基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學規(guī)則課教學設(shè)計的策略研究

李強 朱永燦

【摘? 要】? 培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的主陣地在課堂，對數(shù)學性質(zhì)、定理、法則、公式等規(guī)則內(nèi)容的教學，成為其重要載體.由此，對規(guī)則課進行有效設(shè)計，并構(gòu)建適切性的教學設(shè)計策略顯得尤為必要.本文從梳理、理解規(guī)則內(nèi)容入手，結(jié)合規(guī)則內(nèi)容與核心素養(yǎng)指向，以規(guī)則內(nèi)容的系統(tǒng)化問題提出情境創(chuàng)設(shè)和研究過程中任務(wù)活動設(shè)計2個方面為主要對象進行教學設(shè)計的研究，并提出基于理解的、指向數(shù)學核心素養(yǎng)的相應教學策略.

【關(guān)鍵詞】? 核心素養(yǎng)；規(guī)則課；課堂教學

素養(yǎng)是可學、可教和可測的，即可經(jīng)由后天學習獲得的.同時數(shù)學核心素養(yǎng)不是獨立于知識、技能、思想、經(jīng)驗之外的“神秘”概念，它綜合體現(xiàn)出對數(shù)學知識的理解、對數(shù)學技能方法的掌握、對數(shù)學思想的感悟以及對數(shù)學活動經(jīng)驗的積累.基于此，我們認為：數(shù)學學科教學活動是數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑.數(shù)學核心素養(yǎng)是在數(shù)學學習過程中逐步形成的，而學生數(shù)學學習的主要途徑是教師引導下的教學活動，尤其是數(shù)學課堂教學活動.數(shù)學知識內(nèi)容的教學是數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的主要載體.數(shù)學學習就是數(shù)學知識內(nèi)容的學習，數(shù)學知識內(nèi)容主要是以概念、性質(zhì)、定理、公式、法則等形式呈現(xiàn)，所以數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，就是要通過平時的數(shù)學知識內(nèi)容的有效教學來實現(xiàn).根據(jù)數(shù)學知識內(nèi)容的不同特點有效設(shè)計知識的學習過程是數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的落腳點.

1? 規(guī)則內(nèi)容的梳理與呈現(xiàn)特點

1.1? 規(guī)則內(nèi)容的梳理

數(shù)學知識中性質(zhì)、定理、公式、法則等從教育心理學出發(fā)可以分類為規(guī)則，實施這些內(nèi)容的教學可以稱之為規(guī)則課教學，所以規(guī)則內(nèi)容的研究，是進一步對“教什么”的深度理解.我們需要探尋規(guī)則知識（性質(zhì)、定理、法則、公式等）發(fā)生、發(fā)展規(guī)律和特點，從而優(yōu)化規(guī)則課教學設(shè)計策略，努力建構(gòu)起與數(shù)學規(guī)則課教學相匹配的數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)指向.

分領(lǐng)域?qū)Τ踔薪滩闹械闹饕?guī)則內(nèi)容進行了梳理，具體見下兩表格.

1.2? 規(guī)則內(nèi)容的呈現(xiàn)特點

對于教材中規(guī)則內(nèi)容的呈現(xiàn)，我們通過比較分析，發(fā)現(xiàn)存在一些特點：

（1）數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)中不論法則、公式還是性質(zhì)，教材都先給出一些具體實例，然后通過觀察、分析、歸納、概括出相應的結(jié)論，最后進行應用；同時在規(guī)則內(nèi)容的引入、規(guī)則內(nèi)容的概括歸納過程相對進行了留白.這樣的呈現(xiàn)特點突顯了代數(shù)教歸納的設(shè)計意圖與教學要求.

（2）圖形與幾何領(lǐng)域中性質(zhì)定理內(nèi)容的呈現(xiàn)都遵循著幾何教學的一般方法與規(guī)律，即呈現(xiàn)“操作—猜想—驗證—證明—應用”的過程，體現(xiàn)了合情推理和演繹推理相結(jié)合的特點，同時注重同一研究方法在不同幾何圖形教學中的應用，即“一般觀念”的體現(xiàn).而對于少許的公式教學，主要是強調(diào)公式推導和應用，突出邏輯推理.這樣的呈現(xiàn)特點突顯了幾何教類比的設(shè)計意圖和教學要求.

