初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力的策略

陳德國(guó)

【摘要】在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理能力是教師必須關(guān)注的重點(diǎn).教師要積極落實(shí)新課改理念，對(duì)學(xué)生的幾何推理能力培養(yǎng)給予足夠的重視，并對(duì)相關(guān)的教學(xué)方法進(jìn)行優(yōu)化和完善，以獲得更好的教學(xué)效果，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).文章從基礎(chǔ)知識(shí)、實(shí)物操作、幾何語(yǔ)言、幾何推理、復(fù)雜圖形、合理分層等方面展開(kāi)討論，探究培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力的具體措施，旨在為優(yōu)化幾何知識(shí)的教學(xué)工作提供參考.

【關(guān)鍵詞】幾何推理；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)策略

推理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要思維方式，其貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程.而幾何是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要板塊，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)，因此，培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力不僅能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力以及抽象素養(yǎng)的發(fā)展，同時(shí)能夠幫助學(xué)生掌握合情和演繹推理的基礎(chǔ)方法.

一、引導(dǎo)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力

幾何推理一般可以分為大前提、小前提和結(jié)論三個(gè)部分.以初中階段的數(shù)學(xué)教材內(nèi)容編排看來(lái)，大前提包括了學(xué)生已經(jīng)掌握的幾何定理、定義和公理，如最為常見(jiàn)的圖形的定義、性質(zhì)等，小前提則是一種較為特殊的題目狀況，如最為常見(jiàn)的題干內(nèi)容，結(jié)論是學(xué)生通過(guò)幾何推理之后得出的結(jié)果.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，為了幫助學(xué)生掌握幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理能力，首先，教師要積極關(guān)注學(xué)生對(duì)幾何基礎(chǔ)知識(shí)的掌握以及理解情況，這對(duì)于提高學(xué)生的幾何知識(shí)應(yīng)用能力以及推理能力有著重要的意義.同時(shí)，教師應(yīng)在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)一步優(yōu)化幾何基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，確保學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)之后形成較為牢固的基礎(chǔ)，保障學(xué)生能夠在幾何推理中全方位利用已知概念和定理等證明數(shù)學(xué)問(wèn)題.其次，教師在開(kāi)展幾何基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)工作時(shí)，需要引領(lǐng)學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)有準(zhǔn)確的理解，并能從多個(gè)層面分析概念的基本特征，確保學(xué)生對(duì)于幾何的相關(guān)知識(shí)有深刻理解.最后，為了保障學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握效果能夠持續(xù)提高，教師需要加強(qiáng)幾何知識(shí)和學(xué)生真實(shí)生活之間的聯(lián)系，可以利用學(xué)生常見(jiàn)的各種實(shí)例形成完善的幾何模型.比如，教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“全等三角形”這部分知識(shí)時(shí)，可以結(jié)合學(xué)生實(shí)際生活中常見(jiàn)的完全重合的圖形進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生更加準(zhǔn)確地理解全等的概念.

二、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)物操作，培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力

幾何知識(shí)與人們的日常生活有著密切的聯(lián)系，學(xué)生在對(duì)各種現(xiàn)實(shí)生活中的具象物體經(jīng)過(guò)觀察、歸納、推理之后應(yīng)可以抽象出幾何方面的知識(shí).初中數(shù)學(xué)教學(xué)中卻存在著學(xué)生觀察意識(shí)不足的現(xiàn)象，這對(duì)學(xué)生的幾何推理能力發(fā)展會(huì)產(chǎn)生不好的影響.教師在促進(jìn)學(xué)生幾何推理能力發(fā)展的過(guò)程中，要讓學(xué)生結(jié)合自己的生活對(duì)物體進(jìn)行觀察及操作，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，確保學(xué)生能夠?qū)缀沃R(shí)形成客觀、正確的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生想象和推理能力的快速、穩(wěn)步發(fā)展.

