體會數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)內(nèi)涵

劉鈴

摘 要：數(shù)學(xué)是我國基礎(chǔ)教育體系中的重要學(xué)科，初中階段的數(shù)學(xué)在其中起到了銜接和承上啟下的作用.在教學(xué)時，教師不僅要幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和解題技巧，更要立足于數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思想，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)課程體系中的兩個關(guān)鍵要素，二者就像基因的雙螺旋結(jié)構(gòu)中的兩條基因鏈，應(yīng)當(dāng)是合為一體、缺一不可的.借助數(shù)形結(jié)合思想開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以幫助學(xué)生發(fā)散思維，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，也可以使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生濃厚的興趣和探究熱情.本文就數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂上滲透的優(yōu)勢和實踐策略進行分析與研究.

關(guān)鍵詞：初中；數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想

初中階段的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)性較強，且對學(xué)生的思維能力要求較高，而利用數(shù)形結(jié)合思想，可以將分散的數(shù)字與連續(xù)的圖形建立聯(lián)系，降低數(shù)學(xué)知識的邏輯性和抽象性.初中生的固有觀念認(rèn)為數(shù)字和圖形應(yīng)當(dāng)是獨立存在的，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時缺乏將二者有效融合的意識，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)過程中會遇到各種各樣的問題.圍繞數(shù)形結(jié)合思想開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)可以向?qū)W生展示數(shù)學(xué)知識的靈動性、直觀性，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力和負(fù)擔(dān).這就要求教師在課堂上深入研究數(shù)學(xué)知識點的核心內(nèi)涵，借助數(shù)形結(jié)合思想，促進學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的提升，使學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思想作為解決幾何問題、代數(shù)問題、函數(shù)問題的重要工具.

1 初中數(shù)學(xué)教學(xué)難點

在如今的初中數(shù)學(xué)課堂上，大部分教師的主要目標(biāo)就是讓學(xué)生獲取更多的知識，可以在面對考試時游刃有余，但卻忽略了數(shù)學(xué)學(xué)科對學(xué)生能力的培養(yǎng)作用.初中階段的數(shù)學(xué)知識具有較強的抽象性，且各個知識點之間的聯(lián)系緊密，對學(xué)生的思維能力、學(xué)習(xí)能力要求較高.學(xué)生要通過這一階段數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)掌握歸納、演繹、類比等問題推理的方法，具備將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.但由于初中生受年齡和生活經(jīng)驗的限制，在學(xué)習(xí)時經(jīng)常存在思維缺陷，導(dǎo)致數(shù)學(xué)能力總是得不到提升.這就需要教師轉(zhuǎn)換傳統(tǒng)的教學(xué)模式，注重數(shù)學(xué)思想的滲透，帶領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)內(nèi)涵，體會數(shù)學(xué)本質(zhì).

初中生正處于形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵時期，絕大多數(shù)的學(xué)生面對概念性知識首先想到的是死記硬背，而不是靈活應(yīng)用.但學(xué)生面對的數(shù)學(xué)問題又不止有一種形態(tài)，這就會導(dǎo)致學(xué)生在解題時受限于自身的抽象性思維和概括性思維，難以實現(xiàn)知識的深入記憶和靈活應(yīng)用.數(shù)學(xué)學(xué)科的根本是研究數(shù)量結(jié)構(gòu)變化、空間以及信息等概念，其作為我國教育體系中的重要內(nèi)容，與其他學(xué)科相比，有著較強的獨特性.數(shù)學(xué)有其獨特的語言和思維模式，學(xué)生若想解決數(shù)學(xué)問題，必須要具備邏輯思維.這就需要初中數(shù)學(xué)教師完善教學(xué)計劃，構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò)，建立各知識點、概念、法則、公式、定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生能夠主動建立知識架構(gòu).

2 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂滲透的優(yōu)勢

2.1 激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中的兩個最古老也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.而初中數(shù)學(xué)課程體系內(nèi)研究的主要對象也是“數(shù)”與“形”，建立二者之間的聯(lián)系可以稱之為數(shù)形結(jié)合.其作為一種較為古老的數(shù)學(xué)思想，能夠保證“數(shù)”與“形”這兩個關(guān)鍵因素的靈活轉(zhuǎn)換.借助“數(shù)”的精確性，闡明“形”的某些屬性，或借助“形”的直觀性，闡明“數(shù)”的某種關(guān)系，實現(xiàn)以數(shù)解形，以形助數(shù).

圍繞數(shù)形結(jié)合思想開展初中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以將知識直觀地呈現(xiàn)在課堂上，也能使整體教學(xué)模式更符合學(xué)生的思維認(rèn)知規(guī)律.在數(shù)形結(jié)合滲透的過程中，學(xué)生會產(chǎn)生更濃厚的學(xué)習(xí)興趣，也能逐漸建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.大多數(shù)初中生在解決問題時無法靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就會使自身陷入復(fù)雜的計算與推理過程，極大程度上影響解題效率和正確率，也會限制初中生數(shù)學(xué)思想的發(fā)展.而在滲透了數(shù)形結(jié)合思想的課堂上，通過教師的引導(dǎo)，不僅可以改變原本數(shù)學(xué)知識的枯燥乏味，使學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題有濃厚的興趣，也能讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，在直觀形象的認(rèn)知中理解知識、體會知識、應(yīng)用知識.

