實在論視角下的大基數(shù)

寇亮

1 引言

大基數(shù)1一個序數(shù)κ 是基數(shù)當且僅當|κ|= κ。是當代集合論研究中的一個重要領域。對大基數(shù)的研究開始于豪斯道夫（F.Hausdorff）對正則的極限基數(shù)的研究，他發(fā)現(xiàn)這樣的基數(shù)必須滿足κ=?κ，因此是直觀上相當“大”的基數(shù)；又因為“ZFC+存在這樣的基數(shù)”能證明ZFC一致，故而其一致性強度比ZFC 更強。2大基數(shù)有時并不指其為很“大”的一個基數(shù)，而單指它的一致性強度很強，例如0?。我們說大基數(shù)A 比B 強，若在ZFC+A 中能證明ZFC+B 一致。隨著大基數(shù)理論的發(fā)展，大基數(shù)根據(jù)一致性強度形成了一個含有一定秩序的譜系，一些有較強一致性強度但并不斷言特定基數(shù)存在的命題也被統(tǒng)稱為大基數(shù)。3例如，萊因哈特基數(shù)（Reinhardt cardinals）。

為集合論尋找ZFC 之外的新公理并為其辯護是哥德爾綱領的一部分，而大基數(shù)恰好是哥德爾綱領在現(xiàn)代集合論中的重點考慮對象，故而有時大基數(shù)也被稱為大基數(shù)公理。哥德爾（K.G?del）在其《什么是康托爾的連續(xù)統(tǒng)問題》一文中最早同時引入了內在辯護和外在辯護。公理能夠獲得外在辯護，如果其具有數(shù)學上的成功性，其中成功性指：“其成果的豐富性，特別是‘能證實的’成果（的豐富性），即，不使用新公理能證的那些成果，卻在新公理的幫助下能異常簡潔且容易發(fā)現(xiàn)，還能把許多不同的證明壓縮成一個”。（[9]，第521 頁）

與外在辯護對應的是同時引入的內在辯護。哥德爾認為，有一些公理是內在必要的（intrinsically necessary），我們要引入的新公理可以“僅僅展開了……集合概念的內容”（[9]，第518 頁）就得到辯護。更具體一點，哥德爾指出，我們應該尋找那些“斷言‘……的集合’運算的更遠迭代存在的新公理”，集合就是“那些從整數(shù)（或其它良定義的對象）通過迭代應用‘……的集合’運算得到的東西”。更具體地，哥德爾在未發(fā)表的《數(shù)學基礎的現(xiàn)狀》中指出，“假設集合的公理系統(tǒng)（ZF）達到了終點……是錯誤的。因為，在系統(tǒng)中所有出現(xiàn)的類可以被看作一個新的對象的域，且被用來作為一個新的起點，來創(chuàng)造出更高的類型（type）”。（[8]，第46-48 頁）

考爾納（P.Koellner）在其《集合論基礎——尋找新公理》中總結道，“簡單地講，對新公理的基于集合迭代觀念的內在辯護指表明新公理只是展現(xiàn)了集合這個觀念的內涵。相反，對集合的外在辯護則著眼于別的特征，諸如豐富成果或與其它公理的結構性關系。”麥蒂（P.Maddy）在其《為公理辯護》中，將內在辯護總結為自明的、直觀的，是“集合這個概念”的一部分，而外在辯護是有效的（effective），豐富的（fruitful）和富有成果的（productive）。

根據(jù)上文提到的哥德爾本人的陳述與考爾納、麥蒂對內在辯護的粗略概括，不難發(fā)現(xiàn)，粗略地講，所謂內在辯護，是基于集合這個概念本質的辯護；而外在辯護是基于數(shù)學結果豐富性的辯護，是一種出于當下數(shù)學實踐實用性的辯護。這兩種都是為潛在新公理的辯護。

至此，足以引出第一個問題：數(shù)學需要ZFC 之外的新公理嗎？為什么我們要尋找新公理？如果數(shù)學不需要ZFC 之外的新公理，那么顯然所有目前所有已知的獨立性命題都已經處于“被解決了”的狀態(tài)：答案就是，ZFC 既不能證明它，也不能證否它。而若持有這樣的觀點，又難以回答為什么將ZFC 作為數(shù)學證明的出發(fā)點，而不將PA 作為出發(fā)點。若僅將隨意選擇的一族語句作為公理，記錄下它們的邏輯后承，那么，為什么不將所有的符號串都記錄下來（將一族矛盾的語句作為公理）？事實上，ZFC 為何是不同于其它符號串的公理，即“數(shù)學是否需要一個標準的公理系統(tǒng)作為基礎”也是一個難題。

另一個問題是：若外在辯護和內在辯護是某些集合論學家相信大基數(shù)一致性、甚至相信它存在4如前文所述，有些大基數(shù)斷言某個集合存在，而有些大基數(shù)僅僅是一個一致性強度較強的斷言。的理由，那么似乎內在辯護并非對任意哲學觀有著相同的說服力。因為，“內在辯護”的提法似乎對非實在論者而言是荒謬的：由于集合宇宙并不是客觀存在的，因此我們甚至不知道如何討論集合概念的本質。

上面由大基數(shù)公理的辯護所引出的兩個問題，本質上都與如何理解公理有關，因而是與數(shù)學和哲學均密切相關的問題。本文試圖從一種特別的實在論視角回答上述兩個問題。第一個問題，需要闡釋這種實在論視角下如何看待集合論研究的本質；第二個問題，需要闡釋這種實在論視角下如何看待大基數(shù)內在辯護的可行性。