比如，教師在教學(xué)人教版九年級(jí)下“三視圖”這部分知識(shí)時(shí)，可以讓學(xué)生按照4～5人一組組成學(xué)習(xí)小組，提前給學(xué)生發(fā)放模型玩具，并在包裝盒上設(shè)置好圖形展開(kāi)圖，在學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行操作之前，讓學(xué)生利用盒子上的展開(kāi)圖對(duì)拼接完成的實(shí)物進(jìn)行想象.學(xué)生在初次接觸“三視圖”這部分知識(shí)時(shí)，因?yàn)樽陨淼目臻g想象思維發(fā)展不完善，且對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的理解不夠深化，雖然能夠得出正確的結(jié)論，但缺乏完整性.所以，教師可以讓學(xué)生按照包裝盒上給出的展開(kāi)圖結(jié)合自己的猜想進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)操作，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)結(jié)果的反思和總結(jié)，最后對(duì)自己提出的猜想進(jìn)行驗(yàn)證.這種教學(xué)方法可以幫助學(xué)生通過(guò)親自操作和訓(xùn)練理解三視圖的知識(shí)，避免刻意發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯思維的現(xiàn)象，并以學(xué)生的真實(shí)生活作為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行推理，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的熱情和興趣，在長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)踐鍛煉影響下，學(xué)生的空間思維便會(huì)逐漸發(fā)展成型，為空間幾何推理能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ).

三、引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用幾何語(yǔ)言，培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力

幾何推理能力的發(fā)展同樣需要學(xué)生利用合理的語(yǔ)言去表達(dá)自己的證明和推理過(guò)程，幾何語(yǔ)言的掌握程度對(duì)于學(xué)生幾何推理能力的發(fā)展也有重要的作用.教師在培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力時(shí)，需要以基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)為基礎(chǔ)，逐漸引導(dǎo)學(xué)生使用幾何語(yǔ)言表達(dá)自己的觀念和想法，保障學(xué)生能夠?qū)缀蔚闹R(shí)和文化形成深刻了解.比如，教師在教學(xué)人教版七年級(jí)上“垂線(xiàn)”這部分知識(shí)時(shí)，學(xué)生已得知“經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)有且只有一條”是其中最為重要的定理，但在教材理論知識(shí)單一的影響下，學(xué)生對(duì)于知識(shí)內(nèi)涵的理解不夠深刻，認(rèn)為無(wú)須進(jìn)行解釋.因此，教師可以向?qū)W生提出問(wèn)題：為何定理中強(qiáng)調(diào)了已知點(diǎn)和已知直線(xiàn)？學(xué)生在經(jīng)過(guò)討論之后，認(rèn)為定理中給出“已知”條件限制的意義是保障點(diǎn)和線(xiàn)都處于固定狀態(tài)，只有如此，方能得出唯一的答案.在這種情境下，學(xué)生能夠?qū)Υ咕€(xiàn)定理進(jìn)行全方位的分析，學(xué)會(huì)利用幾何語(yǔ)言解釋各種問(wèn)題，并表達(dá)自己的觀點(diǎn)和想法.同時(shí)，教師需要關(guān)注對(duì)學(xué)生符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的培養(yǎng)和發(fā)展，為學(xué)生幾何推理能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ).

