動(dòng)態(tài)的眼光·美學(xué)的體驗(yàn)

陳元云 邢成云

【摘要】數(shù)學(xué)中的很多知識(shí)、方法能實(shí)現(xiàn)科學(xué)與藝術(shù)的融合統(tǒng)一，數(shù)學(xué)追求美也創(chuàng)造美.本文以人教版《三角形的高、中線、角平分線》教學(xué)為例提出“用動(dòng)態(tài)之眼光，享美學(xué)之體驗(yàn)”的課堂創(chuàng)新策略，引導(dǎo)教師將靜態(tài)教材變?yōu)閯?dòng)態(tài)學(xué)材，幫助學(xué)生研究動(dòng)點(diǎn)問題，形成一般觀念，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提高核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的根本任務(wù).

【關(guān)鍵詞】動(dòng)靜結(jié)合；觸類旁通；核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下簡稱《2022版課標(biāo)》）在課程性質(zhì)部分指出“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分”[1].伽利略稱數(shù)學(xué)為“書寫宇宙的語言”，亞里士多德則認(rèn)為“數(shù)學(xué)能促進(jìn)人們對(duì)美的特性——數(shù)值、比例、秩序等的認(rèn)識(shí)”.這些都道出了數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)自然學(xué)科的美學(xué)價(jià)值.

三角形作為最簡單的封閉幾何圖形，它具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的研究價(jià)值，因?yàn)樗呛罄m(xù)學(xué)習(xí)其他封閉幾何圖形的直接基礎(chǔ)，“文[2]”對(duì)其已經(jīng)進(jìn)行了詮釋.本節(jié)課順承文[2]，是教育部全國“雙名”領(lǐng)航工程邢成云名師工作室提出的大單元主題教學(xué)“1＋n”（“1”指章起始課，即上面提到的文1）中n的第一節(jié)課，是立足起始對(duì)三角形的“三線”進(jìn)行的“深度探研”課.三角形的邊、角與三角形的“三線”共同構(gòu)成了三角形的基本要素與相關(guān)要素，通過對(duì)三角形基本要素與相關(guān)要素的一般化、特殊化研究，便形成了幾何圖形的一般觀念.本文擬從動(dòng)態(tài)觀念出發(fā)，由“一般——特殊”探討并研究三角形的“三線”，其中數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的一致性、對(duì)應(yīng)性，數(shù)形結(jié)合、動(dòng)靜結(jié)合、特珠一般、具象與抽象等對(duì)立統(tǒng)一，無不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力與辯證之美.

1背景分析

《2022年版課標(biāo)》課程目標(biāo)部分指出：“通過數(shù)學(xué)的眼光，能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)[1]5”，這是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育背景下對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)提出的要求之一.這就呼吁一線教師要改變?cè)瓉韨鹘y(tǒng)落后的教學(xué)理念與教學(xué)方式.而現(xiàn)實(shí)中以“育知”為主的教學(xué)理念，以“碎片化”為主的教學(xué)形式還沒有得到很好的扭轉(zhuǎn).諸如對(duì)數(shù)學(xué)的一般觀念、數(shù)學(xué)之美、動(dòng)態(tài)觀念等認(rèn)識(shí)仍不足，很多教師忽視或漠視了這一點(diǎn)，面對(duì)可利用的教材資源，不能很好地挖掘，致使課程本身的價(jià)值難以實(shí)現(xiàn)；課堂教學(xué)仍停留在點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的傳授知識(shí)或就題講題、以題練題的低淺層面，這些都應(yīng)然是教師教學(xué)設(shè)計(jì)和踐行課堂教學(xué)時(shí)需要規(guī)避和調(diào)適的.

2教材分析

文1（起始課）中，由線段的中點(diǎn)、角的平分線、三角形的面積這三個(gè)核心問題，初步形成了對(duì)三角形“三線”的認(rèn)知.這種初步認(rèn)知只是建立在原有知識(shí)基礎(chǔ)上的一些膚淺認(rèn)識(shí)，因此本節(jié)課是在順承起始課（文1）的基礎(chǔ)上，對(duì)三角形的“三線”從數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯角度進(jìn)行的分析與探究.同時(shí)，在理解“三線”的基礎(chǔ)上，適時(shí)補(bǔ)充三角形的“內(nèi)心、重心、垂心”的概念，幫助學(xué)生形成三角形較完整的認(rèn)知體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)引好方向，埋下種子，打牢基礎(chǔ)，做好鋪墊.