2 數(shù)學中的實在論與反實在論

傳統(tǒng)上，經典的數(shù)學哲學依據(jù)不同的哲學主張被分為邏輯主義、形式主義、直覺主義，一言以蔽之，它們主要討論以什么樣的方法來處理元數(shù)學問題。5典型的元數(shù)學問題包括：數(shù)學合理性來源的問題、算術的一致性問題、一個數(shù)學系統(tǒng)的完全性問題等等。因此，它們主要聚焦于數(shù)學基礎問題。20 世紀50 年代左右，伴隨著公理化集合論的發(fā)展和數(shù)學危機的解除，數(shù)學家們逐步開始遠離數(shù)學基礎的討論。由此，傳統(tǒng)的哲學問題逐步在數(shù)學哲學討論中嶄露頭角。比如，傳統(tǒng)哲學中最經久不衰的關于存在的討論在數(shù)學哲學中再次復興。（[20]，第13 頁）即，對數(shù)學而言，真正存在的只有具體的殊相，還是共相也是獨立于人意識的存在？這大約對應著數(shù)學哲學的存在論問題：數(shù)學對象是什么？它們是獨立于人心之外的存在嗎？由這個問題又引發(fā)了知識論的討論，即數(shù)學知識是如何獲得的？

一些哲學家堅持數(shù)學對象是人心之外獨立存在的抽象對象。顯然，數(shù)學對象不與任何殊相對應，因此這大約對應著承認共相存在。這種觀點被稱為數(shù)學實在論或數(shù)學柏拉圖主義。另一些哲學家則認為，數(shù)學對象并不是這些抽象對象，這樣的觀點被稱為反實在論或反柏拉圖主義。在巴拉古爾（M.Balaguer）的著作《數(shù)學中的實在論與反實在論》中，他這樣刻畫實在論與反實在論：（[2]，第5 頁）

1.數(shù)學中的實在論指：

(a) 存在諸如數(shù)這樣非時空的、獨立于我們的數(shù)學對象；

(b) 數(shù)學理論是在描述這樣的對象。

2.數(shù)學中的反實在論指：

(a) 不存在抽象對象；

(b) 數(shù)學理論需要其它解釋。

但是，實在論與反實在論對概括當代數(shù)學哲學中的不同觀點仍顯不足。例如，林內波（?.Linnebo）在[14]中將柏拉圖主義劃分出對象實在論和真值實在論；麥蒂（P.Maddy）甚至曾將“柏拉圖主義”一詞用于描述將數(shù)學還原為物理對象的物理主義。（[15]）柏拉圖主義內，對數(shù)學對象的辯護也截然不同。比如，蒯因（W.V.Quine）和普特南（H.Putnam）提出的不可或缺論證被視為對實在論的一大支持，這也意味著這種實在論事實上只接受所謂對科學有用的數(shù)學對象。反實在論所指涉的內容則更加廣泛：它涵蓋了從自然主義到物理主義等等不同層次的哲學觀點。

在[26]以及[33]中，王浩曾采納哥德爾的建議，以所接納數(shù)學對象由弱到強的線性關系分析各個數(shù)學哲學的學派：

……在這個大跳躍6此處指有窮的數(shù)到無窮的數(shù)之間的跳躍。見[33]，第272-274 頁。后，一些熟知的問題，如潛無窮與實無窮、構造與描述、直謂與非直謂定義、可數(shù)與不可數(shù)集合、強無窮性公理等等，才以現(xiàn)在的形式出現(xiàn)……

一旦……承認了無窮多的數(shù)，我們就立即面臨著希爾伯特的有窮主義、布勞威爾的直覺主義和古典數(shù)論之間爭論的根本內容。下一步的擴張是……考察任意（不可數(shù)多的）數(shù)集……再考慮這些集合的集合，它們的集合，等等，則導致任意集合。這個簡略的概括，大約說明了不同領域之間人們熟知的現(xiàn)有分歧的主要特色。（[33]，第275 頁）這樣的劃分按照所接受無窮的強弱來進行，因而對這些不同強度的無窮對象的接受程度構成了數(shù)學哲學觀的一個自然分層。例如，若只接受極為狹窄的有窮對象，并認為其本質是對真實存在的物理對象的抽象，那么這大約對應著一種嚴格有窮主義的數(shù)學哲學；若接受自然數(shù)到實數(shù)之間的數(shù)學對象則可能對應著直覺主義數(shù)學哲學以及蒯因的實在論；而若接受高階無窮對象，即大基數(shù)的數(shù)學哲學，則對應著一種強實在論。對不同程度無窮對象的接受與否還對應著可接受的數(shù)學系統(tǒng)強弱，例如嚴格的有窮主義可能僅接受原始遞歸算術的部分片段，蒯因的實在論至少能接受二階算術，而強實在論不僅接受ZFC，也接受大基數(shù)公理。

正如第一節(jié)談到的那樣，為接受高階無窮對象，哥德爾建議考慮內在辯護和外在辯護兩種辯護策略，為大基數(shù)公理做辯護。這是一種基于接受高階無窮的實在論7后文中提到的實在論一詞，將特指接受高階無窮的實在論。所提出的策略，因為反實在論者或者連ZFC 強度的數(shù)學系統(tǒng)也不能接受，或者認為為大基數(shù)公理尋找內在辯護是荒謬的。8例如，對形式主義而言，那些無矛盾的公理系統(tǒng)的所能推出的結論比系統(tǒng)本身更有意義，對于數(shù)學實踐而言，ZFC 更受到數(shù)學家的廣泛認可，因而是一個地位不同尋常的公理系統(tǒng)?？蓞⒖糩23]。對他們而言，根本沒有一個確定的“集合概念的本質”，或者說，談論作為抽象對象的”集合“的本質是荒謬的。