（3）所有規(guī)則內(nèi)容的安排都是在明確研究對象之后呈現(xiàn)的，所以它的提出更能體現(xiàn)知識的整體性和聯(lián)系性，更能反映代數(shù)或幾何研究的路徑和一般方法，更能體現(xiàn)研究的“一般觀念”.

2? 規(guī)則內(nèi)容的素養(yǎng)指向

雖然核心素養(yǎng)之間是一個有機整體，但我們認為不同規(guī)則內(nèi)容的教學可以側(cè)重指向主要的數(shù)學核心素養(yǎng).

（1）通過數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的法則、性質(zhì)、公式的良好教學，可以讓學生經(jīng)歷規(guī)則的概括抽象過程；可以讓學生明白規(guī)則知識的來龍去脈和弄清與其他知識間的聯(lián)系；可以讓學生更好地明白算理和熟練地應用規(guī)則.所以這些規(guī)則的良好教學能發(fā)展學生的抽象能力、運算能力、建模觀念數(shù)據(jù)觀念等核心素養(yǎng)，尤其是抽象能力和運算能力核心素養(yǎng).

（2）通過圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)的性質(zhì)、定理和公式的良好教學，可以幫助學生更好地掌握幾何研究的一般方法，掌握命題分析和證明的一般思路與步驟；可以幫助學生更好地建立起圖形、符號與文字之間的聯(lián)系，可以建立起圖形的幾何結(jié)構(gòu)與結(jié)論的代數(shù)表達之間的聯(lián)系.所以這些規(guī)則的良好教學能發(fā)展學生的幾何直觀、空間觀念、推理能力和建模觀念等核心素養(yǎng)，尤其是推理能力和幾何直觀等核心素養(yǎng).

3? 規(guī)則課教學設(shè)計的策略研究

從規(guī)則內(nèi)容的系統(tǒng)化問題提出情境創(chuàng)設(shè)和過程研究中活動任務(wù)設(shè)計2個視角展開.

3.1? 系統(tǒng)化問題提出情境創(chuàng)設(shè)策略研究

3.1.1? 從代數(shù)研究的路徑方法視角，創(chuàng)設(shè)有效的問題提出情境

設(shè)計情境不是戴“帽子”.代數(shù)規(guī)則內(nèi)容教學時應強調(diào)多從數(shù)學知識的內(nèi)部聯(lián)系或遵循應有的研究“套路”出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，這樣更能體現(xiàn)邏輯性和整體性，更有數(shù)學味.

案例1? 七上 2.1 有理數(shù)的加法研究對象獲得設(shè)計

為了讓學生思考更自然，突出對數(shù)的研究的方法性和數(shù)的教學的一般性，我們創(chuàng)設(shè)了如下的情境：

前一章我們已經(jīng)學習有理數(shù)相關(guān)概念及其分類，那么請同學們思考以下問題：

（1）小學里學過整數(shù)或分數(shù)以后，接下學習的是什么知識？由此你覺得學習數(shù)學主要是要學習什么？（運算）

（2）我們已經(jīng)學習了有理數(shù)，那么你覺得接下去我們應該去研究有理數(shù)的什么內(nèi)容？（有理數(shù)的運算）

（3）有理數(shù)的運算我們從最基本的加法開始，這里面你有熟悉或已經(jīng)學過的知識嗎？（小學學過的數(shù)的加法就是兩個正有理數(shù)相加）

（4）為了研究的方便你會如何分類來研究？

從學習數(shù)學主要是要學習數(shù)的運算這一根本性的認識出發(fā)，回顧學生已有的數(shù)的加法運算就是兩個正有理數(shù)的加法運算，自然思考研究有理數(shù)加法先需要分類，即分為正+正，正+負，正+0，負+負，負+正，負+0.這樣從數(shù)學知識內(nèi)部聯(lián)系創(chuàng)設(shè)的情境更有數(shù)學味，顯得更自然，更能激發(fā)學生的思考和求知欲.

