分類討論思想如何在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中妙用

趙雯君

【摘要】隨著新一輪課程改革的持續(xù)推進(jìn)，對(duì)廣大教育工作者的業(yè)務(wù)能力與教學(xué)水平有著更高的要求，對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)需求從以往的知識(shí)型教學(xué)轉(zhuǎn)變成眼下的能力型教學(xué)，以其思維能力的發(fā)展為前提，幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)成效.分類討論思想作為初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中一個(gè)影響較大的數(shù)學(xué)思想方法，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生在平常的解題訓(xùn)練中巧妙運(yùn)用，提升他們的解題能力.本文主要對(duì)分類討論思想如何在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中妙用做探討，并分享一些解題實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；分類討論思想；解題教學(xué)

在處理部分題目時(shí)，把所要研究問(wèn)題根據(jù)題目特征及要求分成多個(gè)類別、轉(zhuǎn)化成多個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行解決，這種先按照不同情況進(jìn)行分類、再逐個(gè)研究解決的思想，就是分類討論思想，廣泛適用于各個(gè)科目的解題練習(xí).在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)指引學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況巧妙應(yīng)用分類討論思想，使其從不同視角分析與思考題目，更為理性地處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，助推他們更好地整理數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)以及學(xué)習(xí)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律，降低數(shù)學(xué)題目的解題難度.

1應(yīng)用分類討論思想解答絕對(duì)值問(wèn)題

絕對(duì)值指的是一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，用符號(hào)“丨丨”表示，屬于初中數(shù)學(xué)課程體系中的基礎(chǔ)性知識(shí)點(diǎn)，由于在數(shù)學(xué)中，絕對(duì)值是非負(fù)值，雖然無(wú)需考慮數(shù)的符號(hào)，但是因?yàn)橐粚?duì)互為相反數(shù)的絕對(duì)值相同，這里面就涉及分類討論思想.因此，在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用分類討論思想分析與解答絕對(duì)值類問(wèn)題，對(duì)絕對(duì)值中的數(shù)值進(jìn)行分類討論，分別考慮是正數(shù)或者負(fù)數(shù)的不同情況，幫助他們計(jì)算出準(zhǔn)確的答案[1].

例1已知丨a丨＝3，丨b丨＝2，且a＞b，那么ba的值是什么？

分析在本道題目中，主要考查學(xué)生對(duì)絕對(duì)值的性質(zhì)與冪的計(jì)算掌握情況，難點(diǎn)之處在于b有兩個(gè)取值，但是都比a小，所以需要采用分類討論思想，確保答案的完整.

解根據(jù)丨a丨＝3可以得到a＝3或者a＝－3，同理根據(jù)丨b丨＝2能夠得到b＝2或者b＝-2，由于a＞b，則a與b的值有兩種情況，一種是a＝3，b＝2，另外一種是a＝3，b＝-2，所以ba=23=8或者ba=（-2）3=-8.

本題通過(guò)對(duì)分類討論思想的應(yīng)用，不會(huì)遺漏b的兩個(gè)不同取值，這樣得到的結(jié)果才完善而準(zhǔn)確.

2采用分類討論思想解答不等式問(wèn)題

不等式是一類十分常見(jiàn)的代數(shù)式，學(xué)生在小學(xué)時(shí)期就有所接觸，不過(guò)在小學(xué)階段遇到的以嚴(yán)格不等式為主，即為純粹用“＞”“＜”連接的不等式，難度不是特別大，但是步入初中以后，他們還會(huì)遇到不“≥”、“≤”（小于或等于號(hào)）連接的不等式，難度相對(duì)較大.在初中數(shù)學(xué)不等式解題訓(xùn)練中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生采用分類討論思想，使其把握好題目中的多種情況，從而助推他們輕松求出正確的結(jié)果[2].

例2已知關(guān)于x的不等式（n＋3）x≥n2－9，求x的值.

分析這一題目主要考查學(xué)生對(duì)不等式相關(guān)知識(shí)的掌握情況，不過(guò)需要注意的是，應(yīng)考慮到題目中可能出現(xiàn)的多種情況，即為當(dāng)n＋3＝0也就是n＝－3時(shí)，x能夠取任意數(shù)值.