內在辯護的另一個難點是所謂貝納塞拉夫問題，這是由貝納塞拉夫（P.Benacerraf）于[3]一文提出的、針對實在論的疑難，其原始論證包含了“因果關系”這一條件。對因果關系的更進一步的解釋不在本文試圖討論的范圍內，我們討論弱版本的貝納塞拉夫問題，其論證大致如下：

1.對X而言，為獲得S的知識，需要解釋我們對S的認識機制；

2.數(shù)學對象是時空之外的對象；

3.人是生活在時空中的；

4.時空中的人如何認識時空之外的數(shù)學對象，這個認識機制是不明的；

5.因此，若數(shù)學知識是抽象數(shù)學對象的知識，那么我們不可能獲得這些數(shù)學對象的知識。

由本節(jié)的分析可以發(fā)現(xiàn)，為大基數(shù)公理辯護是一項實在論者提出的任務。特別地，為大基數(shù)公理提供內在辯護是僅對實在論者有意義的一項任務，但它的難點有二：其一，說明為什么“集合概念的本質”對實在論者為大基數(shù)提供辯護而言有突出的意義，其二，部分處理貝納塞拉夫問題。這也對應著第一節(jié)的末尾所提出的兩個問題。我們將在下面幾節(jié)處理這兩個問題。

3 實在論視角下的集合論

本節(jié)我們將試圖說明，實在論視角下，對“集合概念本質”的探究對大基數(shù)的辯護而言是有意義的，并且這種意義并非僅由于實在論者將“集合”這種抽象對象毫無根據(jù)地統(tǒng)統(tǒng)看作實際存在的數(shù)學對象，而是源自于一種獨特的實在論意義下的邏輯觀。這需要解釋這種實在論視角下的集合論研究和通常對集合論的理解有何不同。要解釋實在論視角下的集合論研究，一個自然的困難是解釋集合論研究與哲學研究之間的關系，因為通常的觀點認為，集合論是純粹數(shù)學的一部分，它是價值無涉或哲學無涉的。數(shù)學哲學對集合論的興趣，僅僅源自所有的數(shù)學都可以還原為集合論。我們選擇從邏輯、哲學、集合論三者的關系作為切入口。

集合論為什么是邏輯學的一部分？邏輯學又為什么會和哲學有聯(lián)系？這是兩個令人困惑的問題。按照流行的對邏輯學的理解，人們9包括絕大部分近現(xiàn)代哲學家（例如康德），以及絕大部分沒有接受任何邏輯學教育的普通人?；蛘邔⑦壿嬂斫獬杉兇獾摹⒖斩吹?、沒有任何內容的形式：

邏輯之所以是形式的,是因為它的語言是由純粹的符號構成的,在未經解釋以前,它的詞項不實際地指稱任何對象,因此它的語句也沒有真假……在任何解釋下都真的這類語句以及語句間的這類關系被稱為‘邏輯形式’,它們被認為是邏輯學的主題,邏輯在這個意義上是形式的。（[30]，第49 頁）

人們熟知的對邏輯的題材的刻畫，起頭便是贊同邏輯真理包含而且只包含有效的命題，有效的意思是說，不管那些概念和課題在現(xiàn)實世界里是怎樣的，這些命題都真。邏輯概念或邏輯常項因此便是有效的命題中出現(xiàn)的那些基本的或不可替代的概念。（[33]，第19 頁）

或者將邏輯作為某些哲學思考的工具，例如使用時態(tài)邏輯來刻畫對時間相關的推理，從而在邏輯框架下討論一些哲學命題；又如普蘭丁格（[19]）利用模態(tài)邏輯系統(tǒng)進行神學論證，等等。從前者的觀點看，集合論和邏輯的唯一關系是它使用了一階語言，因此，顯然集合論不是邏輯；從后者的觀點看，集合論不是在刻畫任何哲學家關心的諸如“時間”、“認知”這樣的概念，因此不是邏輯。總而言之，這兩種邏輯觀下，我們很難看出為什么集合論被稱為邏輯的一部分。

從上述邏輯觀出發(fā)，邏輯與哲學的關系使得哲學變得有些岌岌可危。古希臘時代，哲學家和智者被截然分開，而這種邏輯觀下的哲學工作似乎更接近智者學派對詭辯術的操弄：若邏輯是一種純粹哲學無涉的工具，那么我們可以利用邏輯得到幾乎任意形態(tài)的哲學結論。例如，任意刻畫一種關于時態(tài)的邏輯，都可利用此種“時態(tài)”觀點下的邏輯推論來“證明”一些哲學觀點；我們可以尋找各種理由，利用一套精心挑選的符號系統(tǒng)，為一些哲學觀點做辯護。

因此，即便集合論可被在學科分類上勉強被劃歸邏輯，集合論的結果和其它邏輯工具的結果沒有什么不同，都僅被用來為某些特定的哲學觀點做辯護——有時甚至會出現(xiàn)對同一定理的不同解讀。這樣看來，利用不同的工具討論同一問題下的不同觀點似乎就是哲學的課題，哲學當然也就成了與真理無關的學科，成為了諸多看似合理的理論辯論的賽場。也正因為如此，王浩才會對哲學做出如下的評論：

我之所以對哲學里歧見紛呈一事耿耿于懷，無疑與這種背景大有關聯(lián)。且看：多數(shù)數(shù)理邏輯專家專注于同一題目的不同部分，而哲學家們卻在回答同一個問題時，做出相互抵牾的結論。（[33]，第26 頁）

與這種工具論的邏輯觀非常相似一種論調是：數(shù)學的全部作用就是其在諸科學領域的應用。這種論調顯然表明，邏輯學或數(shù)學這種學科本身沒有任何價值，而這顯然不符合歷史上兩門學科的真實境況：

對經驗主義者而言，邏輯的作用是讓我們做推理。它不是去陳述命題，而是從一些命題過渡到另一些命題。對理論思想者而言，承擔這樣的推理（或蘊含）的命題也有其自身的興趣。（[33]，第347 頁）

