類比推理法在高中數(shù)學教學中的應用研究

孫啟柱

【摘要】類比推理是數(shù)學學習的一種重要方法，通過對知識點進行對比分析和確定出異同處，可加深對知識點的理解.在當前的高中數(shù)學教學中，類比推理法已然成為一種常用的學習方法，學生通過應用類比推理法，不僅可以更好地學習數(shù)學知識，而且有利于提升學生的數(shù)學思維水平和解題能力.基于此，文章結合等差數(shù)列與等比數(shù)列教學、函數(shù)與方程教學、命題教學、平面向量和解析幾何教學、立體幾何教學，提出了應用類比推理法的一些方法.高中數(shù)學教師應該在教學中廣泛應用類比推理法，以此幫助學生有效掌握類比推理法的應用方法和技巧，為后續(xù)的自主學習和深度學習奠定堅實基礎.

【關鍵詞】高中數(shù)學；類比推理法；立體幾何；等比數(shù)列

教育學術界對類比推理法的內(nèi)涵作出解釋，即“根據(jù)兩個事物之間的某一些相似屬性，通過分析和推理而得出另外一些相似屬性，這一種方法稱之為類比推理.”在類比推理過程中，需要基于原有知識和相關情境進行知識的遷移，以此促進新舊知識的分類比較與融會貫通，而高中數(shù)學具有嚴謹性、系統(tǒng)性和抽象性的特點，因此，教師應結合教學實踐，在教學中廣泛有效應用類比推理法，如可以在等差數(shù)列與等比數(shù)列教學、函數(shù)與方程教學、命題教學、立體幾何教學、平面向量和解析幾何教學這些方面應用類比推理法，拓展學生的數(shù)學思維，幫助學生有效掌握應用的策略和技巧，提高解題能力等.

一、在等差數(shù)列與等比數(shù)列教學中應用類比推理法

在高中數(shù)學的知識體系中，等差數(shù)列、等比數(shù)列都是重要的知識內(nèi)容，概念教學是重要的教學任務.從概念教學的角度而言，等差數(shù)列與等比數(shù)列的數(shù)學概念具有抽象性，學生在理解概念時會產(chǎn)生困惑，難以有效進行解釋、判斷、運算、推理、解決這些數(shù)學活動，對數(shù)學邏輯思維能力的發(fā)展較為不利.對于此，在教學過程中，教師可以考慮應用類比推理法，如可以借助等差數(shù)列的概念讓學生進行類比推理，通過進行兩個概念的類比推理而深化對概念知識的理解.

類比推理法應用在等差數(shù)列與等比數(shù)列教學中，教師可以有兩種教學思路.第一，引導學生類比等差數(shù)列的“差”、等比數(shù)列的“比”，在此基礎上引導學生類比等比數(shù)列的相關性質(zhì)、等差數(shù)列的不同之處，可以通過代數(shù)的運算進行類比推理.第二，在課堂上講解等比數(shù)列的概念知識時，應引導學生聯(lián)系已經(jīng)學習過的等差數(shù)列，對兩個概念知識進行類比推理，試圖借助等差數(shù)列的學習經(jīng)驗和理解而推導出等比數(shù)列的概念.在此過程中，教師可以設計一些探究性強的問題，如可以設計三個問題，一是“你還記得等差數(shù)列的定義是什么嗎？能說出來嗎？”二是“你是否可以根據(jù)等差數(shù)列的概念，類比猜想出等比數(shù)列的概念呢？”三是“結合具體的事例，你能說一說等比數(shù)列的定義嗎？”借助具體的問題和趣味的概念引入方案，學生可以將新舊知識有效銜接起來，通過類比推理加深對概念知識的理解.通過類比推理，學生可以發(fā)現(xiàn)一點，即等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的命題有對應性規(guī)律可循，在等差數(shù)列公式和等比數(shù)列公式中，前者的加、減、乘、除可以對應后者的乘、除、乘方、開方.為了讓學生可以直觀學習和理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念知識，教師可以要求學生制作表格，將類比推理的成果用表格呈現(xiàn)出來.如表1，是等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念類比推理.

