎo)的教育原則，充分優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).對(duì)此，教師可以在教學(xué)中有效利用信息技術(shù)，創(chuàng)設(shè)引人入勝的教學(xué)情境，深入剖析數(shù)形結(jié)合思想的特點(diǎn)，給予學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn).

例如 教師在解析“趙爽弦圖”“愛(ài)因斯坦的勾股證明圖”時(shí)，可以通過(guò)動(dòng)畫(huà)制作軟件，將圖形的拼組、數(shù)與圖之間的轉(zhuǎn)化以動(dòng)態(tài)的形式呈現(xiàn)出來(lái).教師借助信息技術(shù)，可以添加視效、音效等多種元素，讓勾股定理的證明過(guò)程顯得更加生動(dòng)有趣.此外，合理利用信息技術(shù)，也能幫助學(xué)生建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)體系.讓學(xué)生根據(jù)導(dǎo)圖的提示，了解勾股定理中數(shù)和形的內(nèi)在關(guān)系.比如，能稱為直角三角形三條邊的正整數(shù)組分別是什么？如“3，4，5”“6，8，10”“5，12，13”等等，并搭配平面圖形.同時(shí)，教師還可以在思維導(dǎo)圖的框架中引入其他定理，如勾股數(shù)的倍數(shù)也是勾股數(shù)，某三角形的三條邊a、b、c滿足a2+b2=c2，說(shuō)明該三角形為直角三角形.由此，通過(guò)信息技術(shù)的輔助，可以給學(xué)生帶來(lái)視聽(tīng)結(jié)合的感官刺激，將數(shù)形結(jié)合思想的特點(diǎn)形象地展示出來(lái).

3 設(shè)計(jì)思考問(wèn)題，促進(jìn)深度聯(lián)想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能照本宣科，教師應(yīng)當(dāng)激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí).通過(guò)情境教學(xué)的鋪墊，教師需要讓學(xué)生再思考，深入理解數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵.對(duì)此，教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)思考問(wèn)題的方式，促進(jìn)學(xué)生的深度聯(lián)想，讓學(xué)生嘗試應(yīng)用之前學(xué)習(xí)的思路，按照自己的理解嘗試證明勾股定理[3].

首先，教師可以為學(xué)生展示鄒遠(yuǎn)治的“內(nèi)弦圖”.同樣作為我國(guó)古代知名的數(shù)學(xué)家，內(nèi)弦圖的證明思路也有其獨(dú)到之處，并與“趙爽弦圖”相類似，具有一定的內(nèi)在聯(lián)系，可以作為學(xué)生思維訓(xùn)練的經(jīng)典案例.此外，教師還可以介紹美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德的證明方法，即將一個(gè)等腰直角三角形和兩個(gè)全等的直角三角形重新拼組，構(gòu)造成一個(gè)梯形，再根據(jù)其中的面積關(guān)系，代入重要數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出勾股定理的代數(shù)關(guān)系.由此，教師通過(guò)兩個(gè)證明案例，合理實(shí)施問(wèn)題教學(xué)法，點(diǎn)明如何通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想證明勾股定理，可以有效加深學(xué)生的學(xué)習(xí)理解.

其次，教師可以通過(guò)設(shè)問(wèn)的過(guò)程，幫助學(xué)生梳理有關(guān)勾股定理的知識(shí)細(xì)節(jié)，進(jìn)一步提升數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力.比如，運(yùn)用勾股定理的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)注意哪些前置條件？勾股定理主要探究了直角三角形的什么問(wèn)題？如何通過(guò)圖示，表達(dá)勾股定理中的代數(shù)關(guān)系？學(xué)生在思考以上問(wèn)題的答案時(shí)，可以對(duì)勾股定理的證明過(guò)程進(jìn)行初步總結(jié).并通過(guò)問(wèn)題的提示，深入思考數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用要點(diǎn)，為接下來(lái)的實(shí)踐應(yīng)用打好基礎(chǔ).

4 布置練習(xí)任務(wù)，鞏固學(xué)習(xí)收獲

紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行.當(dāng)學(xué)生通過(guò)探究勾股定理的過(guò)程，深入理解了數(shù)形結(jié)合思想，教師應(yīng)當(dāng)趁熱打鐵，為學(xué)生布置隨堂練習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生結(jié)合做題的過(guò)程，及時(shí)鞏固學(xué)習(xí)收獲.這樣才能幫助學(xué)生從了解走向熟悉，充分理解勾股定理的內(nèi)涵，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想.

例1 在△ABC中，∠A=60°，AC=30，BC=70，試求AB的長(zhǎng)度.