不僅如此，這種邏輯觀顯然也無法解釋為什么邏輯學在歷史上與哲學關系如此緊密，這種緊密程度遠超同樣可以作為工具的其他具體科學：亞里士多德的形而上學正是基于《前分析篇》之中的邏輯學；黑格爾的邏輯學是他形而上學的中心；哥德爾等同時研究邏輯學和哲學等等。

本文的目標不是討論哪一種邏輯觀更為合理，但我們不得不指出，從另一種邏輯觀，我們能輕松地理解為什么集合論是邏輯。這種邏輯觀認為，邏輯學的研究目標是發(fā)現(xiàn)邏輯空間之中的客觀規(guī)律，就像物理學的研究為了找出物理空間中的客觀規(guī)律一樣。這種規(guī)律是概念本身和概念之間關系的規(guī)律，就像物理規(guī)律描述的是物理對象本身和物理對象之間關系的規(guī)律。這種視角下，一種獨特的實在論可持有這樣的觀點：所謂實在論者，正是認為存在著這樣非時空對象以及它們的規(guī)律的人。顯然，哥德爾正是持有這樣的邏輯觀，也正是這樣的實在論者。他依據(jù)這樣的邏輯觀將集合論自然地劃歸為邏輯學的一部分：

數(shù)學客體被給予我們，不像物理客體那樣直接。它們是介于理想世界和經驗世界之間的某種東西，是極限的情形，是抽象的?？腕w在空間之中或接近空間。集合是時空客體的極限情形……集合是準時空性的。（[33]，第328 頁）

毫無疑問，邏輯學的研究對象是形式的東西。但這并不意味著邏輯研究的對象毫無內容、脫離對象的，而是意味著客觀性和普遍性：

邏輯是形式的東西的理論。它包括集合論和概念論。初等（或謂詞）邏輯、非初等邏輯和集合論之間的區(qū)別是主觀的區(qū)別。主觀的區(qū)別依賴于心靈特殊的情形。形式的東西與心靈無關……初等邏輯是有窮心靈的邏輯。你若有了無窮的心靈，你便有了集合論。（[33]，第347 頁）

這種邏輯觀下，邏輯不僅只是工具，邏輯學本身更接近一門描述性的科學——盡管它所描述的規(guī)律并非從感覺觀察中直接獲得。按照哥德爾：

哲學的目的不是從無中證明一切，而是把所有清晰可見的東西——包括概念的關系——都假定為被給予的，就像形狀和顏色，它們來自感覺但無法從感覺中導出。實證主義者企圖從無中證明一切……結果，觀察便起著過大的作用。（[33]，第402 頁）

與此同時，我們還可以解釋邏輯與哲學為何有著超乎任何具體科學的親密性。邏輯是我們思想時所必須接受的內容，這并不是因為它是某種人為約定的規(guī)則或者工具，而因為它是最一般的關于概念的知識，因而事實上是我們思考任何具體概念的框架。它是所有信念之中最堅實、最具有普遍性的信念，因此對于依賴理性進行概念演繹的哲學而言，邏輯當然是其最為基礎、最為純粹的一個部分，而非僅僅只是工具。王浩就曾斷言：

關于邏輯和哲學的關系，說得不那么抽象一點則可采取如下的觀點：哲學作為世界觀，其目的乃是捕捉和描畫我們的內部資源的一般的和綜合的框架，借助于內部資源，我們接受、消化和解釋我們關于世界和關于我們自身的所有思想。照這樣的想法，邏輯組成了哲學的一個主要部分，甚至可以等同于所謂的純哲學。（[33]，第22 頁）

因此，邏輯學的諸多結果和這些結果之間的關系本就是哲學論證的一部分，自然談不上是一種工具。因此順理成章地，邏輯之中的結果、各結果之間的比較、可能結果的取舍自然也就是哲學論證之中最為有力的證據(jù)10必須指出，將邏輯作為工具和將邏輯學的結果作為證據(jù)有著本質的不同。因為，將邏輯作為工具時，我們或者依據(jù)特殊的邏輯系統(tǒng)，或者依據(jù)邏輯規(guī)則進行推理。當依據(jù)特殊的邏輯系統(tǒng)時，我們只能依據(jù)邏輯學之外的理由（通常這樣的理由基于感覺經驗）支持這個系統(tǒng)；當依據(jù)邏輯規(guī)則進行推理時，若從無出發(fā)，我們只能得到全體重言式。而將邏輯學的結果，例如集合論的結果作為證據(jù)時，我們的所有依據(jù)都來自于邏輯內部?？梢姾笪牡恼归_說明。。例如，如果數(shù)學哲學需要回答數(shù)學是否依賴于人的心靈，那么我們的一個可靠的方法便是依據(jù)集合論的結果，比較諸多的可能情況，以此判斷是否集合宇宙依賴人的心靈。從這個意義上看，邏輯、集合論、哲學三者才能真正是一體的。

4 實在論視角下的大基數(shù)問題

在這樣的邏輯觀和實在論視角下，集合概念是一個需要被探索的非時空中的概念，我們對它探索的結果決定著它唯一地存在或是不唯一地存在或是根本不存在。如果對集合概念的探索說明它的確存在，那么，它顯然是獨立于我們的心靈存在的抽象對象，且集合論的目標就是探索關于集合概念的基本規(guī)律。由此，大基數(shù)之合理性問題所需要的，并非構造一系列理論從而為大基數(shù)做辯護11例如，從對主流數(shù)學的實用性出發(fā)為大基數(shù)做辯護。又例如萊因哈特在[22]中那樣，構造一系列不自然的反映原則為大基數(shù)之合理性做辯護。，而是觀察集合概念的本質，探索大基數(shù)是否是它的一部分。因此，對大基數(shù)的辯護等同于對大基數(shù)的內在辯護，或等同于探索集合概念的本質。這實際對應了一個關于集合概念的猜想：