另外，在幾何知識(shí)學(xué)習(xí)以及問(wèn)題解答的過(guò)程中，因?yàn)閹缀沃R(shí)有著一定的空間抽象性，學(xué)生必須通過(guò)親身實(shí)踐操作才能夠逐漸理解知識(shí)內(nèi)涵.所以，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將圖形的制作過(guò)程用語(yǔ)言進(jìn)行描述和表達(dá)，幫助學(xué)生在歸納知識(shí)的同時(shí)發(fā)展能力，通過(guò)幾何語(yǔ)言應(yīng)用提高幾何推理能力.在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，教師需要營(yíng)造良好的課堂教學(xué)氛圍，使用多元提問(wèn)方法設(shè)計(jì)各種類(lèi)型的問(wèn)題，讓學(xué)生在課堂教學(xué)中感受、理解幾何語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生在圖形制作的過(guò)程中進(jìn)行復(fù)述，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力和幾何推理能力的發(fā)展.比如，教師在教學(xué)人教版九年級(jí)“中心對(duì)稱(chēng)”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生先制作兩個(gè)成中心對(duì)稱(chēng)的三角形，因?yàn)橹行膶?duì)稱(chēng)圖形整體較為抽象，理解難度較大，教師就可以通過(guò)讓學(xué)生親自制作中心對(duì)稱(chēng)圖形知曉中心對(duì)稱(chēng)的含義及性質(zhì)，同時(shí)讓學(xué)生在模型制作完成之后，學(xué)會(huì)使用“先……再……”這類(lèi)關(guān)聯(lián)詞匯對(duì)模型制作及二者如何呈現(xiàn)出中心對(duì)稱(chēng)關(guān)系進(jìn)行闡述，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維的理解以及對(duì)幾何語(yǔ)言的應(yīng)用.

四、講解幾何推理步驟和方法，培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)工作中培養(yǎng)幾何推理能力，教師需要以學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況為前提條件，傳授基礎(chǔ)推理步驟及方法，以保障學(xué)生按照既定的流程有選擇地使用基礎(chǔ)知識(shí)和推理方式得出正確答案.初中數(shù)學(xué)的幾何推理主要包括審題、條件分析以及整理解題思路幾個(gè)步驟.下面將對(duì)這樣幾個(gè)步驟分別進(jìn)行闡述.首先是審題.學(xué)生的審題是否準(zhǔn)確會(huì)對(duì)最終解答的準(zhǔn)確性帶來(lái)重要的影響，故在幾何推理教學(xué)中，教師通常需要結(jié)合題目已知條件來(lái)引導(dǎo)學(xué)生列出其中的等量關(guān)系，并把文字與圖形結(jié)合，在圖形中準(zhǔn)確標(biāo)記題目已知條件，讓學(xué)生能夠?qū)ζ溥M(jìn)行直觀的了解，避免在解題時(shí)因?yàn)檫z漏某些條件而影響解題準(zhǔn)確性.其次是條件分析.幾何推理需要學(xué)生應(yīng)用已知條件及所掌握的知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決，所以在幾何推理教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題當(dāng)中的已知條件進(jìn)行明確，并以此為前提條件進(jìn)行推理，這也是解題的關(guān)鍵步驟.最后是整理解題思路，即結(jié)合已知條件進(jìn)行結(jié)論的推導(dǎo).在這個(gè)過(guò)程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化解題思路，使其親身經(jīng)歷完整的推理過(guò)程.

在掌握基礎(chǔ)的推理步驟后，學(xué)生是否能夠通過(guò)推理得出正確的結(jié)果與其掌握的推理方法有密切的聯(lián)系.推理的組成因素可以細(xì)分為已知條件、基礎(chǔ)知識(shí)、推理方法和推理過(guò)程，同時(shí)，推理方法可以將已知條件和基礎(chǔ)知識(shí)串聯(lián)，從而形成正確的解題思路.因此，為了促進(jìn)學(xué)生幾何推理能力的發(fā)展，教師需要引導(dǎo)學(xué)生逐漸掌握基礎(chǔ)的推理方法，具體又可以分為順向推理和逆向推理兩種方法.