解（1）當(dāng)n＋3＝0時(shí)，即n＝－3時(shí)，不等式恒成立，表明x可以是任意實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)n＋3＞0，n＞－3時(shí)，

x≥n2-9n+3＝（n+3）（n-3）n+3＝n－3，

所以x的值是x≥n－3.

（3）當(dāng)n＋3＜0，n＜－3時(shí)，

x≤n2-9n+3=（n+3）（n-3）n+3=n-3，

所以x的值是x≤n－3.

綜上可得，當(dāng)n=－3時(shí)，x為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)n＞－3時(shí)，x≥n－3；當(dāng)n＜－3時(shí)，x≤n－3.

3使用分類討論思想解答方程類問(wèn)題

學(xué)生在小學(xué)階段就學(xué)習(xí)方程的相關(guān)知識(shí)，以一元一次方程為主，在初中階段則進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程，包括一元二次方程、一元三次方程，及方程組等內(nèi)容，解題難度與復(fù)雜程度與之前相比均有所提升，學(xué)生極易陷入困境之中.這時(shí)初中數(shù)學(xué)教師在平常的方程解題訓(xùn)練中，可以指導(dǎo)學(xué)生使用分類討論思想，使其根據(jù)定義對(duì)方程的指數(shù)情況進(jìn)行分類討論，以免出現(xiàn)遺漏情況，注重解題的全面性，幫助他們找到完整的答案，不斷增強(qiáng)解題自信[3].

例3已知關(guān)于x的方程（m－3）x|m-1|+x2-3=0，假如這是一個(gè)一元二次方程，則m需要滿足什么情況？

分析在這道題目中，由于要滿足該式子是一個(gè)一元二次方程，所以需滿足x的指數(shù)是小于等于2，且是自然數(shù)即可，也就是丨m－1丨≤2，這里同樣要用到分類討論思想.

解（1）當(dāng)丨m－1丨＝2時(shí)，解之得m＝3或者m＝－1，把m＝3或者m＝－1分別代入到原式可以得到一元二次方程x2-3=0或者3x2+3=0；

（2）當(dāng)丨m－1丨＝1時(shí)，解之得m＝2或者m＝0，把m＝2或者m＝0分別代入到原式可以得到一元二次方程x2-x－3＝0或者x2-3x－3＝0；

（3）丨m－1丨＝0時(shí)，解之得m＝1，把m＝1代入到原式后得到一元二次方程x2-5＝0.

綜上可得，當(dāng)該式子是一個(gè)一元二次方程時(shí)，m的值分別是－1，0，1，2，3.

4利用分類討論思想解答函數(shù)類問(wèn)題

函數(shù)貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，無(wú)論是平面直角坐標(biāo)系，還是正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)，都是初中階段的核心知識(shí)，與其他教學(xué)內(nèi)容相比，有著明顯的抽象化與復(fù)雜化特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生在解題過(guò)程中往往會(huì)遇到一些困難，影響他們對(duì)試題的順利解答.這就要求初中數(shù)學(xué)教師在函數(shù)解題訓(xùn)練中，應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生利用分類討論思想分析與研究題目?jī)?nèi)容，使其找到新的解題思路，促進(jìn)解題能力的提升，讓他們深入掌握函數(shù)知識(shí)[4].

例4 某文具店推出兩種優(yōu)惠方案：①購(gòu)1個(gè)書包，贈(zèng)送1支鋼筆；②購(gòu)買書包與鋼筆一律打9折，每個(gè)書包20元，每支鋼筆5元，張華與同學(xué)一共需要購(gòu)買4個(gè)書包和多支鋼筆（不少于4支）.（1）分別寫出兩種優(yōu)惠方法購(gòu)買費(fèi)用y（元）與所買鋼筆支數(shù)x（支）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）分析x的取值情況，指出哪種方案比較便宜；（3）張華和同學(xué)需購(gòu)買4個(gè)書包與12支鋼筆，如何購(gòu)買最劃算.

分析本題考查一次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用、運(yùn)算能力與分類討論思想.