存在一個獨立于我們心靈的集合宇宙V，在其中有大基數(shù)。

并且，這只是對集合宇宙結構的諸多基于直觀的猜想中的一個。這些猜想的正確與否，需要集合論內部的理由作為支撐，也就需要我們考察哪些定理支持或反對這個猜想。從尋找這些理由的框架、過程來看，我們并非在尋找一般意義下的辯護（justification），而更像在進行一場一般科學研究之中的科學實驗——盡管我們的研究并不是經驗性的。因此，我們在尋找的是證據(jù)（evidence），或者在尋求對我們假設的解釋（explanation）。

直觀上，我們相信那個獨立于心靈的集合宇宙應該足夠豐富、應該是不可簡單定義的、其中應該有大基數(shù)……那么，我們要如何尋找這些信念的證據(jù)？顯然，根據(jù)我們前文對邏輯和哲學關系的解釋，證據(jù)不在集合論之外，證據(jù)就在、也只能在集合論之內。集合論的定理和定理之間的相互聯(lián)系正在告訴我們集合宇宙是什么樣的。

然而，集合論的定理并不能直接“證明”集合的宇宙之中存在大基數(shù)。不能直接“證明”集合的宇宙之中是否存在大基數(shù)有多種原因：

1.顯然，我們的證明不是無前提的，而是基于ZFC 的；

2.在ZFC 中不能證明存在大基數(shù)，否則違背哥德爾第二不完全性；

3.盡管由于哥德爾第二不完全性定理，ZFC 無法證明自身的一致性，但ZFC 仍被廣泛接受為數(shù)學基礎。

上述的第一條和第二條說明了現(xiàn)有的框架——ZFC——必然不可能證明集合宇宙之中存在大基數(shù)，第三條說明了這個框架的打破面臨極大的挑戰(zhàn)。集合的宇宙之中是否存在大基數(shù)，這不像一般的物理學命題那樣容易通過數(shù)學計算來預測，更無法通過一般科學實驗之中的經驗觀察來檢驗：地球是否是圓的？我們飛上太空觀察即可。面對這些困難，如何論證集合的宇宙之中存在大基數(shù)？

基本的方法當然還是基于ZFC，因為至少主流的數(shù)學實踐接受ZFC 的所有結論，并且，任何一個實在論者都會認可ZFC 是關于集合概念的基本事實——盡管它還不足以以定理的形式直接告訴我們集合概念的本質。因此，我們可以比較諸多的ZFC 的模型，判斷哪個更加接近集合宇宙。12注意，這樣的方法是合理論證方法的一個證據(jù)是，我們可能得出與“存在唯一的、不依賴于心靈的集合宇宙”這個假設框架相反的結論。例如，我們也許會發(fā)現(xiàn)沒有哪一個ZFC 的模型是足夠獨特的。即，我們的任何猜想都具有可證偽性。再例如，我們可能會發(fā)現(xiàn)，沒有任何證據(jù)表明集合宇宙具有某種深刻的規(guī)律，因而集合概念的本質就是它不可能真實存在。不僅如此，當我們比較A、B、C 三個ZFC 的模型時，如果有理由說明A 模型更接近集合的宇宙，那么，A 的結構會告訴我們更多的、更本質的信息。借助這些信息，我們可以知道更多的集合宇宙的正確信息——盡管哥德爾定理告訴我們，基于任何公理框架，我們都永遠不能知道全部。

5 實在論者如何可能為大基數(shù)辯護

正如上一節(jié)所言，我們現(xiàn)在需要比較ZFC 的諸多模型，探索V的本質，即看哪一個更加接近真實的集合宇宙；或者比較ZFC 的諸多模型，看是否根本沒有這個真實的宇宙?，F(xiàn)在的困難在于，我們如何知道哪個ZFC 的模型更接近集合的宇宙？特別是，我們既無法通過經驗觀察得知集合宇宙的樣貌，也無法直接通過ZFC證明集合宇宙究竟包含什么。這種情況下，什么樣的集合論結果可以作為證據(jù)？

一種可能的做法是模仿具體的經驗科學：每一門具體科學中猜想的驗證，大致過程包含提出假設和尋找蘊含這個假設成立的經驗證據(jù)兩個步驟。例如，我們假設有月球存在且其表面凹凸不平，而我們可以尋找到許多經驗事實證明這一點：在天氣條件適宜時，肉眼可觀察到月亮，并且可以觀察到它表面有黑點；在太空中可以拍攝到月球照片，并且的確其表面凹凸不平；甚至可以直接宇航員登月，近距離觀察月球，證實其表面有大量坑洞……這些都是月球存在這一假設成立的證據(jù)。

近代科學之中，相對論即是一個很好的例子。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)，僅根據(jù)光速不變原理和等效原理，即可推翻牛頓的絕對時間觀，并且這一推理從直觀上看異常簡單。光速不變原理僅僅來自于簡單的一個觀察：麥克斯韋的理論證實光是一種波，那么如果我們能和光并駕齊驅，按照牛頓時空觀，光線在我們看起來應該是完全靜止的。這就意味著在運動者看來，光是凝固的波，而這似乎有問題，而在麥克斯韋的理論中，光線總以同樣的速度運動，不論我們以何種速度運動。因此，麥克斯韋的理論和牛頓的理論相互矛盾。在假設光速不變原理的前提下，拋開愛因斯坦的數(shù)學推導，只需直觀上考慮：我們駕車以光速行駛，此時回頭看背后的鐘表會發(fā)生什么？愛因斯坦立刻意識到，鐘表看起來會是靜止的，但自己的表卻正常運轉，因此與牛頓的靜止時空觀不同，時間并不是絕對的，在宇宙不同的地方，時間的速率不同?？紤]駕車以光速追逐光線，會發(fā)生下面的矛盾：我們與光跑了個并駕齊驅；但我們會覺得怎么都追不上這一束光。這種矛盾的原因也可以用時間速率不同做出解釋：由于速度達到光速，時間對于我們減慢了。

