教學(xué)案例：“蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué) 4.1平方根（1）”

鄭駿

摘 要：本文基于校本課堂模式研究，結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例：“蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué) 4.1平方根（1）”，針對(duì)課堂的三個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，確定目標(biāo)、達(dá)成目標(biāo)、反饋補(bǔ)償開(kāi)展了嘗試探索，從而提升課堂教學(xué)效能，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：校本課堂模式研究；核心素養(yǎng)；初中數(shù)學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程，掌握適應(yīng)現(xiàn)代生活及進(jìn)一步學(xué)習(xí)必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣和合作交流的意愿；發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，形成核心素養(yǎng).”［1］筆者以“蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué) 4.1平方根（1）”為例開(kāi)展校本課堂模式研究.

1 深度備課，細(xì)化目標(biāo)——精確目標(biāo)

細(xì)化教學(xué)目標(biāo)的過(guò)程既是對(duì)整節(jié)課的設(shè)計(jì)、定位的過(guò)程，也是確定教學(xué)重、難點(diǎn)的過(guò)程.

蘇教版八年級(jí)上4.1平方根（1）教學(xué)參考書(shū)上給出的目標(biāo)為：1. 了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根；2. 了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些數(shù)的平方根.

首先教學(xué)參考書(shū)給出的教學(xué)目標(biāo)是合理，教師要利用這個(gè)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)流程及框架：平方根概念——根號(hào)（符號(hào)）的教學(xué)——通過(guò)例題求某些數(shù)的平方根.從教師的角度，平方根的概念是非常的簡(jiǎn)單，但是因?yàn)檫@里涉及逆運(yùn)算的過(guò)程，所以對(duì)于學(xué)生而言是非常抽象的.接下來(lái)就是如何突破這個(gè)難點(diǎn).既然平方根的概念是難點(diǎn)，那么就可以對(duì)照平方根的概念x2＝a進(jìn)行思考，因此選定二次方程作為載體進(jìn)行概念辨析.

經(jīng)過(guò)這樣的思考后，最后定下本課的教學(xué)目標(biāo)：1. 了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根；2. 了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些數(shù)的平方根；3. 會(huì)利用平方根的意義解簡(jiǎn)單的二次方程；4. 讓學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)其對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲.

精確目標(biāo)其實(shí)就是厘清本節(jié)課“講什么？”的過(guò)程，其核心就是在于深度備課，只有教師對(duì)知識(shí)的來(lái)龍去脈了然于胸，才能準(zhǔn)確地設(shè)計(jì)課堂內(nèi)容.

2 增加預(yù)設(shè)，精準(zhǔn)提問(wèn)——精煉過(guò)程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

情境：設(shè)圖中的小方格的邊長(zhǎng)為1，你能分別說(shuō)出圖中2個(gè)三角形的斜邊AB，A′B′的長(zhǎng)嗎？

可以作為創(chuàng)設(shè)情境載體的內(nèi)容有很多，例如：一間面積為15m2的正方形房間，它的邊長(zhǎng)是多少？剪4個(gè)直角邊長(zhǎng)為10cm的等腰直角三角形，把它們拼成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少……最終選用勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用作為載體的原因，一方面是從數(shù)學(xué)知識(shí)上它是連貫的，另一方面也是符合學(xué)生的認(rèn)知需要的.

2.2 合作質(zhì)疑，探索新知

活動(dòng)一：研究：當(dāng)x2＝a時(shí)，x是什么數(shù)？使x2＝a（a＞0）成立的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).板書(shū)：平方根概念；±a；5的平方根表示方法±5.

在勾股定理引入后，用“研究：當(dāng)x2＝a，x是什么數(shù)？”作為過(guò)渡，并且提問(wèn)讓學(xué)生自己再舉出一個(gè)例子，即體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，又可以幫助學(xué)生形成直觀感受，為揭示抽象的平方根概念做好具體數(shù)值的準(zhǔn)備，這也是突破難點(diǎn)的方式之一.同時(shí)給出“±a”的表示方法以及解決創(chuàng)設(shè)情境中A′B′的長(zhǎng)為5，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解平方根以及相關(guān)概念.

為了總結(jié)出正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的平方根的情況，教材采用了如下的方式：下列各數(shù)有平方根嗎？如果有，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9，5，925，0，-49，-8，-36.