案例2? 5.2? 等式的基本性質(zhì)研究對象獲得設(shè)計

如何認識等式的基本性質(zhì)？如何體現(xiàn)數(shù)、式與等式（方程）研究方法的一致性？我們創(chuàng)設(shè)如下情境：

（1）前面我們已經(jīng)學習了有理數(shù)和代數(shù)式，請大家回憶一下有理數(shù)和代數(shù)式的學習路徑是怎樣的？（數(shù)或式的概念→性質(zhì)（大小關(guān)系）→運算→應用）

（2）由研究整式的相等關(guān)系我們自然獲得了研究對象：等式（方程），由不等關(guān)系自然獲得了另一研究對象：不等式.那么方程（等式）的學習路徑應該是怎樣的呢？

（3）你覺得等式的性質(zhì)指的是什么？（等式運算的不變性和規(guī)律性）我們?nèi)菀字赖仁骄哂凶苑葱裕╝ =b→b = a）和傳遞性（a = b，b = c→a = c），那么研究等式的性質(zhì)就是要研究等式（a = b）在加減乘除乘方開方運算中保持的不變性或規(guī)律性.

在此情境中類比數(shù)與式的研究路徑自然提出等式的研究路徑，同時在指出性質(zhì)的本質(zhì)時明確了研究等式性質(zhì)的路徑；而且也整體呈現(xiàn)了數(shù)、式、方程和不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系和相似研究路徑，系統(tǒng)建構(gòu)了知識間的內(nèi)在聯(lián)系.

3.1.2? 從幾何研究的路徑出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有效的問題提出情境

依據(jù)幾何知識的內(nèi)在聯(lián)系，或者合理運用“先行組織者”進行類比來創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，是獲得幾何規(guī)則（定理與性質(zhì)）研究對象的具體方法，這樣的情境更具“幾何味”.

案例3? 八上 1.5全等三角形④角平分線性質(zhì)定理研究對象獲得設(shè)計

角平分線性質(zhì)定理作為一個例題的結(jié)論提出顯然缺乏整體性，我們創(chuàng)設(shè)如下情境：

我們已經(jīng)學習了線、角、相交線、平行線、三角形等幾何圖形，在獲得幾何圖形（概念、表示）之后，我們需要研究幾何圖形的性質(zhì)，那么：

（1）什么是幾何圖形的性質(zhì)？（幾何圖形在位置、大小、形狀上的不變性和規(guī)律性）

（2）角平分線的性質(zhì)指的是什么？（結(jié)構(gòu)上形成的角的大小關(guān)系；角平分線上的點具有的不變性）

（3）角是由兩條射線組成的，所以圖形結(jié)構(gòu)是3條射線，所以就是要研究角平分線上的點和角的兩邊上的點之間的線段長（距離）之間的大小關(guān)系，請你畫畫圖形，你得出了什么結(jié)論？

從已有的幾何圖形研究經(jīng)驗和一般觀念出發(fā)，通過類比和聯(lián)系，可以獲得角平分線性質(zhì)的研究路徑和具體內(nèi)容，然后進行具體研究，這樣的“套路”是對數(shù)學思想和方法的深度滲透，是真正落實用數(shù)學的方式育人.

案例4? 八上2.7探索勾股定理研究對象獲得設(shè)計

（1）直角三角形具有哪些性質(zhì)？請從邊，角，特殊線段分別描述.

（2）已經(jīng)學過的直角三角形判定方法有哪些？已有的判定與性質(zhì)是什么關(guān)系？（互逆定理）

（3）那么從邊考慮勾股定理是否也存在逆定理呢？請你試著寫出勾股定理的逆命題，并畫出圖形寫出條件和結(jié)論.

幾何中性質(zhì)和判定是兩個互逆的命題，是從正反兩個方面對幾何圖形的研究，本來具有一貫性.同時到這節(jié)課時應系統(tǒng)呈現(xiàn)對直角三角形判定的研究思路，所以這樣的設(shè)計不僅自然導入對勾股定理逆命題的探討，從而獲得研究對象，而且也培養(yǎng)了學生系統(tǒng)思維的方法.

總之，代數(shù)與幾何規(guī)則內(nèi)容的情境教學設(shè)計，均強調(diào)從代數(shù)或幾何研究的相應路徑出發(fā)，突出數(shù)學的內(nèi)部聯(lián)系，讓學習問題的提出自然而富有知識的邏輯性（即知識的產(chǎn)生更自然而富有邏輯），從而使得問題的研究更有系統(tǒng)性和數(shù)學味.

3.2? 研究過程中任務(wù)活動設(shè)計策略研究

3.2.1? 以問題串為引領(lǐng)，凸顯觀察、分析、歸納、概括等數(shù)學思維活動

教學過程中教師最大的作用是引導啟發(fā)，而推動引導啟發(fā)必須依靠任務(wù)問題，所以問題串的設(shè)計是促進學生深刻理解數(shù)學知識的關(guān)鍵手段，是促進學生觀察、分析、概括、抽象等數(shù)學思維活動有效發(fā)生的載體.促進數(shù)學規(guī)則內(nèi)容的真正理解，才能真正發(fā)展運算能力等核心素養(yǎng).