解? （1）設(shè)按方案①購(gòu)買費(fèi)用是y1元，按方案②購(gòu)買費(fèi)用是y2元，

則從y1＝（x－4）×5＋20×4＝5x＋60，

y2＝（5x＋20×4）×0.9＝4.5x＋72；

（2）設(shè)y1＞y2，即5x＋60＞4.5x＋72，解之得x＞24，

當(dāng)x＞24且是整數(shù)時(shí)，選擇方案②比較便宜；

設(shè)y1＝y(tǒng)2，即5x＋60＝4.5x＋72，解之得x＝24，當(dāng)x＝24時(shí)，選擇方案①、②均可；

設(shè)y1＜y2，即5x＋60＜4.5x＋72，解之得x＜24，4≤x＜24且是整數(shù)時(shí)，選擇方案①比較便宜；

（3）購(gòu)買4個(gè)書包和12支水性筆，而12＜24，故有以下兩種購(gòu)買方案，

方案一，用方案①購(gòu)買，需5x＋60＝5×12＋60＝120（元）；

方案二，采用兩種購(gòu)買方式，用方案①購(gòu)買4個(gè)書包，需4×20＝80（元），同時(shí)獲贈(zèng)4支水性筆，

用方案②購(gòu)買8支水性筆，需8×5×90%＝36（元），共需80＋36＝116（元），顯然116＜120，則最佳購(gòu)買方案使用方案①購(gòu)買4個(gè)書包，獲贈(zèng)4支水性筆，再用方案②購(gòu)買8支水性筆.

5運(yùn)用分類討論思想解答幾何類問(wèn)題

數(shù)學(xué)試題主要由代數(shù)類與幾何類兩大部分構(gòu)成，在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中應(yīng)用分類討論思想時(shí)，不僅可以用來(lái)處理代數(shù)類的問(wèn)題，能夠解答不少幾何類試題.具體來(lái)說(shuō)，初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)主要涉及點(diǎn)、線段、射線、直線、垂直、平行、三角形、圓、對(duì)稱以及各種四邊形等，可謂是知識(shí)點(diǎn)眾多，有的題目還是組合類圖形，教師應(yīng)當(dāng)指引學(xué)生巧妙運(yùn)用分類討論思想分析圖形信息，使其結(jié)合題中文字信息的描述找到解題思路，得出更為全面的結(jié)果[5].

例5如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D處出發(fā)，沿射線DA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），當(dāng)t是何值時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

分析要使以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，需有BP＝QP或BP＝BQ或QP＝BQ這幾種情況中的任意一種.

解（1）假如BP＝QP，可作PH⊥BC于點(diǎn)H，則BH＝QH，

由于PD＝2t，CQ＝t，PD＝2CQ，

因?yàn)镻D＝CH，

所以CQ＝QH＝BH，t＝163；

（2）假如BP＝BQ，

則（16-2t）2+122＝16－t，

整理后得到3t2－32t＋144＝0，

由于Δ＝322－4×3×144＜0，該方程沒(méi)有實(shí)根，故t不存在，這種情況不成立；

（3）假如QP＝BQ，則t2+122＝16－t，

解之得t＝72；

綜上可得，當(dāng)t＝163或t＝72時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.

6結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動(dòng)中，教師應(yīng)充分意識(shí)到分類討論思想的重要意義與價(jià)值，帶領(lǐng)學(xué)生在分類討論思想影響下深入分析數(shù)學(xué)題目，掌握問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)實(shí)踐訓(xùn)練讓他們學(xué)會(huì)巧妙應(yīng)用分類討論思想來(lái)處理各種情況與條件下的不同題目，繼而高效率地求得正確結(jié)果，使其對(duì)分類討論思想產(chǎn)生更為深刻的理解與領(lǐng)悟，真正提高自身的解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡基德.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運(yùn)用論述[J].數(shù)理化解題研究，2022（26）：35－37.

[2]許浩.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用探究[J].數(shù)理化解題研究，2022（26）：62－64.

[3]朱軍平.探析分類討論法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的實(shí)踐[J].數(shù)理天地（初中版），2022（06）：23－24.

[4]癿璟.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用策略[J].試題與研究，2021（27）：177－178.

[5]陳慧如.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用分析[J].新課程，2021（33）：98.