“K形圖 ”的變異空間及教學(xué)要點

李賀　朱黎生

摘要：變異理論認(rèn)為 ，以相似性為基礎(chǔ)的差異性是學(xué)習(xí)遷移的關(guān)鍵。因此 ，教學(xué)中 ，要對一個學(xué)習(xí)對象的各個維度進(jìn)行多種變異，從而獲得更多的差異對象 ，擴(kuò)大變異空間 ，進(jìn)而進(jìn)行審辯學(xué)習(xí)。?“K形圖 ”是平面幾何問題中常見的基本圖形 ，可以通過旋轉(zhuǎn)直角三角形、旋轉(zhuǎn)直線一側(cè)的直角、改變角度大小、改變長度關(guān)系、隱藏部分圖形等方式不斷擴(kuò)大其變異空間。相應(yīng)的教學(xué)要點為 ：感悟變化過程中的數(shù)學(xué)思維 ，把握 “變中不變 ”的數(shù)學(xué)本質(zhì) ，體會 “學(xué)以致用 ”的模型價值。

關(guān)鍵詞 ：初中數(shù)學(xué) ;變異理論 ;基本圖形 ;K形圖

一、從傳統(tǒng)遷移觀到變異理論

遷移 ，即人們已經(jīng)獲得的知識、技能、情感、態(tài)度等對新的學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響。遷移是學(xué)習(xí)的根本目的 ，“舉一反三 ”“學(xué)以致用 ”等說的都是遷移。遷移理論歷來是學(xué)習(xí) （教育 ）心理學(xué)研究的重點?！靶问接?xùn)練說 ”相“同要素說 ”“共同原則說 ”均被用來解釋遷移。這些學(xué)說有一個共同之處 ，即認(rèn)為遷移是人們因為不同情境或結(jié)構(gòu)間的共同性或相似性而引發(fā)的認(rèn)知影響 ，二者的相同要素越多 ，遷移量越大 ，遷移得越為徹底。[1]

瑞典哥德堡大學(xué)教授馬飛龍 （Ference Marton）創(chuàng)立了變異理論 ，挑戰(zhàn)這種強調(diào)共同性（相似性 ）的遷移觀。變異理論認(rèn)為 ，相似性是遷移的一個基石 ，而差異性是遷移的另一個基石。沒有相似性的遷移是不可能發(fā)生?的，而沒有差異性的遷移是不可能深刻的 ，二者在遷移中的地位是相同的。假設(shè)我們生活在一個純紅色的世界 ，我們就很難認(rèn)識紅色。正是因為現(xiàn)實世界中顏色的多樣性 ，我們在區(qū)分、辨別中才能認(rèn)識紅色。

（一）相似性

相似性是學(xué)習(xí)遷移的根源。事物間的相似性有多種表現(xiàn) ，如情境背景的相似、外在形式的相似、表層結(jié)構(gòu)的相似、深層結(jié)構(gòu)的相似等?！八闹磺蜿犔邌窝h(huán)賽 ”和 “四個人兩兩握手 ”在情境背景上相似 ，因而其解題方法類似。分?jǐn)?shù)與分式在表現(xiàn)形式上相似 ，因而其運算法則可以相互借鑒。正如 20世紀(jì) 90年代與國際棋王卡斯帕羅夫兩次對壘的計算機分別被命名為 “深藍(lán) ”與 “更深的藍(lán) ”一樣 ，事物的結(jié)構(gòu)有多個層級 ，可以分為表層結(jié)構(gòu)、深層結(jié)構(gòu)甚至更深層的結(jié)構(gòu)。例如 ，歐氏幾何、射影幾何、非歐幾何在創(chuàng)立之初各有其自身結(jié)構(gòu)。19世紀(jì) ，數(shù)學(xué)家致力于尋找這些不同幾何學(xué)間的內(nèi)在聯(lián)系 ，試圖用統(tǒng)一的觀點解釋它們。1872年，F(xiàn).克萊因發(fā)表了《埃爾朗根綱領(lǐng)》，用變換群的觀點綜合了各種幾何學(xué)中的不變量及其空間特征 ，從而統(tǒng)一了各種幾何學(xué)。這樣 ，就形成了相較于前者結(jié)構(gòu)的更深層的結(jié)構(gòu)。