3教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1創(chuàng)境引悱，孕育問題

問題1：如圖1，點(diǎn)D在線段AB上由點(diǎn)A→點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，此過程中，AD與BD的關(guān)系如何變化？

預(yù)設(shè)1：不管點(diǎn)D怎樣運(yùn)動(dòng)，永遠(yuǎn)有AD＋BD＝AB.

預(yù)設(shè)2：點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，AD在變大，BD隨之減小，若設(shè)AD－BD＝x，x的值由負(fù)數(shù)→0→正數(shù).

追問：你感覺在這個(gè)變化過程中值得研究的是點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)？

預(yù)設(shè)：點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)時(shí)最特殊，此時(shí)x＝0，也就是AD－BD＝0.

追問：除以上最特殊的情況外，還有其它特殊情況嗎？

預(yù)設(shè)：點(diǎn)D可以運(yùn)動(dòng)成為線段AB的三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)或……n等分點(diǎn)時(shí)，雖然x的值不特殊，但點(diǎn)D的位置都很特殊，會(huì)產(chǎn)生AD∶BD＝1∶2或1∶3或……1∶（n－1）等固定比.

追問：受前面問題啟發(fā)，如圖2，射線OD在∠AOB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，你能提出什么問題？

師生談話，類比得出射線OD的特殊位置與相應(yīng)的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖問題1旨在喚醒學(xué)生對(duì)線段中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、n等分點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，用動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的形式激活思維，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)n等分點(diǎn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從數(shù)學(xué)思維的角度學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué).最后的追問是對(duì)問題1的類比遷移，學(xué)生在思考過程中不僅加深了對(duì)知識(shí)的理解，更重要的是學(xué)會(huì)遷移與運(yùn)用，滲透了策略性知識(shí)的學(xué)習(xí).同時(shí)，通過幾何量的大小比較發(fā)現(xiàn)0對(duì)應(yīng)著幾何圖形的特殊狀態(tài)，達(dá)成數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的和諧統(tǒng)一，數(shù)形結(jié)合中透出數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美.

3.2設(shè)疑猜想，形成模型

問題2：如圖3所示，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，△ABC中產(chǎn)生了哪些新的圖形？點(diǎn)D在由點(diǎn)A→點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，這些新圖形之間又會(huì)產(chǎn)生什么新關(guān)系？

預(yù)設(shè)1：產(chǎn)生了新的線段、新的角、新的三角形.比如：AD、BD，∠ADC、∠BDC，∠ACD、∠BCD，△ADC，△DBC.

預(yù)設(shè)2：點(diǎn)D在由點(diǎn)A→點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，AD與BD，∠ADC與∠BDC，∠ACD與∠BCD的差可能為負(fù)、可能為0、也可能為正，也就是它們之間的關(guān)系不確定.

追問：你認(rèn)為這些關(guān)系中，哪種關(guān)系最特殊？

預(yù)設(shè)：當(dāng)AD＝BD，∠ADC＝∠BDC，∠ACD＝∠BCD時(shí)是最特殊的.

師生談話：當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，上面每兩個(gè)量的差是變化的，這個(gè)變化過程是連續(xù)的，并且差的值分別由正值變?yōu)樨?fù)值或者由負(fù)值變?yōu)檎?這其中包含了值為0的特殊情況.

設(shè)計(jì)意圖問題2由問題1類比而來，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系是自然的，借助點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生尋找三角形中產(chǎn)生的新圖形，利用新圖形之間的量差尋找運(yùn)動(dòng)過程中的特殊情況，從“數(shù)”的角度認(rèn)識(shí)三角形的“三線”，同時(shí)為從“形”的角度認(rèn)識(shí)三角形的“三線”做鋪墊.這種體驗(yàn)是幫助學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)態(tài)的審美過程，加深對(duì)靜態(tài)教材的理解，在這種具體的數(shù)學(xué)邏輯思考與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程中，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美有感受、有感悟，最終將數(shù)學(xué)美進(jìn)行拓展并再創(chuàng)造.

3.3合作探究，得出模型

問題3：圖4中，當(dāng)AD＝BD，∠ADC＝∠BDC，∠ACD＝∠BCD時(shí)點(diǎn)D是最特殊的，每種情況下，特殊的線段CD分別稱之為什么？

預(yù)設(shè)：當(dāng)AD＝BD時(shí)，此時(shí)線段CD叫△ABC的邊AB上的中線；當(dāng)∠ADC＝∠BDC時(shí)，此時(shí)線段CD叫△ABC的邊AB上的高線；當(dāng)∠ACD＝∠BCD時(shí)，此時(shí)的線段CD叫△ABC的角平分線.