2.2 促進思維發(fā)散

數(shù)字與圖形可以實現(xiàn)靈活轉(zhuǎn)化，在初中數(shù)學(xué)課堂上，教師要側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，讓學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)思維的順利轉(zhuǎn)化，在解決問題時不再受限于自身的思維水平和數(shù)學(xué)能力.初中數(shù)學(xué)知識對學(xué)生的思維能力要求較高，而初中生又處于思維發(fā)展的敏感時期，借助數(shù)形結(jié)合思想，可以促進學(xué)生的思維發(fā)展.有的初中生邏輯思維較強，所以在面對代數(shù)知識時可以游刃有余，但當(dāng)這類學(xué)生面對圖形問題時，即便問題比較簡單，也無法尋找到具體的規(guī)律.

在數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)下，學(xué)生可以給圖形賦值，如標(biāo)注圖形的邊長、角度等內(nèi)容，結(jié)合抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形，強化數(shù)學(xué)思維.在面對數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生往往需要通過理解、設(shè)想、提問、驗證等多個環(huán)節(jié)，才能獲得答案.但這些環(huán)節(jié)對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維要求較高，為了保證初中數(shù)學(xué)課堂滿足學(xué)生的興趣需要和實際發(fā)展需要，教師要以數(shù)學(xué)知識為媒介，滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生可以在學(xué)習(xí)過程中模仿數(shù)學(xué)思維.面對實際問題時也可以將問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，用自己獲得的知識順利解決，使學(xué)生獲得成功的體驗，逐漸樹立學(xué)習(xí)信心.

2.3 提高教學(xué)質(zhì)量

身為一線教師，一生的工作都致力于如何提高課堂教學(xué)質(zhì)量.絕大多數(shù)初中生面對數(shù)學(xué)知識都會表現(xiàn)得意興闌珊，這也為教師的教學(xué)過程帶來負(fù)面影響.有的教師雖有著豐富的教學(xué)經(jīng)驗，但是在課堂上面對學(xué)生空洞、茫然的眼神，卻無從施展.為此，初中數(shù)學(xué)教師若想從根本上提高課堂效率與質(zhì)量，首要任務(wù)就是要保證學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有濃厚的興趣.初中數(shù)學(xué)知識體系的兩大關(guān)鍵要素就是數(shù)字、圖形，借助這兩項內(nèi)容可以擴寬學(xué)生的理性思維，使學(xué)生面對抽象的數(shù)學(xué)知識時不再有壓力和負(fù)擔(dān).教師要積極在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高課堂教學(xué)的實效性.數(shù)形結(jié)合主要是讓人類視覺中樞參與解決問題的過程，而視覺中樞能進行并行運算，所以打造數(shù)形結(jié)合課堂可以從根本上提升教學(xué)質(zhì)量.

數(shù)學(xué)世界是豐富且精彩的，雖然一切知識體系都是圍繞“數(shù)”與“形”這兩個基本概念提出的，但為了體現(xiàn)二者的對立性和統(tǒng)一性，經(jīng)常會存在各個知識點聯(lián)合出現(xiàn)的情況.數(shù)量關(guān)系可以通過幾何圖形做出直觀的反映與描述，而數(shù)形結(jié)合思想更能體現(xiàn)問題的直觀性，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，逐漸建立邏輯思維.

3 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂滲透的實踐策略

3.1 數(shù)形結(jié)合思想在幾何知識中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)課程體系內(nèi)，“數(shù)”與“形”往往是對立存在的，但實現(xiàn)二者的有效結(jié)合，可以提高課堂教學(xué)效率，加強學(xué)生對知識的認(rèn)知與理解.不少學(xué)生由于缺乏直觀想象能力，面對幾何知識時會產(chǎn)生畏難心理，而由于教師本身不夠關(guān)注數(shù)形結(jié)合思想的滲透，導(dǎo)致學(xué)生的幾何知識學(xué)習(xí)效率低下.為此，在具體教學(xué)過程中，教師要將數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)與內(nèi)涵呈現(xiàn)在課堂上，引導(dǎo)學(xué)生主動進行“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化.使學(xué)生可以借助數(shù)量關(guān)系，解決圖形問題.

例如：在學(xué)習(xí)“特殊角的三角函數(shù)”相關(guān)知識時，可以選擇“以形變數(shù)”的解題思想方法，使學(xué)生可以面對圖形問題，迅速關(guān)聯(lián)數(shù)量關(guān)系.

例題 在△ABC中，∠C=60°，∠A=45°，AB=5，BC=3，求AC的長度.