這樣的優(yōu)點(diǎn)在于可以進(jìn)一步理解平方根的概念，不足之處在于沒(méi)有為后面講解開(kāi)平方也是一種運(yùn)算，以及開(kāi)平方運(yùn)算與平方運(yùn)算互逆起到鋪墊作用.對(duì)比后最終選定下面的呈現(xiàn)方式.當(dāng)學(xué)生正確填空后，教師用提問(wèn)“9的平方根是什么……”的方式也可以達(dá)到教材呈現(xiàn)方式的效果.

活動(dòng)二：交流：在各括號(hào)中能填寫(xiě)適當(dāng)?shù)臄?shù)使等式成立嗎？如果能，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由，并與同學(xué)交流.

（? ）2＝9，（? ）2＝5，（? ）2＝925，

（? ）2＝0，（? ）2＝-49，（? ）2＝-36.

板書(shū)：總結(jié)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方.

活動(dòng)三：判斷下列說(shuō)法是否正確：（1） -5是25的平方根；（2） 25的平方根是-5；（3） 0的平方根是0；（4） 1的平方根是1；（5） （-3）2的平方根是-3.

設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生過(guò)去遇到的運(yùn)算結(jié)果通常是唯一的，因此讓學(xué)生理解一個(gè)正數(shù)開(kāi)平方有兩個(gè)結(jié)果可能會(huì)有一定的困難，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況補(bǔ)充了活動(dòng)三的有關(guān)平方根概念的辨析.

2.3 典型例題，形成方法

例1 求下列各數(shù)的平方根：（精確目標(biāo)1、2）

（1） 25；（2） 1681；（3） 15；（4） 0.09；（5）? （-5）2；（6） 0.1-8.

例題1在格式方面有兩種呈現(xiàn)形式：

形式1：因?yàn)椋ā?）2＝25，所以25的平方根是±5；

形式2：25的平方根是±25，即±5；

形式1強(qiáng)調(diào)的是通過(guò)平方運(yùn)算求平方根，形式2重點(diǎn)在應(yīng)用平方根的概念.從突破難點(diǎn)的角度，最終選定形式2.選定形式2不是結(jié)束，在求1681和15平方根的時(shí)候，教師通過(guò)提問(wèn)“什么數(shù)的平方等于1681”和“±15是具體存在的數(shù)嗎”來(lái)強(qiáng)調(diào)平方、開(kāi)平方是兩種互逆運(yùn)算.根據(jù)學(xué)情，補(bǔ)充求（-5）2和0.1-8的平方根的例題，體現(xiàn)開(kāi)平方運(yùn)算與其他運(yùn)算的混合計(jì)算，提高學(xué)生的綜合計(jì)算能力.

例2 求下列各式中x的值：（精確目標(biāo)3）

（1） x2＝16；（2） 2x2＝8；（3） 4x2-81＝0；

（4）? （x-1）2＝9.

例3 已知3a-22和2a-3是正數(shù)m的兩個(gè)平方根，求m的值.（精確目標(biāo)2）

補(bǔ)充例題2和例題3是為了學(xué)生能進(jìn)一步理解平方根的概念，理解開(kāi)平方與平方是互逆運(yùn)算.因此不是從方程角度提問(wèn)，而是應(yīng)當(dāng)對(duì)照板書(shū)上平方根的概念，引導(dǎo)學(xué)生從這個(gè)角度認(rèn)識(shí)，也為今后解一元二次方程提供依據(jù).

精煉過(guò)程其實(shí)就是厘清本節(jié)課“怎么講？”的過(guò)程.其核心在于掌握學(xué)情，理解教學(xué)內(nèi)容，最終將這兩者連接起來(lái)，達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

3 鞏固延伸 精準(zhǔn)反饋

3.1 鞏固練習(xí)，互動(dòng)展示

練習(xí)填空

（1）? 5的平方根是_____________；

（2）? 0.04的平方根是_____________；

（3）? 62536的平方根是_____________；

（4）? x2＝121 ，則x的值是_____________；

（5） 若代數(shù)式81y-1的平方根只有一個(gè)，則y的平方根是_____________.

為了便于控制時(shí)間，在糾錯(cuò)過(guò)程中，抓住學(xué)生的普遍問(wèn)題以及與本節(jié)課密切聯(lián)系的問(wèn)題.例如：x2＝121，學(xué)生解答為x＝11.這個(gè)錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有理解“一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根”，這個(gè)就必須重點(diǎn)糾錯(cuò)；而62536的平方根什么？是因?yàn)閷W(xué)生忘記625是哪個(gè)整數(shù)平方，由于時(shí)間關(guān)系，糾正即可.

3.2 發(fā)展能力，拓展延伸

已知2x-1的平方根為±3，3x+y-1的平方根為±4，求x+2y的平方根.