順向推理是學(xué)生立足題干中已經(jīng)存在的已知條件，探討在這種條件要求下可以得出的結(jié)論，再以得出的結(jié)論為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行深入分析，最終得到與題目要求完全相符的結(jié)論.比如，在教學(xué)“平行線(xiàn)的判定”時(shí)，教師可以為學(xué)生設(shè)置如下的問(wèn)題：線(xiàn)段AB和CD之間是平行關(guān)系，在連接BC之后，∠ABC的平分線(xiàn)為BE，∠DCB的平分線(xiàn)為CF，求證線(xiàn)段BE和CF之間是否存在平行關(guān)系.在學(xué)生分析的過(guò)程中，因?yàn)轭}干中提出AB和CD是平行關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)∠ABC等于∠DCB，又因?yàn)轭}目中明確給出了BE是∠ABC的平分線(xiàn)，CF是∠DCB的平分線(xiàn)，故可以得出∠EBC=∠FCB，最終得出BE和CF之間是平行關(guān)系的結(jié)論.

逆向推理作為幾何推理的常用方式，是從證明結(jié)論出發(fā)，分析想要得出結(jié)論需要具備的條件，以條件為結(jié)論，分析得出結(jié)論需要具備的條件，層層反饋，保障所需的條件和已知條件完全相符.比如，教師可以為學(xué)生設(shè)置如下的問(wèn)題：有一個(gè)平行四邊形ABCD，在連接對(duì)角線(xiàn)AC和BD之后，O是對(duì)角線(xiàn)的相交點(diǎn)，證明OA和OC之間的長(zhǎng)度關(guān)系.在幾何推理的過(guò)程中，如果想要得出OA和OC的長(zhǎng)度相等，則必須證明平行四邊形中的△ABO和△CDO全等，而這需要∠BAO和∠DCO相等或者∠ABO和∠CDO相等，以及鄰邊AB，CD相等，這些又都可以借助平行四邊形的性質(zhì)得出，由此不難發(fā)現(xiàn)，△ABO和△CDO全等，最終可以得出OA和OC相等的結(jié)論.在學(xué)生求解題目之后，教師便可以告知學(xué)生推理方式的名稱(chēng)，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷解題過(guò)程之后對(duì)兩種推理方式的內(nèi)涵和使用步驟形成基本了解.教師通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間反復(fù)訓(xùn)練學(xué)生，便可讓學(xué)生熟練掌握推理方法，在基礎(chǔ)知識(shí)、步驟、方式的加持下提高幾何推理能力.

五、引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別復(fù)雜圖形，培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力

在初中幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生普遍存在畏懼復(fù)雜圖形的問(wèn)題，使得幾何問(wèn)題解決效率受到明顯影響.學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的幾何圖形時(shí)，無(wú)法有效理解題目中的文字和圖形，這也代表學(xué)生自身的幾何推理能力具備較大的發(fā)展空間.因此，教師需要在幾何知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)雜程度較高的幾何圖形進(jìn)行分析，幫助學(xué)生從復(fù)雜的圖形中分離出基礎(chǔ)圖形，嘗試?yán)靡呀?jīng)掌握的基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生解題效率的提升.學(xué)生在對(duì)復(fù)雜圖形有了長(zhǎng)時(shí)間反復(fù)訓(xùn)練后，能夠形成更加直觀的思維，促進(jìn)其幾何推理能力的發(fā)展.

比如，教師在教學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)“勾股定理”的相關(guān)知識(shí)時(shí)，可以將常見(jiàn)的火柴盒推導(dǎo)驗(yàn)證法、面積割補(bǔ)驗(yàn)證法以及趙爽弦圖驗(yàn)證法等方法通過(guò)多媒體設(shè)備向?qū)W生進(jìn)行展示.因?yàn)檫@三種常見(jiàn)的勾股定理驗(yàn)證方法都是利用較為復(fù)雜的圖形，教師利用多媒體設(shè)備引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行分解，利用旋轉(zhuǎn)、平移的方式分離出其中簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)圖形，可幫助學(xué)生解決在知識(shí)學(xué)習(xí)和理解方面存在的困難.同時(shí)，學(xué)生在對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行分離、識(shí)別的過(guò)程中，也能夠意識(shí)到在理論證明和問(wèn)題解答的過(guò)程中，不能單純著眼于一個(gè)圖形，而是要從其中的圖形結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)出發(fā)，形成對(duì)應(yīng)的解題思路，借此促進(jìn)幾何推理能力的發(fā)展.