面對這一習(xí)題，學(xué)生要先將題目中的已知條件呈現(xiàn)在△ABC內(nèi)，思考30°、45°、60°相關(guān)的三角函數(shù)值.結(jié)合三角函數(shù)的概念以及內(nèi)在聯(lián)系，將圖形轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的計算公式.并且在畫圖過程中考慮到三角形可能的形狀而進行分類討論.在這樣的解題過程中，能夠使學(xué)生熟練地應(yīng)用以數(shù)解形的解題模式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)感知能力.

3.2 數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)知識中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是讓學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.在初中數(shù)學(xué)課堂上，教師要保證數(shù)形結(jié)合思想的呈現(xiàn)方式科學(xué)合理，要讓學(xué)生在建構(gòu)“數(shù)”與“形”的關(guān)系的同時，尋找解決數(shù)學(xué)問題的辦法.絕大多數(shù)初中生面對代數(shù)知識時都難以理解，因為這一部分的知識對學(xué)生的邏輯推理能力要求較高，而利用數(shù)形結(jié)合思想，則可以減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力.解決初中階段的代數(shù)問題，可以運用反證法、歸納法、配方法等，這也是教師的課堂教學(xué)主要內(nèi)容，但這種解題模式對學(xué)生的思維能力培養(yǎng)效果并不理想.因此，教師要注重數(shù)形結(jié)合思想的滲透，使學(xué)生在面對問題時可自覺分析數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的聯(lián)系，促進初中生理性思維的建立.

例如：在學(xué)習(xí)“乘法公式”相關(guān)知識時，大部分學(xué)生雖然能夠正確計算，但是并不能理解乘法公式的基本內(nèi)涵.這時，教師就可以利用數(shù)形結(jié)合的方法，將整個解題過程直觀地展示給學(xué)生.以（a+b）2為例，可以先畫一個正方形，使其邊長為a+b，再將正方形分割成兩個邊長分別為a和b的小正方形，以及兩個長與寬分別a和b的矩形，利用這種數(shù)形結(jié)合的方式，可以讓學(xué)生面對數(shù)字問題時快速聯(lián)想圖象，以直觀的圖象解決抽象的問題，從而提高學(xué)生的計算能力，加強其對完全平方公式的理解.

3.3 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)知識中的應(yīng)用

對于初中生而言，函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的第一大難點，但是函數(shù)模塊也是整個數(shù)學(xué)課程體系的重點內(nèi)容.函數(shù)相關(guān)知識復(fù)雜多變，涉及的知識點比較零散，數(shù)量較多，這就會使得學(xué)生在面對函數(shù)問題時遇到各種各樣的阻礙，甚至絕大多數(shù)的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)知識難的想法都是基于函數(shù)知識引發(fā)的.初中階段的函數(shù)知識更具基礎(chǔ)性，且對學(xué)生的思維能力要求不是很高，如果學(xué)生將函數(shù)視為最強大的對手，那么教師就要將數(shù)形結(jié)合思想，變?yōu)閷W(xué)生對抗對手的武器.函數(shù)知識有獨特的表達式和圖象，學(xué)生在學(xué)習(xí)時也可以借助圖象分析函數(shù)性質(zhì).教師要引導(dǎo)學(xué)生主動利用數(shù)形結(jié)合思想，建立函數(shù)表達式與圖象的聯(lián)系，減輕學(xué)生面對函數(shù)知識時的恐懼心理.

例如：某小區(qū)安裝圓形噴泉水系，要在水系中心安裝垂直的圓柱，圓柱的位置為點P，點O處于水面的中心處，與點P距離為1.25米，由P點向四方噴水，水流的噴射方向呈拋物線狀態(tài).為了保證水系的美觀性，設(shè)計師將方案設(shè)計為水流在距離OP為1米的地方達到最大高度2.25米，求水池的半徑至少為多少時，噴泉中的水才不會噴出水系區(qū)域？

這是較為經(jīng)典的以拋物線為核心的函數(shù)應(yīng)用題，為了解決這一問題，首先要分析題目中的變量和不變量，其次確定各個變量之間的關(guān)系.通過分析問題，我們可以判斷，這是一道求解拋物線變量的問題.這時，就可以根據(jù)題目中的條件，繪制圖象.圖象中點O到點A的距離就是題目中所說的“噴泉中的水不會噴出水系區(qū)域”.學(xué)生面對這道題，要先想到繪制函數(shù)圖象（圖1），將題目中的已知變量標(biāo)記在圖象上.再建立已知條件與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，也能實現(xiàn)數(shù)字信息與圖像信息的有效轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生的解題效率.

4 結(jié)論

總而言之，在如今的初中數(shù)學(xué)課堂上，教師要深刻認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想的教育價值，將其以直觀的形式呈現(xiàn)在課堂上，使學(xué)生在面對數(shù)學(xué)知識時可以快速建立數(shù)字與圖象的聯(lián)系.在具體教學(xué)過程中，要將數(shù)形結(jié)合思想滲透于幾何知識、代數(shù)知識和函數(shù)知識體系內(nèi)，讓學(xué)生在特定的條件內(nèi)自主探究“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生可以逐漸借助數(shù)學(xué)思想，建立數(shù)學(xué)思維，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)綜合能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.