追問：當(dāng)△ABC的形狀發(fā)生改變時(shí)，上面點(diǎn)D的特殊情況都存在嗎？

先請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考，再小組合作，借畫圖進(jìn)行驗(yàn)證，教師結(jié)合學(xué)生情況用幾何畫板動(dòng)畫演示.

預(yù)設(shè)：當(dāng)△ABC的形狀發(fā)生改變時(shí)，∠ADC與∠BDC的差為0這種情況可能不存在.其他的兩種特殊情況都存在.

追問；如圖5所示，當(dāng)∠B＞90°（△ABC為鈍角三角形）時(shí)，

此時(shí)∠ADC與∠BDC的差確定嗎？

預(yù)設(shè)：∠ADC與∠BDC的差一定為正數(shù)，不可能為負(fù)數(shù)和0.

追問：此時(shí)，△ABC的邊AB上的高線不存在了嗎？

預(yù)設(shè)：應(yīng)該存在，三角形的每條邊都有高，不可能不存在.

追問：此時(shí)邊AB上的高線如何做出？

預(yù)設(shè)：當(dāng)點(diǎn)D滿足∠ADC與∠BDC的差為0時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)D在線段AB的延長線上.如圖6所示，過點(diǎn)C向AB的延長線做垂線（CD⊥AB）.

追問：△ABC的邊AB上的高線在三角形的外部，鈍角三角形的高都在三角形的外部嗎？

教師根據(jù)學(xué)生回答配以幾何畫板動(dòng)畫演示.

設(shè)計(jì)意圖準(zhǔn)確畫出鈍角三角形的高線是本節(jié)課的難點(diǎn)，也是很多教師易忽略的，問題3借助開放變式，幫助學(xué)生在理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時(shí)，無形中也解決了難點(diǎn).幾何畫板的動(dòng)畫演示，加深了學(xué)生對(duì)三角形高線的認(rèn)知，自此，他們的感知也由感性上升到理性.

3.4再次探究，拓展模型

問題4：三角形的“三線”是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的特殊情況，大家想過這三條線又會(huì)出現(xiàn)什么特殊情況嗎？

預(yù)設(shè)：三條線中的兩條可能重合，比如角的平分線與中線可能重合，…….

追問：這三條線可能重合嗎？也就是滿足上面特殊情況的點(diǎn)D會(huì)不會(huì)成為同一個(gè)點(diǎn)？

學(xué)生此時(shí)會(huì)產(chǎn)生困惑，教師可借助幾何畫板的動(dòng)畫演示，讓學(xué)生觀察，不斷改變?nèi)切蔚男螤?，?dāng)三角形→等邊三角形時(shí)，三角形的三線重合，也就是滿足所有特殊情況的點(diǎn)D成為同一個(gè)點(diǎn).

問題5：請(qǐng)大家分組畫出不同形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）的三角形所有的“三線”（1-2組畫不同形狀三角形的中線，3-4組畫不同形狀三角形的角平分線，5-6組畫不同形狀三角形的高線），看看有沒有新發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：不管三角形的形狀如何，同一三角形的三條線一定相交于同一個(gè)點(diǎn).

追問：“三線”雖然不同，但它們各自的三條線分別交于同一個(gè)點(diǎn)，這樣形成了三個(gè)點(diǎn)，那這三個(gè)點(diǎn)的意義相同嗎？我們可以借助什么區(qū)分這三個(gè)點(diǎn)？

預(yù)設(shè)：因?yàn)檫@三點(diǎn)是不同三線的交點(diǎn)，因此可以給它們不同的命名.

師生談話：大家想法很好，三條中線的交點(diǎn)稱之為重心，三條高線的交點(diǎn)稱之為垂心，三條角平分線的交點(diǎn)稱之為內(nèi)心.

追問：這“三心”既然是特殊情況下產(chǎn)生的，大家猜想一下，這“三心”是否具備特有性質(zhì)？你還能提出什么新的問題？

預(yù)設(shè)：對(duì)“三心”的性質(zhì)學(xué)生可能會(huì)有阻力，但學(xué)生可能會(huì)提到，三線在特殊情況下會(huì)重合，那三角形的“三心”會(huì)不會(huì)重合？

設(shè)計(jì)意圖此環(huán)節(jié)是對(duì)三角形“三線”的拓展與延伸，把“三線’推向?qū)?yīng)的“三心”，提升對(duì)“三線”的認(rèn)識(shí)，尤其是“三線”是否重合、“三心”的得出、“三心”的性質(zhì)，這些均是順承一步一步探索而獲得的，是幾何直觀發(fā)揮作用的結(jié)果，不深入探究而點(diǎn)到為止，目的只是為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下“種子”，幫助學(xué)生初步建構(gòu)三角形這一基本圖形的認(rèn)知體系，便于加深他們對(duì)三角形的整體認(rèn)識(shí)而已.