等差數(shù)列與等比數(shù)列教學中，教師可以借用典型的例題訓練學生的類比推理能力.如可以設計這樣一道題目，即現(xiàn)有{an}這一等差數(shù)列，當a10的值為0，則a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n，其中n<19且n為正整數(shù)，進行類比推理：現(xiàn)在有{bn}這一等比數(shù)列，如果b1×b2…×b9=1，那么S9的值為多少呢？借助這一典型例題，學生需要結合等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念知識進行類比推理，這一過程中可以有效發(fā)展類比推理能力.

二、在函數(shù)與方程教學中應用類比推理法

高中數(shù)學中，函數(shù)知識具有十分重要的地位，因此，教師要幫助學生有效學習和建構完整的知識體系.函數(shù)與方程教學具有復雜性和專業(yè)性，對于學生而言會有較大難度，尤其是強調(diào)學生有良好的抽象思維能力和分析理解能力.正是因為如此，教師要對函數(shù)與方程教學中的方法進行創(chuàng)新，嘗試應用一些新方法幫助學生有效學習和理解函數(shù)與方程的知識內(nèi)容，最大程度地降低學生的學習難度.在將函數(shù)與方程教學內(nèi)容引入課堂時，教師可以選擇應用類比推理法，與此同時，可以借助典型例題引出類比推理法的方法和技巧，促使學生在“分析問題→探究問題→解決問題”這一學習過程中，提高應用類比推理法的綜合能力.

在函數(shù)與方程教學中，教師可以和學生一起解決數(shù)學問題，如有兩個圓的坐標方程分別為x2+y2=1和x2+（y-3）2=1，前者式子減掉后者式子便可以得到兩個圓的對稱軸方程.如果是要對題目中的命題進行推廣，要求得到一個更一般的命題，且要保證已知命題是推廣命題的特例，那么應該如何總結.在解決這一數(shù)學問題時，學生需要用到類比推理法進行思考，即基于“對稱性”這一性質(zhì)，能夠知道題目中的兩個圓具有一個特定關系，即半徑相等.當圓心處于不同位置時，對稱軸方可以出現(xiàn)，可以通過類比推理得到兩個圓的對稱軸方程，需要確定兩個圓的兩個式子，一是圓方程（x-a）2+（y-b）2=R2，二是圓方程（x-c）2+（y-d）2=R2，兩個圓方程滿足條件a≠c和b≠d，兩式相減即可得到對稱軸方程.

三、在命題教學中應用類比推理法

在新命題提出時，師生會進行一系列的思維過程，主要包含聯(lián)想、類比、推理及歸納，也因此讓類比推理成為高中數(shù)學命題教學中一種非常常見的思維方式，具有重要作用.命題教學中應用類比推理法時，教師除了凸顯學生的主體地位之外，還應該多對學生進行指導，幫助學生有效應用類比推理方法，以求促進思維發(fā)展，尤其是促進思維具備良好的廣闊性和創(chuàng)造性.在命題教學中應用類比推理法時，教師應該指導學生重點研究命題的三方面相似性，一是性質(zhì)特征，二是結構內(nèi)涵，三是形成過程.以高中數(shù)學中的立體幾何命題為例，教師可以指導學生重點進行平面和空間的類比推理，在此過程中學生可以推理出一些空間圖形的性質(zhì).再以圓相關知識的教學為例，指導學生重點類比圓和球類，通過類比推理，學生可以猜測和驗證出“兩球相切的性質(zhì)”.總之，在高中數(shù)學的命題教學中，教師應該重視類比推理法的應用，并幫助學生培養(yǎng)良好的學習習慣，以求借用類比推理方法更好地理解新知識.

除課堂上重視命題教學，將類比推理法應用在命題教學活動中，教師還應該高度關注近些年的數(shù)學高考變化.通過分析可以發(fā)現(xiàn)一點，即近些年的數(shù)學高考試卷中會有一些類比推理的題目，綜合考查學生的類比推理能力.有這樣的一道高考試題，即已知由1樓至2樓共有20級臺階，現(xiàn)在假設規(guī)定上樓的人每一步只可以跨上1級臺階或2級臺階，那么想要從1樓爬上2樓，共有幾種方法呢？在解題過程中，如果學生是進行直接思考或傳統(tǒng)思考，則會發(fā)現(xiàn)有太多的方法，解題時會出現(xiàn)思維混亂的情況.針對于此，教師在指導學生分析和解題時都應該抓住一個切入點，即讓學生從題目中找出對應的模型.如在解題時可以假設第n級臺階會有fn種方法，如果是要跨上第20級臺階，則需要從第18級臺階和19級臺階分別跨上2級和1級為到達，可以得到關系式“f20=f18+f19”.繼續(xù)通過分析，可以得出“f19=f17+f18”“f3=f1+f2”等一系列的關系式，在此基礎上借用類比推理法，便可以進行逐項計算和推導出結論，即想要跨上第20級臺階，f20=10946，表明從1樓爬上2樓可以有10946種方法.可以說，新課程改革背景下的高中數(shù)學命題教學中，教師應非常重視類比推理法，且關注數(shù)學高考變化，幫助學生針對性地訓練類比推理法的應用能力，避免在高考中失利.