六、對(duì)幾何教學(xué)進(jìn)行合理分層，培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力

初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，教師為了促進(jìn)學(xué)生幾何推理能力的發(fā)展，需要對(duì)幾何教學(xué)進(jìn)行合理分層.這主要是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)能力和認(rèn)知水平存在明顯的不同，傳統(tǒng)的理論知識(shí)灌輸教學(xué)方法必然導(dǎo)致部分學(xué)生無(wú)法全面理解教學(xué)內(nèi)容，違背了素質(zhì)教育背景下促進(jìn)全體學(xué)生發(fā)展的要求.因此，教師想要在初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中推動(dòng)學(xué)生幾何推理能力的發(fā)展，就要認(rèn)識(shí)到學(xué)生之間存在的層次性和差異性，為學(xué)生設(shè)計(jì)不同層次的問(wèn)題及學(xué)習(xí)任務(wù)，并提供相應(yīng)的指導(dǎo)，確保學(xué)生學(xué)會(huì)利用已有的基礎(chǔ)知識(shí)、推理方法形成解題思路，得出問(wèn)題的正確答案，從而促進(jìn)學(xué)生幾何推理能力的快速發(fā)展.

比如，在教學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)“三角形全等的判定”這部分知識(shí)時(shí)，為了幫助學(xué)生對(duì)三角形全等判定的相關(guān)知識(shí)形成深刻的理解，教師需要綜合考慮學(xué)生的真實(shí)狀況，并設(shè)計(jì)如下幾個(gè)問(wèn)題：第一，在滿(mǎn)足一個(gè)條件時(shí)，△ABC與△A′B′C′是否全等？第二，在滿(mǎn)足兩個(gè)條件時(shí)，兩三角形是否有全等關(guān)系？在提出問(wèn)題之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行小組合作，通過(guò)三角形的繪制、剪切和對(duì)比發(fā)現(xiàn)三角形全等的規(guī)律，最終得出三角形全等的判定條件.對(duì)于部分學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生，教師可以讓其結(jié)合三角形全等的判定條件進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐.簡(jiǎn)單而言，教師不僅要要求學(xué)生對(duì)于三角形判定的條件簡(jiǎn)單進(jìn)行說(shuō)明和證明，還可以讓學(xué)生結(jié)合自己的生活實(shí)際提出各種三角形全等判定的具體用途，在滿(mǎn)足不同層次學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)需求的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生使用基礎(chǔ)知識(shí)和解題方法解決各種問(wèn)題，深化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和解題方法的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生幾何推理能力的建立、發(fā)展奠定基礎(chǔ).

結(jié) 語(yǔ)

總而言之，幾何推理能力是學(xué)習(xí)和應(yīng)用初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)的基礎(chǔ)能力.教師需要在教學(xué)實(shí)踐中引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先掌握對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)，再讓學(xué)生通過(guò)實(shí)物操作促進(jìn)數(shù)學(xué)邏輯思維的成型和發(fā)展，再針對(duì)教材中的重要定理以及部分抽象空間知識(shí)，使用幾何語(yǔ)言進(jìn)行描述以及推理.同時(shí)，教師要將基礎(chǔ)的幾何推理步驟以及方法傳授給學(xué)生，為學(xué)生的幾何推理建立堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，并配合復(fù)雜圖形的識(shí)別以及幾何知識(shí)的層次化學(xué)習(xí)，確保不同層次的學(xué)生都能夠跟隨教師的指引循序漸進(jìn)地提高幾何推理能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]胡靜.淺談初中幾何入門(mén)教學(xué)[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（6）：56-59.

[2]陳美.初中幾何推理能力的培養(yǎng)方法探析[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2018（26）：98.

[3]夏永泉.如何把握新課標(biāo)對(duì)初中幾何推理的尺度[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2011（7）：69.