問題在于，是牛頓的理論對，還是光速不變原理對？有多個證據(jù)支持光速不變原理：

1.牛頓理論若要與麥克斯韋方程協(xié)調，則必須假設以太的存在（可見[5,6,10]；邁克耳孫-莫雷實驗和各種現(xiàn)代的精確版本實驗支持地球不存在相對于以太的運動。

2.如果光速確實是自然界的常數(shù)，那么通常的解決方案就是洛倫茲變換，而麥克斯韋方程恰好的確遵循洛倫茲變換（[21]，第210-213 頁；[16]）。

3.洛倫茲變換下，有兩種方式可以解釋邁克耳孫-莫雷實驗，一種是洛倫茲收縮（[24]），一種是愛因斯坦的相對論。前者無法驗證，而相對論卻有實驗觀測作為證據(jù)。例如，攜帶原子鐘的實驗證明，運動越快，時間就越慢。

4.在牛頓的絕對時空理論下，引力不能很好地被納入洛倫茲變換中，但廣義相對論可以很好地將引力納入其中。13愛因斯坦1915 年的演講和論文引入了引力場方程，其論文為德文寫作。本文參考的材料為[18]。

不僅如此，在等效原理下，還可以推理出光必須在引力的作用下彎曲：考慮在加速向上的火箭上打開手電筒，由于火箭向上加速而光束下落，引力必須會使光彎曲(可見[7]，第34 章）。也有多個證據(jù)支持這一點：日食期間星光的彎曲、紅移現(xiàn)象以及水星的近日點。在擁有諸多證據(jù)的等效原理和光速不變原理下，牛頓時空觀被徹底顛覆。

不難發(fā)現(xiàn)，愛因斯坦理論是在多種證據(jù)下被逐步接受，而非依據(jù)空想而被接受。其基本模式十分簡單：觀察到一些現(xiàn)象、做出一些假設、利用觀測到的現(xiàn)象進行驗證。對集合宇宙的結構而言也是如此。我們用一些定理作為“數(shù)學現(xiàn)象”輔助我們驗證關于集合概念的假設。例如，我們有直觀告訴我們：V應該足夠豐富，其中存在大基數(shù)。

圖1:集合宇宙結構的證據(jù)

那么，為尋找這一假設的證據(jù)，我們尋找一些蘊含大基數(shù)存在的命題，或者接近大基數(shù)存在的命題。如果能在集合論中證明這些命題，那么當然它們就是大基數(shù)存在的證據(jù)。如圖1(a)所示。這種方法的一個良好示范即是終極L猜想、HOD猜想14這是兩個由集合論學家武?。╓.H.Woodin）提出的關于集合宇宙本質的猜想。和V=HOD 的關系。

所謂HOD，指的是遺傳序數(shù)可定義集的類。武丁發(fā)現(xiàn)，在一定的大基數(shù)假設下，其滿足二歧性（[28]）：

定理5.1.設κ是可擴張基數(shù)。則：

1.對任意V中的奇異基數(shù)γ，γ在HOD中也是奇異基數(shù)，并且(γ+)HOD=γ+；

2.所有大于κ的正則基數(shù)都是ω-強可測基數(shù)。

也就是說，在一定強度的大基數(shù)假設下，HOD 或者非常接近V，或者在κ以上離V 很遠。并且假設存在可擴張基數(shù)，則HOD 中必然存在可測基數(shù)。據(jù)此，武丁提出了HOD 猜想：{δ|δ是正則基數(shù)但不是ω-可測基數(shù)}是一個真類，即HOD的確十分接近V。此外，武丁發(fā)現(xiàn)，HOD 猜想有下列等價形式（[31]，第127 頁）：

定理5.2.設κ是可擴張基數(shù)，則下列等價：

1.HOD猜想成立；

2.HOD是κ是超緊基數(shù)的弱擴張模型。

因此，如果HOD 接近V，武丁證明，HOD 是κ的弱擴張模型。故而，在一定的大基數(shù)假設下，HOD 是一個包含了所有大基數(shù)的典范內模型。HOD 到底有多接近V呢？它到底是否呈現(xiàn)了集合概念的本質？基于此，武丁又提出了終極L猜想：假設κ是可擴張基數(shù)，武丁猜想，存在模型N滿足（[28]）：

1.N是κ是超緊基數(shù)的模型；

2.N ?HOD；

3.N|=存在Woodin 基數(shù)的真類。

因此，如果HOD 猜想和終極L 猜想成立，那么V=HOD，并且HOD 是超緊基數(shù)的弱擴張模型。這表明，存在一個使得力迫失效的、包含所有大基數(shù)的典范模型，并且它就是真實的集合宇宙。并且，終極L猜想是一個算術命題，它必然有一個確定無疑的真值。因此，上述兩個猜想是V=HOD 這個信念的證據(jù)15說一個“猜想”是一個“信念”的證據(jù)聽起來很奇怪，有點像某個假說是另一個假說的證據(jù)，似乎是循環(huán)。但終極L 猜想不是一個隨意的猜想，是有諸多數(shù)學結果做支撐的一個猜想。并且這個猜想的反面有諸多定理暗示有可能不成立。同時，最近的一篇論文（[1]）顯示，這個猜想還可能是不成立的，因此具有可證偽性。本文限于篇幅，對這個問題不再展開。。故而，它們也是大基數(shù)存在的證據(jù)。