四、在平面向量和解析幾何教學中應用類比推理法

五、在立體幾何教學中應用類比推理法

高中數(shù)學的立體幾何教學有兩大特殊性，一是較為抽象和復雜，學生在學習和解題時都不可避免遇到困難，影響到學生的高中數(shù)學整體學習質(zhì)量；二是立體幾何教學和培養(yǎng)學生的高中數(shù)學核心素養(yǎng)有密切關聯(lián)，如需要借助立體幾何教學培育學生的數(shù)學思維能力、空間想象能力.正是因為如此，教師應格外重視高中數(shù)學的立體幾何教學，既要向學生傳遞立體幾何的知識內(nèi)容，也要幫助學生發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).從類比推理的角度而言，教師可以將立體幾何的知識與平面幾何的知識對應起來，引導學生在學習過程中進行類比推理，在已有知識經(jīng)驗的基礎上有效學習和理解立體幾何的知識.比如，在講解立體幾何的“線”“面”的知識時，教師可以將其和平面幾何的“點”“線”知識對應起來，指導學生在類比推理中有效學習.更重要一點，即學生通過類比推理“二面角”和“平面角”，能夠將知識從二維向三維過渡，學習立體幾何知識的難度可以有所降低，對發(fā)展數(shù)學思維能力、空間想象能力也會有十分大的裨益.

高中數(shù)學的平面幾何教學中，勾股定理是常用的定理，當△ABC的AB，BC這兩條邊具有相互垂直的關系時，則AB2+AC2=BC2.如果是由平面拓展或延伸至空間，則教師可以指導學生進行勾股定理的類比推理，試著得出三棱錐的底面積、側面積之間的關系，并可以提出具體的探究問題，即當三棱錐A-BCD的三個側面ABC，ABD，ACD具備“每兩個側面都互相垂直”這一關系時，則可以得到一些什么結論？在類比推理過程中，學生可以假設S△ABC，S△ACD，S△ABD，S△BCD分別是等于x，y，z，α，則可以假設三個式子：x3+y3+z3=α3，x+y+z=α，x2+y2+z2=α2.要求學生通過類比推理法確定出三個式子的正確與否，可以促使學生進行“大膽猜想”和“小心驗證”.

結 語

教師應該將類比推理法廣泛應用在高中數(shù)學教學中，幫助學生熟練應用類比推理法，掌握類比思維和提高高中數(shù)學解題能力.不過要想有效應用類比推理法，實則對教師“教”的能力和學生“學”的能力都有較高的要求，尤其是強調(diào)教師的有效教學，所以教師后續(xù)依然要加大研究力度，繼續(xù)探究類比推理法融入課堂教學的方法和技巧，尤其是應該貫穿于高中數(shù)學解題教學中.與此同時，教師應引導學生進行自主學習和深度學習，以便可以掌握類比推理法的應用方法，使其成為自己學習和解題的重要抓手.

【參考文獻】

[1]汪小明.探究類比推理法在高中數(shù)學解題中的應用[J].新課程，2022（4）：120.

[2]吳雪光.例談類比思想在高中數(shù)學教學中的應用實踐[J].學苑教育，2022（7）：7-8+11.

[3]宋茹.高中數(shù)學教學中類比思維的有效應用[J].廣西教育，2021（30）：102-103.

[4]田金明.類比推理在高中數(shù)學教學實踐中的應用研究[J].當代教研論叢，2020（8）：54.

[5]杜文進.基于類比推理在高中數(shù)學教學中的作用及應用方法[J].當代家庭教育，2020（15）：103.