（二）差異性

差異性是學(xué)習(xí)遷移的關(guān)鍵。通過對眾多相似實例的觀察 ，可以歸納出共同屬性或相同規(guī)律。但這時存在兩個問題 ：第一 ，相似實例既具有相同的本質(zhì)屬性 ，也具有相同的非本質(zhì)屬性 ，我們?nèi)绾螌⒈举|(zhì)屬性從非本質(zhì)屬性中剝離出來 ？第二 ，在實例中 “一般 ”和“具體 ”是相互糾纏的 ，而數(shù)學(xué)是拋棄了物質(zhì)屬性的空間關(guān)系與數(shù)量形式 ，我們?nèi)绾螌?“一般 ”和“具體 ”進(jìn)行區(qū)分 ？變異理論認(rèn)為 ，我們可以選擇本質(zhì)屬性相同但非本質(zhì)屬性不同的實例 ，且非本質(zhì)屬性差異越大 ，越容易辨別出本質(zhì)屬性。學(xué)習(xí)者接觸這樣的差異實例越多 ，就越有可能排除其差異特征 ，對其本質(zhì)特征的理解就愈加深刻。例如 ，教學(xué) “異面直線的概念 ”時，可以給出不同的直觀材料 （如圖 1所示 ），可以呈現(xiàn)畫法不同的圖形 （如圖 2所示）。

（三）變異空間

以相似性為基礎(chǔ)的差異性是學(xué)習(xí)遷移的關(guān)鍵。這就啟示我們 ，要對一個學(xué)習(xí)對象的各個維度進(jìn)行多種變異 ，從而獲得更多的差異對象 ，進(jìn)而進(jìn)行審辯學(xué)習(xí) ，即根據(jù)對差異對象的體驗和認(rèn)知 ，從物質(zhì)的或文化的世界中辨認(rèn)出、覺察到某個特征 [2]。由此 ，變異的維度和種類決定了可能的學(xué)習(xí)空間 （意義世界），即變異空間 [3]。變異空間越大 ，差異對象越多 ，通過審辯學(xué)習(xí)對學(xué)習(xí)對象的認(rèn)識就越深刻。

一般來說 ，變異的維度和種類與學(xué)習(xí)對象本身的屬性和特征有關(guān)。總體而言 ，有兩個大方向 ：動態(tài)過程上的變異和靜態(tài)結(jié)果上的變異。前者更關(guān)注發(fā)展的環(huán)節(jié) ，后者更關(guān)注結(jié)構(gòu)的要素。當(dāng)然 ，在具體問題中 ，兩者往往是交織在一起、不容易區(qū)分的。在教學(xué)中 ，變異空間需要基于學(xué)生對學(xué)習(xí)對象的理解與誤解 ，通過教師課前預(yù)設(shè)和學(xué)生課堂生成而構(gòu)建。

二、“ K形圖 ”的變異空間及教學(xué)要點

平面幾何中的基本圖形簡單、直觀 ，蘊藏豐富的結(jié)論 ，有很大的變化空間 （即遷移應(yīng)用價值 ），因而 ，是重要的數(shù)學(xué)模型。從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形或在隱藏的圖形中構(gòu)造出基本圖形 ，再運用有關(guān)結(jié)論 ，是平面幾何解題的重要策略。平面幾何教學(xué)應(yīng)該重視基本圖形的變化。[4]

“K形圖 ”是平面幾何問題中常見的基本圖形。其基本型如圖 3所示 ，相應(yīng)的條件為 ∠1= ∠2= ∠3=90°且PC =PD，可得到的結(jié)論有 △PAC ≌△DBP等。因為 AB、PC、 PD三條線段構(gòu)成 K字形 ，所以 ，人們習(xí)慣上稱此圖形為 “K形圖 ”———因為頂點在線段 AB上的 ∠1、∠2、∠3都是直角 ，所以 ，此圖形也被稱為 “一線三直角 ”。下面嘗試探索 “K形圖 ”的變異空間 ，并給出相應(yīng)的教學(xué)要點。