經驗科學中還有另一種尋找證據(jù)的方法。圖1(b)試圖表明，有許多現(xiàn)象是除了某種特定的理論外無法解釋的。即除了特定理論外，再也找不到別的對證據(jù)的合理解釋：如果出現(xiàn)了結果B，那么除了A，再也沒有其他合理的解釋。這種證據(jù)的形式亦類似于經驗科學之中的實驗。例如，我們想知道某種藥物是不是有療效，通常的方法是進行雙盲實驗，即確保藥物引起了身體的好轉，而不是其它原因造成了好轉。換言之，A 會造成結果B，同時再沒有其它條件會造成B。

愛因斯坦的相對論中也有類似的情況，即除了假設成立，再也找不到其它的合理解釋（可參考[32]；[29]，第54-76 頁）：

1.為什么必須承認速度越快時間會越慢？因為，即便沒有實驗支持的前提下，在絕對時間觀中，無法解釋為什么我們和光束并駕齊驅，卻在我們自己看起來，我們根本無法追上光速這樣的矛盾；即便使用調和牛頓理論和麥克斯韋理論的以太，也無法解釋這樣簡單的矛盾；相反，只有相對時間觀，才能統(tǒng)一兩個現(xiàn)象。

2.為什么必須承認光速不變原理？因為，即便沒有實驗支持的前提下，如果我們可以與光速相對靜止，那么無法解釋為什么光是一種波，因為那樣一來，光會是凝固的波；如果承認以太，那么無法回答為什么光作為一種波可以在真空中傳播，因為真空意味著沒有任何東西可以震動；相反，如果承認光速不變原理，我們與光并駕齊驅，而在我們看起來由于時間靜止，我們無法追上光，因此光不再是凝固的波。

事實上，這樣的情況在數(shù)學中常常發(fā)生。描述集合論對可決定性公理（AD）的研究即為一例。由于AD 與選擇公理相矛盾，集合論學家一度試圖證明AD 是錯的。一個思路是證明較簡單的實數(shù)子集：波萊爾集上AD 就是錯的，但最終集合論學家發(fā)現(xiàn)無法構造出這樣的反例。以馬?。―.Martin）對這個問題的探索為例：馬丁本人證明了AD 與錐體概念之間的聯(lián)系16令≤為圖靈歸約，若d 是一個圖靈度，將{d＇ | d ≤d＇}稱為d 的錐體（cone）。一個圖靈度的集合是錐體當且僅當它是某個圖靈度的錐體。該定理可見[4]，第223-224 頁。：

定理5.3.[錐體引理]假設AD成立。如果A是一個圖靈度的集合，那么或者A中含有一個錐體，或A的補中含有一個錐體。

類似地，可表明若波萊爾決定性成立，那么波萊爾的度集滿足上述二歧性。因此，在證明這個定理的時候（1968 年）17此時波萊爾決定性還沒有被證明（1975 年才被證明）。這兩個定理均出自馬丁。，馬丁堅信這個定理可用于證明AD 可導出矛盾，因此AD 是錯的。比如，馬丁試圖表明波萊爾決定性是錯的。作為一個熟悉遞歸論的數(shù)學家，他嘗試了他所知的所有圖靈度的集合，但這些圖靈度的集合總是要么就含有錐體，要么補集含錐體。至此，他開始相信波萊爾集上的AD成立，因為除了它成立外，再找不到理由表明為什么無法舉出任何反例。

集合宇宙中也有類似的情況。例如，目前為止，我們沒有發(fā)現(xiàn)大基數(shù)會帶來任何可能的矛盾。相反，一些十分有用的工具的一致性與大基數(shù)的一致性強度有巧妙的對應。例如，如果ZFC+超緊基數(shù)是一致的，那么ZFC+馬丁極大原則也是一致的。因此，大基數(shù)很可能就是一致的。大基數(shù)一致的唯一解釋只能是大基數(shù)存在——即便我們有諸多的真實集合宇宙，也應該每個世界都里都存在著大基數(shù)。除此之外，我們無法對大基數(shù)的一致性給出更好的解釋。

6 可能的反駁

一種可能的反對是，HOD 猜想和終極L猜想都預設了某種大基數(shù)的存在，用它們作為證據(jù)來表明大基數(shù)存在，是一種循環(huán)論證。另一種可能的反駁是，存在可測基數(shù)，則V≠L，那么，為什么L中不包含可測基數(shù)不能作為可測基數(shù)不存在的證據(jù)呢？我們對上述反駁進行一個初步的解釋。

首先，較小的大基數(shù)無需假設較強的大基數(shù)即可得到辯護，不難找出一些較小的大基數(shù)的證據(jù)。例如，ZFC 中有反映定理：

定理6.1.[反映定理（[13]，第136 頁）]給定任意公式φ1,...,φn，

我們能在ZFC 中證明的反映定理只是RP1（first order reflection principle，簡稱RP1），即只允許使用集合而非類。若我們不限定φ是一個一階公式，則有：

RP2（higher order reflection principle，簡稱RP2）形式的反映原理可被視為相對合理的較小大基數(shù)存在的證據(jù)18可參考[11]，該文的論證表明，反映原理可為不超過0?的大基數(shù)——例如不可達基數(shù)——做辯護。，因為它需要的假設很少，而這個假設有反映定理作為證據(jù)。因此，與L相容的較小的大基數(shù)的確有證據(jù)。