3.5反思評(píng)價(jià)，總結(jié)模型

問題5：請(qǐng)大家結(jié)合“三線”的學(xué)習(xí)過程，談一下收獲？

引導(dǎo)學(xué)生從“如何得出三線，如何對(duì)三線進(jìn)行研究，如何拓展”三個(gè)方面進(jìn)行總結(jié).幫助學(xué)生完成本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

3.6解決問題，運(yùn)用模型

結(jié)合教材習(xí)題11.1的第4題、第8題、第9題，對(duì)接本節(jié)課所學(xué)，試試能提出哪些問題？

設(shè)計(jì)意圖聚焦三角形“三線”知識(shí)點(diǎn)，借助開放變式，在鞏固新知的同時(shí)，加深學(xué)生對(duì)“四基”的理解.特別說明：若這一環(huán)節(jié)課堂完成不力或不能完成，可作為課后作業(yè)處理.

4教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

4.1“動(dòng)靜”結(jié)合，觸類旁通

因本節(jié)課是人教版八年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，與學(xué)習(xí)線段、角的內(nèi)容時(shí)間跨越了一個(gè)多學(xué)期，故在此通過兩個(gè)問題喚醒學(xué)生對(duì)這一研究方法的認(rèn)識(shí).掌該該方法，對(duì)從運(yùn)動(dòng)變化的角度理解三角形的“三線”有很大的指導(dǎo)意義.同時(shí)，學(xué)生學(xué)會(huì)了這種思考問題的方法，形成了這樣的一般觀念，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形、圓等圖形都會(huì)產(chǎn)生遷移力，此即為“觸類旁通”的意義所在.

4.2以靜制動(dòng)，“魚漁”共贏

從知識(shí)層面，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了三角形的“三線”；從方法層面，本節(jié)課主要引導(dǎo)學(xué)生從“運(yùn)動(dòng)變化”角度理解三線的概念，學(xué)會(huì)“動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)”問題的解決方法，可以說，這種思考問題的方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中比概念的獲得更重要.為此，本節(jié)課提出“動(dòng)靜結(jié)合，觸類旁通”的課堂教學(xué)策略，旨在幫助學(xué)生形成此類問題的一般觀念：以靜制動(dòng)，動(dòng)靜互助，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與思維方法.

4.3以美啟真，文理相融.

本節(jié)課自始至終可以稱之為一次感知、體驗(yàn)數(shù)學(xué)美的學(xué)習(xí)旅程.其一，統(tǒng)一之美（和諧美）.統(tǒng)一性反映的是審美對(duì)象在形式或內(nèi)容上的某種共同性、關(guān)聯(lián)性或一致性，數(shù)學(xué)對(duì)象的統(tǒng)一性通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一.其二，整體之美.首先是本節(jié)課的整體定位，即用整體觀念、整體教學(xué)法組織整節(jié)課的教學(xué)，從完善的角度進(jìn)一步研究三角形的性質(zhì)，除了三角形的邊、角等本體元素外，還有緊密相關(guān)的其它元素——三線，尤其是線段中點(diǎn)與中線的關(guān)聯(lián)、角的平分線與三角形角平分線的關(guān)聯(lián)、垂直與三角形高線的關(guān)聯(lián)等，這些都彰顯出前后知識(shí)的結(jié)構(gòu)性、聯(lián)系性、發(fā)展性；其次，本節(jié)課不是著眼于研究“三線”各自的一條，而是窮盡所有去探索，從而出現(xiàn)了三角形著名的“三心”.其三，辨證之美.縱觀整個(gè)設(shè)計(jì)，動(dòng)與靜、一般與特殊、數(shù)與形、具象與抽象、道法與術(shù)器等展露出的辯證之美，讓數(shù)學(xué)教學(xué)有了哲學(xué)的味道.整個(gè)設(shè)計(jì)“潤物無聲”地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)特有的“真、善、美”，知識(shí)、能力、素養(yǎng)融為一體，讓數(shù)學(xué)教學(xué)有了高度.

【基金項(xiàng)目：山東省教育教學(xué)研究重點(diǎn)課題“基于初中數(shù)學(xué)課程整合的單元教學(xué)案例研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2020JXZ026）的階段性研究成果.】

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：1.

[2]邢成云.順承已有知識(shí)，厘定研究路徑[J].教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（7）：53-58.