（一）變異空間

1.旋轉(zhuǎn)直角三角形

“K形圖 ”是由兩個全等的直角三角形拼成的。以一個直角三角形為標(biāo)準(zhǔn)來看 ，另一個直角三角形旋轉(zhuǎn)了 90°。由此啟發(fā) ，可將這個直角三角形再旋轉(zhuǎn)兩次 90°，得到兩個直角三角形。這四個直角三角形可以拼成一個正方形 ，如圖 4所示。這就是畢達(dá)哥拉斯用來證明勾股定理的圖形。換個角度看 ，這個圖形也可以通過在正方形各邊上截取相等的線段 ，然后順次連接各截點得到。由此 ，可將 “K形圖 ”附著在正方形這個更為基本的圖形上 ，找到圖形產(chǎn)生的可能源頭。

2.旋轉(zhuǎn)直線一側(cè)的直角

“K形圖 ”也是通過畫一條直線 ，以直線上一點為頂點作一個直角 ，在直角兩邊上找到頂點距離相等的兩點 ，過這兩點分別作直線的垂線得到的。由此啟發(fā) ，可將圖 3中的 ∠3繞點 P旋轉(zhuǎn)一定的角度 ，使點 C、D在直線 AB的異側(cè)，得到圖 5。對這個圖形 ，也作直角三角形的旋轉(zhuǎn)、拼接的話 ，可以得到如圖 6所示的正方形，即趙爽用來證明勾股定理的圖形 ：“弦圖 ”。這樣 ，“K形圖 ”就由同側(cè)型推廣到異側(cè)型 ，有助于學(xué)生辨別本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性。

3.改變角度大小

“K形圖 ”中有三個直角 ，可以改變它們的大小 ，構(gòu)造出 “一線三等角 ”的圖形。由此 ，也作三角形的旋轉(zhuǎn)、拼接的話 ，可能得到其他正多邊形。比如 ，變?yōu)?60°，得到圖 7，進(jìn)而得到如圖 8所示的正三角形 ;變?yōu)?108°，得到圖 9，進(jìn)而得到如圖 10所示的正五邊形。這樣 ， “K形圖 ”就由直角型推廣到銳角型和鈍角型，有助于學(xué)生進(jìn)一步辨別本質(zhì)屬性 （三個角相等 ）與非本質(zhì)屬性 （三個角的大?。?/p>

4.改變長度關(guān)系

“K形圖 ”中 PC =PD，可以改變這一長度關(guān)系 ，構(gòu)造出 PC、PD不相等的圖形 （如圖11所示 ）———當(dāng)然 ，也可結(jié)合角度大小的改變 ，構(gòu)造出圖 12、圖 13等圖形。此時 ，可得到的結(jié)論變?yōu)?△PAC ∽△DBP等。這樣 ， “K形圖 ”就由全等型推廣到相似型 ，有助于學(xué)生進(jìn)一步辨別本質(zhì)屬性 （角對應(yīng)相等 ）與非本質(zhì)屬性 （邊對應(yīng)相等）。

還可以改變 PC =PD的長度關(guān)系 （即AP =BD或 AC =BP的長度關(guān)系 ）為AP =BP的長度關(guān)系 （P為 AB的中點 ），構(gòu)造出圖 14所示的圖形 ———當(dāng)然 ，也可結(jié)合角度大小的改變，構(gòu)造出圖 15、圖16等圖形。此類圖形可稱為 “中點 K形圖 ”。此時 ，結(jié)論變?yōu)槿齻€三角形相似，即 △PAC ∽△DBP ∽△DPC。這里 ，第三個三角形與前兩個三角形相似的證明稍微有些難度 ，需要用到 “夾角相等 ，兩邊對應(yīng)成比例”。這樣 ，隨著條件既減又加 ，“K形圖 ”就由 “弱全等 ”型演變到 “強相似 ”型。

5.隱藏部分圖形

“K形圖 ”中蘊含著一個等腰直角三角形，即 △PCD。因此 ，等腰直角三角形甚至 45°的角等 ，都可以看成部分隱藏的 “K形圖 ” （不妨稱為 “45°K形圖 ”）。在解決問題時 ，常常可以由此構(gòu)造 （補全 ）出“K形圖 ”。