想為更大的大基數(shù)做辯護，則首先要考慮是否V=L成立。從直觀上看，V=L顯然不成立，因為L中只放入了上一層中可定義的子集。進一步地，沒有任何數(shù)學家認真地認為V=L是一個事實，盡管L是一個非常典范的模型。更決定性的證據(jù)是，我們可以找到一些證據(jù)表明超出L的大基數(shù)——例如Woodin 基數(shù)——的確很可能存在，而V的確等于L則除了清晰分層上的好處外，無法找到別的證據(jù)。

我們考慮Woodin 基數(shù)的例子。實數(shù)的可定義子集可分出一個復雜度的層譜：在某個波蘭空間X上，從開集出發(fā)，借助交并補運算和連續(xù)函數(shù)的投影，可以逐步產生波萊爾集、解析集和投影集……。集合論學家關心的是，這些實數(shù)的可定義子集是否都有良好的性質。借助描述集合論中常討論幾種實數(shù)的正則性質：拜爾性質、勒貝格可測性、完美集性質，我們可以討論是否實數(shù)的子集都有良好的性質，并且可以觀察在哪一步出現(xiàn)了困難。對最簡單的拜爾集、解析集，可以知道它們具有拜爾性質、是勒貝格可測的、都具有完美集性質。但是在投影集這一層，投影集是否具有這些良好的性質被發(fā)現(xiàn)獨立于ZFC。描述集合論學家從博弈論中提取經驗，考慮投影集上的可決定性，即投影可決定性(PD)：所有投影集都是可決定的。集合論學家發(fā)現(xiàn)，PD 恰好能解決投影集上所有的獨立性問題。不僅如此，巧合的是，ZFC+PD 恰好是一個對二階算術經驗完全的理論，即所有二階算術的命題都可以借助ZFC+PD 確定真值。

此外，PD 還有兩個深層的特點。其一，ZFC+PD 對二階算術的經驗完全性，與一階算術的情況存在著對應。有獨立于PA 的一階算術命題，但不存在任何獨立于ZFC 的一階算術命題。不僅如此，ZFC 還使得“一階算術的真”可被固定為“H(ω)中的真”，因為這個概念本身是力迫不變的。這解釋了為什么我們對自然數(shù)的理解沒有受到任何自然的挑戰(zhàn)。所有這些一階算術中的情況都能在ZFC+PD 中在二階算術上完美復刻。這表明，ZFC+PD 和ZFC 的關系，就像一階算術上ZFC 和PA 的關系一樣，因此，似乎也可以合理地說：二階算術命題是真的，當且僅當ZFC+PD能證明它。其二，與波萊爾集上的AD 類似，沒有任何反例能表明ZFC+PD 不一致。因此，很多數(shù)學家傾向于相信PD 是一致的。

巧妙的是，這樣一個獨特的、被認為極可能一致的命題，與Woodin 基數(shù)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系：

定理6.2.如果存在Woodin 基數(shù)的真類，則PD 成立。（[27]，第3 頁）

定理6.3.下列等價（可見[12]，第188 頁，定理8.2）：

1.PD

2.對任意n ∈ω，存在一個內模型M使得M|=存在n個Woodin 基數(shù)。

因此，我們有強烈的證據(jù)表明，Woodin 基數(shù)是一致的。而這個現(xiàn)象唯一的解釋是，的確存在Woodin 基數(shù)。以上對Woodin 基數(shù)的論證不涉及任何更強的大基數(shù)，因而也不涉及循環(huán)論證。故而，司各特定理恰好說明了V≠L，而不是相反地將其解讀為說明不存在可測基數(shù)。

V=HOD 這一命題也有一個不基于大基數(shù)的證據(jù)。如果Woodin 基數(shù)一致，那么我們完全有理由認為，包含Woodin 基數(shù)在內的盡可能多大基數(shù)的內模型更加典范。恰好，終極L猜想和HOD 猜想提供了一種尋找這樣典范模型的理論可能性，它使得V的確十分接近HOD19此處，盡管兩個猜想是基于大基數(shù)的猜想，但它至少提供了一個必然有對錯的理論。而V ≠HOD 無法提供這樣的猜想或結構化的理論。。相反，如果Woodin 基數(shù)不一致，也可得到類似的結果。2007 年，詹森（R.Jensen）和斯蒂爾（J.Steel）在不存在Woodin基數(shù)的假設下，得到了一種弱形式的覆蓋定理（[17]）：

定理6.4.假設不存在傳遞模型滿足ZFC+“存在Woodin 基數(shù)”，那么：若κ是V中的奇異基數(shù)，則κ+K=κ+。

包括弱覆蓋引理在內的多種跡象表明，K與V十分接近（[25]）。若Woodin 基數(shù)不一致，則不存在包含Woodin 基數(shù)的內模型，因此，根據(jù)詹森和斯蒂爾的結果，K十分接近V。又因為K ?HOD，因此有V仍然十分接近HOD。無論Woodin基數(shù)是否一致，我們都能得到V與HOD 非常接近，我們有理由相信，HOD 中至少應該包含Woodin 基數(shù)的真類，從而獲得了超出L的大基數(shù)存在的證據(jù)。

7 總結

我們在本文討論了一種實在論視角下的邏輯觀。這種邏輯觀可為邏輯、集合論和哲學的關系提供一種較為合理的解釋。基于這種邏輯觀，我們分析了實在論視角下什么是大基數(shù)的內在辯護，即為集合宇宙的結構尋找證據(jù)。這種為集合宇宙的結構尋找證據(jù)的思路不僅是哲學上可解釋的，而且是集合論實踐中可操作的，它基于數(shù)學-物理平行論的實在論，大致的確可與物理學對物理世界的刻畫相對應。我列舉了武丁工作中可以作為證據(jù)的例子，并簡單討論了其如何與科學方法論對應?；趯嵲谡撘暯堑膶ふ易C據(jù)、對集合概念的本質進行探索將是一個有廣闊前景的問題。