利用二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系解題的策略研究

徐玲玲

【摘要】二次函數(shù)與一元二次方程作為初中數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容，既是一次函數(shù)與一元一次方程關(guān)系的延伸，又為后續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程不等式打下基礎(chǔ).二次函數(shù)與一元二次方程之間存在著緊密聯(lián)系，學(xué)生需要在學(xué)習(xí)過(guò)程中熟練掌握與運(yùn)用兩者關(guān)系，以提升解題效率.基于此，文章主要對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程的概念、二者之間的關(guān)系進(jìn)行探討，通過(guò)分析部分題型的解題思路與解題技巧得出一些結(jié)論，希望能對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)本章節(jié)內(nèi)容提供一定的借鑒.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；一元二次方程；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)課程的主要教學(xué)內(nèi)容之一，它與代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等知識(shí)有著密切的聯(lián)系.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)深入理解二次函數(shù)與一元二次方程的概念、性質(zhì)，把握二者之間的關(guān)系，巧妙地運(yùn)用二者之間的關(guān)系解決問(wèn)題，以提升解題效率.

一、二次函數(shù)與一元二次方程的比較

下面對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程進(jìn)行比較，找出其相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，具體整理歸納如表1所示：

從表1也可以看出二者之間的聯(lián)系：

第一，一元二次方程是探討二次函數(shù)與一元二次不等式的基礎(chǔ)，學(xué)好一元二次方程的解法，精準(zhǔn)理解一元二次方程的含義，熟練掌握一元二次方程的計(jì)算技巧，能夠?yàn)閷W(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次不等式打好基礎(chǔ).

第二，假設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的y=0，則變?yōu)橐辉畏匠蘟x2+bx+c=0.

第三，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像拋物線與坐標(biāo)軸的x軸（橫坐標(biāo)）有兩個(gè)交點(diǎn)，即x1，x2，且x2>x1，x軸上的兩個(gè)交點(diǎn)即一元二次方程的兩個(gè)根.

借助二次函數(shù)的圖像解題是常見(jiàn)的題型，學(xué)生可基于圖像特征找出答案，這些圖像特征也是二次函數(shù)求解過(guò)程的體現(xiàn)，比如頂點(diǎn)的值、與x軸交點(diǎn)的值、x=0時(shí)y的值等.根據(jù)圖像特征解題，可以提升解題效率.

二、利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系解題

（一）圖像法解方程或不等式

在利用圖像法解方程的時(shí)候，我們首先需要利用解析式畫(huà)出函數(shù)圖像，然后對(duì)比、觀察圖像找出二者間的規(guī)律.

圖像具有直觀、一目了然的特征，通過(guò)識(shí)圖來(lái)解析題目，運(yùn)用圖像來(lái)理解公式與定理會(huì)更快捷、準(zhǔn)確，畫(huà)出二次函數(shù)圖像的過(guò)程就是對(duì)二次函數(shù)、一元二次方程的解析過(guò)程.掌握二次函數(shù)圖像，可以提高解題速度與質(zhì)量.

學(xué)生在運(yùn)用圖像法解方程或不等式之前，需要先了解不等式的三種情況.針對(duì)任意一個(gè)一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）與其相對(duì)應(yīng)的一元二次方程為ax2+bx+c=0，相應(yīng)的二次函數(shù)是y=ax2+bx+c（a≠0）.假設(shè)常數(shù)a>0，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開(kāi)口向上，會(huì)存在以下三種方式，如圖1所示：

從以上三個(gè)圖像可以看出：

圖像（1）說(shuō)明ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，分別為x1和x2，且x1x2的時(shí)候，y的取值均大于0；當(dāng)x1

圖像（2）說(shuō)明ax2+bx+c=0有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，即頂點(diǎn)與x坐標(biāo)的交點(diǎn)，當(dāng)只有一個(gè)交點(diǎn)在x軸上時(shí)，說(shuō)明y=0，當(dāng)x≠x0時(shí)，y的值均大于0.

圖像（3）說(shuō)明ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，從圖上可以看出拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn).

反之，假設(shè)常數(shù)a<0，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開(kāi)口向下，同樣存在以下三種方式，如圖2所示：

通過(guò)以上對(duì)二次函數(shù)圖像的分析，我們舉例來(lái)探析圖像法解方程或不等式.