例1如圖 17，已知反比例函數(shù) y= k/x的圖像經(jīng)過點 A（3，4），在該圖像上找一點 P，使得 ∠POA =45° ，求點 P的坐標(biāo)。

（二）教學(xué)要點

1.感悟變化過程中的數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。“ K形圖 ”的變化需要數(shù)學(xué)思維的引領(lǐng) ，上述變化過程中確實蘊含著一些基本的數(shù)學(xué)思維策略 ，比如從整體到局部的元素分析、從角度到長度的基本量思想、從靜態(tài)到動態(tài)的視角轉(zhuǎn)換、從特殊到一般的拓展推廣、從顯露到隱藏的想象構(gòu)造、從簡單 （單一 ）到復(fù)雜 （綜合 ）的循序漸進(jìn)。教學(xué)中，教師不能直接告知學(xué)生 “K形圖 ”的變化結(jié)果 ，而要搭建 “腳手架 ”，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，想一想可以變什么、怎么變 ，試一試會變成什么 ，從而感悟變化過程中的數(shù)學(xué)思維 ，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力。由此 ，教師引導(dǎo)下學(xué)生對 “K形圖”變異空間的探索 ，可以不局限于上述過程和結(jié)果 ，而走向更深廣的空間 ———特別是 ，可以疊加變化維度 （如從 “同側(cè)直角全等型 ”到 “異側(cè)銳角相似型 ”等），豐富附加條件 （圖形背景 ），得到更多變化 ，甚至設(shè)計出豐富多彩的平面幾何題目。

2.把握 “變中不變 ”的數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)也是模式的科學(xué)。模式就是不變的規(guī)律 ，就是本質(zhì)。“ K形圖 ”的教學(xué)中 ，在不斷變化的基礎(chǔ)上 ，教師還要引導(dǎo)學(xué)生比較辨析 ，發(fā)現(xiàn)其中不變的規(guī)律 ，深究規(guī)律背后的原因 ： “K形圖 ”無論怎么變 ，不變的是 “三個 180°” （一條直線和兩個三角形 ）的背景以及 “三個 180°中各有一個角相等 ”的條件 ，從而推出三個180°中剩下兩角的和相等 ;其中有公共角 ，進(jìn)而推出等角 ，推出相似 ……由此 ，促進(jìn)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì) ，實現(xiàn)深度理解。

3.體會 “學(xué)以致用 ”的模型價值

之所以對 “K形圖 ”做豐富的變化和充分的比較 ，是因為它是一種基本圖形 ，在平面幾何問題解決中有著廣泛的應(yīng)用。教學(xué)中 ，教師不能只顧引導(dǎo)學(xué)生變化和比較圖形 ，還要設(shè)計豐富的習(xí)題 ，讓學(xué)生學(xué)以致用 ，體會模型價值。這里簡單舉兩個例子 ：

1.如圖?19，在 △ABC中，AB =AC，點 D是BC的中點 ，∠EDF = ∠B，試證 ：△BDE ∽△DFE。

2.如圖?20，正方形 ABCD中，點 E在邊 BC上，連接 AE，作 EF ⊥AE，交正方形 ABCD的頂點 C處的外角平分線于點 F，求證：AE =EF。

這里 ，第一題通過等腰三角形背景間接給出了 “中點 K形圖 ”。第二題則通過正方形背景給出了部分隱藏的 “K形圖 ”。

總之 ，在變化中才能發(fā)現(xiàn)不變 ，在異相中才能體悟共相。這是教學(xué)的基本道理。

參考文獻(xiàn) ：

[1]陳建翔 .“變異理論 ”對傳統(tǒng)遷移觀的超越及啟發(fā) [J].中國教育學(xué)刊 ，2019（1）：31.

[2]F.馬騰 .從變異理論看國際比較中數(shù)學(xué)教與學(xué)的差異 [J].上海教育科研 ，2002 （8）：4.

[3]王艷玲 .小學(xué)數(shù)學(xué)變式教學(xué)的研究 [D].長春 ：東北師范大學(xué) ，2008：10.

[4]印睿妍 ，印冬建 .平面幾何教學(xué)應(yīng)重視基本圖形的 “鏈 +”[J].教育研究與評論 （中學(xué)教育教學(xué) ），2023（2）：66.