在未學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想之前，學(xué)生只從圖形的角度分析，很難找到本題的破題點(diǎn).而根據(jù)數(shù)形結(jié)合的解析思路，將圖形的關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)字的形式進(jìn)行求證，看似復(fù)雜的問(wèn)題就能迎刃而解[4].首先，本題并未說(shuō)明△ABC是直角三角形，這也意味著學(xué)生不能直接套用勾股定理的公式.但根據(jù)∠A=60°這個(gè)條件，可以聯(lián)想到構(gòu)造某個(gè)角為30°的直角三角形.因此，作CD⊥AB，交點(diǎn)為D，因?yàn)椤螦CD為30°，△ACD為直角三角形，所以AD=1／2AC=15.同理，根據(jù)勾股定理，在求出AD的長(zhǎng)度后，可以通過(guò)AD2+CD2=AC2，求出CD的長(zhǎng)度.再根據(jù)CD2+BD2=BC2，求出BD的長(zhǎng)度.最后，再將AD和BD作和，就是本題的最后答案.

隨堂測(cè)驗(yàn)是在案例教學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行做題演練，其題目?jī)?nèi)容會(huì)在勾股定理的固定應(yīng)用套路上進(jìn)行拓展延伸，這可以開(kāi)闊學(xué)生的做題視野，防止學(xué)生出現(xiàn)思維僵化的情況.學(xué)生如果能在做題的過(guò)程中迅速想到解析思路，就能及時(shí)隨機(jī)應(yīng)變，將數(shù)形結(jié)合思想融會(huì)貫通.

5 拓展生活作業(yè)，激活應(yīng)用意識(shí)

除了隨堂練習(xí)，課后作業(yè)也是鞏固學(xué)生學(xué)習(xí)收獲的重要環(huán)節(jié).勾股定理作為幾何課程的基礎(chǔ)，具有較高的實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值.教師可以為學(xué)生拓展生活類型的課后作業(yè)，讓學(xué)生以小組為單位，在動(dòng)手操作的過(guò)程中進(jìn)行總結(jié)和反思[5].這既可以激活學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，也能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)與生活之間的密切關(guān)系，深刻感受數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在魅力.

例如 教師可以讓學(xué)生思考：一根長(zhǎng)度為70cm的木棒，是否能放進(jìn)長(zhǎng)為50cm，寬為40cm，高為30cm的箱子里面？單從木棒的長(zhǎng)度與箱子的長(zhǎng)、寬、高思考，棒子的長(zhǎng)度必然無(wú)法以水平或豎直的角度放置在箱子之中，但結(jié)合實(shí)踐操作，不難發(fā)現(xiàn)在箱子這個(gè)立體空間中，最大的空間長(zhǎng)度并不在水平面上.由此，學(xué)生可以按照題目的要求，在家中準(zhǔn)備道具，通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐的方式進(jìn)行驗(yàn)證.也可以繪制長(zhǎng)方體的立體圖形，找出其中最長(zhǎng)的線段，并分析這條線段處于哪個(gè)直角三角形中，需要應(yīng)用哪些數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算.由此，學(xué)生通過(guò)觀察、測(cè)量、思考、拼組、計(jì)算的探究學(xué)習(xí)過(guò)程，可以促進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)滲透.

再比如，教師可以為學(xué)生布置一些開(kāi)放性的課后作業(yè)，如例2.

例2 因條件有限，某工作人員不能直接測(cè)量池塘邊某兩點(diǎn)之間的距離，已知他手里有量角器和長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)的卷尺，他可以用什么方法完成測(cè)量任務(wù)？

學(xué)生可以通過(guò)合作交流，設(shè)計(jì)各種各樣的實(shí)踐方案.比如，設(shè)測(cè)量的兩點(diǎn)為A和B，在池塘外找到一點(diǎn)C，構(gòu)建直角三角形，并規(guī)定∠ACB為30°，由此，就能構(gòu)成一個(gè)典型的勾股圖形.此時(shí)，可以假設(shè)直角邊AB為x，則斜邊BC為2x，AC邊是可測(cè)的直角邊.根據(jù)勾股定理的公式x2+AC2=（2x）2，就能得出正確的結(jié)論.

6 結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合不僅是數(shù)學(xué)思想，也是重要的解題手段.教師在教學(xué)中有意識(shí)地融合數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)學(xué)生整個(gè)初中階段的學(xué)習(xí)都能起到積極的影響作用.由于勾股定理是初中幾何課程的基石，教師應(yīng)當(dāng)巧妙尋找多種教學(xué)思路，為學(xué)生營(yíng)造引人入勝的教學(xué)情境，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、解決問(wèn)題、深入思考的過(guò)程中，深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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