案例5? 七上5.2等式的基本性質(zhì)探究過程設(shè)計

從運算的角度和幾種運算之間的關(guān)系思考：

（1）思考加法運算，對于等式a = b，那么a = b +1成立嗎？a +1= b +1呢？a +1= b + 2呢？a + 2= b + 2呢？a + c = b + c呢？由此你得到了什么發(fā)現(xiàn)或結(jié)論？請你用文字語言表達你的發(fā)現(xiàn)嗎？用數(shù)學符號怎么表示？

（2）減法是加法的逆運算，根據(jù)加法運算，你會得到怎樣的結(jié)論？你能概括加法和減法運算的結(jié)論嗎？

（3）乘法是特殊的加法運算，你能在加法運算的基礎(chǔ)上進行推導嗎？

（a = b，a + a =b + a = b + b，2a = 2b；2a + a = 2b + a = 2b + b，3a = 3b，---，） 你能用文字語言或數(shù)學符號表達你的發(fā)現(xiàn)嗎？

（4）除法運算怎么研究？請概括乘法和除法運算的結(jié)論．

（5）加減乘除是基礎(chǔ)運算，那么對于等式a = b，如何進行乘方和開方（開平方）運算，你能提出怎樣的結(jié)論？

從運算的角度去理解等式的基本性質(zhì)是對其本質(zhì)的正確認識.從數(shù)到字母到規(guī)律地探索，通過代數(shù)推理，學生推理能力和抽象能力等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng).

3.2.2? 以任務(wù)串為核心，實現(xiàn)獨學、合學與展學的有機結(jié)合

教學中，要堅持學生的獨立思考和小組合作學習相結(jié)合，通過生生合作、師生合作交流碰撞，讓學生有機會認真想、大膽說、充分討論，以達到對數(shù)學知識的深度理解.

案例6? 八上5.4一次函數(shù)性質(zhì)探究設(shè)計

對于性質(zhì)的歸納可以設(shè)計如下活動：

（1）請以同桌同學為一小組，任意選取一對k、b的取值，然后畫出一次函數(shù)y = kx + b的圖象.

（2）選定自變量x的具體取值x1、x2，請你計算對應的函數(shù)值y1、y2的大?。煌瑫r觀察對應的點（x1 ，y1），（x2 ，y2）在圖象的位置，思考函數(shù)值的大小與自變量大小的對應關(guān)系？你覺得這樣的大小對應關(guān)系與哪個量有關(guān)？

（3）請你與前后小組同學的具體一次函數(shù)對照，她們是否具有你們觀察到的性質(zhì)？如果一樣，你覺得原因在哪里？如果不一樣，你覺得是什么原因造成的？

（4）以大組為單位，展示你們的發(fā)現(xiàn).請歸納函數(shù)的增減性與系數(shù)k的關(guān)系并用文字語言描述.

上述教學設(shè)計以小組舉例畫圖象具體展開，到大組展示，學生觀察到的圖象具體而豐富，為學生歸納一次函數(shù)的增減性提供了豐富的素材.同時通過問題引領(lǐng)，從小組畫圖的自我認識到大組本質(zhì)問題的分析，從代數(shù)的計算認識到圖象的直觀感知，讓增減性的分析得出、抽象概括顯得規(guī)律自然，讓學生對增減性的理解更加深刻，學生的核心素養(yǎng)得到了有效提升.

3.2.3? 以邏輯鏈為核心，呈現(xiàn)“操作-猜想-驗證-證明”的幾何研究過程

呈現(xiàn)幾何定理性質(zhì)的研究過程，不僅能幫助學生厘清定理性質(zhì)的來龍去脈，識別圖形的結(jié)構(gòu)特征，提高圖形的直觀想象能力，進一步能理解定理性質(zhì)的本質(zhì)內(nèi)容，提升學生的合情推理和邏輯推理能力，增強分析問題和解決問題的能力.

案例7? 九上3.5圓周角定理的探索過程設(shè)計

（1）我們已經(jīng)知道什么是圓周角，那接下去應該研究圓周角的什么內(nèi)容呢（性質(zhì)）？性質(zhì)就是大小關(guān)系，就是角的度數(shù)，那么圓周角的大小可能與哪個量有關(guān)？

（2）給出如圖6圖形，請你畫出所對的圓周角.