例1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a<0）的圖像如圖3所示，請(qǐng)根據(jù)圖像回答問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)解.

（2）寫(xiě)出不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

（3）若方程ax2+bx+c=K（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求K的取值區(qū)間.

解析 根據(jù)圖4可知：（1）方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)解，分別為x=1和x=3；（2）不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集為1

（二）函數(shù)圖像的交點(diǎn)與方程的根

借助構(gòu)造法解題，即構(gòu)造出問(wèn)題中的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系，將方程的解轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)來(lái)解題；同樣的，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為方程的解來(lái)探究.

例如從上述例題1的函數(shù)圖像中，我們可以較為直觀地看出，函數(shù)圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明該函數(shù)或一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.通過(guò)了解一元二次方程的根的幾何意義，所呈現(xiàn)的圖像（拋物線）與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)交點(diǎn)，可以明確拋物線與方程對(duì)應(yīng)的根的三種情況，以及學(xué)會(huì)使用方程解決函數(shù)問(wèn)題和用函數(shù)圖像求解一元二次方程的過(guò)程，更深入地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的解題思想，是學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的目標(biāo).

如何找出這兩個(gè)交點(diǎn)的位置，學(xué)生是否能夠?qū)?shí)際問(wèn)題快速地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，能否建立數(shù)形結(jié)合的解題思想，是解題的關(guān)鍵所在.

（三）二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)和一元二次方程根的分布

通過(guò)前面對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程概念的分析，以及二者之間的相互關(guān)系進(jìn)行比較，從圖1、圖2所示的二次函數(shù)的圖像所呈現(xiàn)的三種不同形式，我們可以看出解較為復(fù)雜的一元二次方程，運(yùn)用圖像的形式（幾何意義）來(lái)體現(xiàn)，會(huì)容易很多，也就是所說(shuō)的用函數(shù)觀點(diǎn)探討一元二次方程根的問(wèn)題.在此，我們需要厘清函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸有公共點(diǎn)（x0，0），那么x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，二者之間的關(guān)系歸納整理如表2所示.

解決這一問(wèn)題的基本步驟為：首先需要在直角坐標(biāo)系中繪制出與一元二次方程相對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像，再根據(jù)函數(shù)圖像大致位置的約束條件建立不等式組，以此來(lái)確定一元二次方程根的分布情況.一元二次方程根的數(shù)量，實(shí)際就是二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的數(shù)量；交點(diǎn)之間的距離就是根之間差的絕對(duì)值.

例3 假設(shè)關(guān)于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2，且有x1<1

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，文章首先對(duì)一元二次方程和二次函數(shù)的概念進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生明白二次函數(shù)（y=ax2+bx+c，a≠0）與一元二次方程（ax2+bx+c=0，a≠0）在表達(dá)形式上都是函數(shù)式、方程式或不等式，但也存在不同點(diǎn)，體現(xiàn)在概念與結(jié)果的不同上，在圖像上也有著明顯的不同.其次，整理歸納了二次函數(shù)與一元二次方程的解題策略，運(yùn)用圖像的形式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.最后，舉例分析了關(guān)于二次函數(shù)與一元二次方程的不同解題思路與方法.數(shù)學(xué)的題目雖然是唯一的、固定的，但是其解題思路與方法會(huì)因人而異.對(duì)此，教師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解題時(shí)，要建立立體化思維，巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和多元方法進(jìn)行解題，構(gòu)建屬于自己的思維模式.希望同學(xué)們能夠?qū)⒗碚撆c案例相結(jié)合，厘清一種關(guān)系、體會(huì)兩種思想，讓函數(shù)與方程變得更易于掌握.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張苡銘.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系及其應(yīng)用淺析[J].當(dāng)代旅游（高爾夫旅行），2017（9）：203.

[2]張琦.如何利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系解題[J].學(xué)苑教育，2017（4）：47.

[3]管小梅.初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)的實(shí)踐：以“二次函數(shù)與一元二次方程”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（14）：84-85.

[4]施訓(xùn)洋，朱文東.基于核心素養(yǎng)的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)：以“二次函數(shù)與一元二次方程”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2023（1）：11-15.

[5]張舒.例講二次函數(shù)與一元二次方程習(xí)題[J].數(shù)理天地（初中版），2022（16）：6-7.