（3）思考：你畫出的圓周角在位置上與你的同學有無區(qū)別？區(qū)別在哪？不同位置下畫出的圓周角的度數(shù)是否相同？你是如何判斷的？相同位置下畫出的圓周角度是否相同？你覺得原因是什么？

（4）根據(jù)剛才的討論，那么弧的度數(shù)與所對圓周角的度數(shù)在數(shù)量上可能有何關(guān)系？你會如何判斷？既然弧的度數(shù)不可測量，那么你會轉(zhuǎn)化為哪個可測量（圓心角）？

（5）同弧所對的圓心角和圓周角有何數(shù)量關(guān)系？你如何判斷？再請你結(jié)合老師給出的幾何畫板，請你演示驗證.你能驗證在不同位置下的圓周角是否也有這個結(jié)論嗎？

（6）如何證明這個結(jié)論呢？根據(jù)討論，同弧所對的圓周角有3種不同的位置情況，你覺得這3種情況都要證明嗎？從哪種開始比較好？為什么？

（7）先請同學試著尋找思路.啟發(fā)：觀察圓心角和圓周角的位置特征，它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)處在哪里？最后我們一起來交流并完成證明.

從圓周角度數(shù)的決定因素（?。┏霭l(fā)，通過學生嘗試自己畫圖（體現(xiàn)幾何直觀），比較不同位置下的圓周角，經(jīng)過測量把無限問題轉(zhuǎn)化為有限的3個不同位置的問題；同時通過把不可測量轉(zhuǎn)化為可測量，研究對象轉(zhuǎn)化為同弧所對的圓周角與圓心角之間的大小關(guān)系.最后經(jīng)過測量、猜想結(jié)論、證明結(jié)論完成對圓周角結(jié)論的探索.這樣的設(shè)計線索清晰、問題提出與轉(zhuǎn)化自然、思想方法滲透自然，學生思維得到有效訓練與提升.

3.2.4? 以多元表征為切口，揭示幾何圖形結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)論聯(lián)系

數(shù)學多元表征，就是將同一數(shù)學學習對象用敘述性（言語化表征）和描繪性（視覺化表征）兩種本質(zhì)不同的多形式表征.幾何定理性質(zhì)的教學，要突出強調(diào)用文字語言、符號語言和圖形語言3種不同的方式對定理性質(zhì)的表達就是對性質(zhì)定理的多元表征，而其中的符號語言和圖形語言就是用“數(shù)”和“形”兩個不同的角度對定理性質(zhì)的視覺化表征.教學過程中，要強調(diào)用“數(shù)”和“形”來揭示條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，來揭示基本圖形結(jié)構(gòu)和變式結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)論之間的對應聯(lián)系.只有如此才能在復雜的圖形中分解出蘊含定理性質(zhì)的基本圖形結(jié)構(gòu)，從而找到所需要的代數(shù)結(jié)論.

案例8  定理性質(zhì)的多元表征舉例

案例9? 圖形結(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)論聯(lián)系揭示與應用舉例

如圖8，已知△ABC中，AB＝AC=2，銳角∠BAC＝，AD⊥BC于點D．在AD上取一點E，

使得AE＝BC，連結(jié)CE并延長交AB于點F．設(shè)AF＝x，tan∠BAD＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的關(guān)系式為? ? ? ．

把復雜的圖形結(jié)構(gòu)通過問題分析逐步分離為基本圖形結(jié)構(gòu)從而運用其中的代數(shù)結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，這樣的前提是要對定理性質(zhì)的多元表征策略教學到位.

4? 結(jié)語

總之，數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)規(guī)則內(nèi)容的探究過程應該是也必須是一個讓學生真正經(jīng)歷知識形成的過程.數(shù)學規(guī)則內(nèi)容的教學設(shè)計，要在問題導向或任務(wù)驅(qū)動下以不同的學習路徑表現(xiàn)為線索，遵循問題研究的“一般觀念”，凸顯知識的整體性和聯(lián)系性，讓學生真正經(jīng)歷觀察、操作、分析、歸納、類比、推理、抽象等數(shù)學思維活動，厘清規(guī)則的來龍去脈，理解其本質(zhì)，從而獲得相應的學科核心素養(yǎng).

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