前面的內(nèi)容是已知一個(gè)非負(fù)數(shù)求這個(gè)數(shù)的平方根，本題則是已知一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根求這個(gè)非負(fù)數(shù).其目標(biāo)本質(zhì)還是要了解開(kāi)平方運(yùn)算與平方運(yùn)算互逆.

課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)針對(duì)性很強(qiáng)的鞏固練習(xí)和拓展題，可以幫助教師精準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題.課堂上教師要關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的課堂反饋情況，及時(shí)進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的二次矯正，并對(duì)后續(xù)教學(xué)提供針對(duì)性的強(qiáng)化訓(xùn)練.

精準(zhǔn)反饋設(shè)計(jì)在課前，實(shí)施在課內(nèi)，延伸在課后.數(shù)學(xué)課堂中留足學(xué)生反饋時(shí)間，通過(guò)課堂反饋，教師要及時(shí)進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的二次矯正，并對(duì)后續(xù)教學(xué)提供針對(duì)性的強(qiáng)化訓(xùn)練.同時(shí)通過(guò)教師之間的交流很好地掌握學(xué)生作業(yè)中的共性問(wèn)題，并對(duì)學(xué)生共性問(wèn)題進(jìn)行二次強(qiáng)調(diào)和強(qiáng)化矯正.課內(nèi)的及時(shí)反饋和補(bǔ)償，可以使延伸的作業(yè)成為學(xué)生對(duì)課堂所學(xué)的正確認(rèn)知的進(jìn)一步鞏固、深化和拓展.

4 課堂小結(jié)

感悟收獲：（1） 平方根的概念及表示方法；（2） 求非負(fù)數(shù)的平方根；（3） 開(kāi)平方運(yùn)算與平方運(yùn)算互逆.

教師根據(jù)課堂需要，既可以使學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行歸納整理，又可以拓展思維，將課堂延續(xù)到課外.建立學(xué)生課堂思維導(dǎo)圖，回顧課堂基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，也是精確目標(biāo)達(dá)成情況的再呈現(xiàn)，是學(xué)生對(duì)課堂學(xué)習(xí)再認(rèn)識(shí)、再總結(jié)、再升華.

通過(guò)本節(jié)課的授課，反思總結(jié)如下：教學(xué)目標(biāo)的制定尤其重要，可以從以下4個(gè)維度去控制.

4.1 具體

結(jié)合課標(biāo)、教材的要求，實(shí)施目標(biāo)分解，精確分解到每一個(gè)課時(shí)具體可落實(shí)的目標(biāo).對(duì)比蘇科版和人教版教材，深度整合教材內(nèi)容（添加、改編、合并、刪減），使目標(biāo)達(dá)成過(guò)程最優(yōu)化（新知教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)潔不繁復(fù)、例題難度適中與知識(shí)技能聯(lián)系緊密、拓展難度適當(dāng)不過(guò)分、練習(xí)能鞏固教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)教學(xué)重難點(diǎn)）.

4.2 可測(cè)

數(shù)學(xué)課程目標(biāo)包括結(jié)果目標(biāo)和過(guò)程目標(biāo).結(jié)果目標(biāo)準(zhǔn)確使用“了解、理解、掌握、運(yùn)用”等術(shù)語(yǔ)表述，過(guò)程目標(biāo)準(zhǔn)確使用“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索”等術(shù)語(yǔ)表述，使目標(biāo)可測(cè).

4.3 分層

制定目標(biāo)需要體現(xiàn)一定的“分層”“滿足不同學(xué)生發(fā)展需要”等要求.具體做法為在課堂設(shè)計(jì)中增加有一定難度的問(wèn)題，對(duì)成績(jī)較好學(xué)生的要求和成績(jī)較低學(xué)生的要求可以不一致.

4.4 激勵(lì)

要求目標(biāo)中要有“激勵(lì)有效”的成分，讓每一個(gè)學(xué)生“產(chǎn)生的積極的、正面的情感體驗(yàn)”，從而達(dá)成“情感態(tài)度與價(jià)值觀”目標(biāo).

課堂核心部分，需要教師深研教材，以蘇科版教材內(nèi)容為主，對(duì)于章節(jié)中不合乎學(xué)生學(xué)情的內(nèi)容可以做適當(dāng)調(diào)整.學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)教師引導(dǎo)、動(dòng)手實(shí)踐、主動(dòng)探索與合作交流等方式構(gòu)建新知，并獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).教師要引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中，生長(zhǎng)新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，完成新知建構(gòu)過(guò)程.教師要精選典型例題，例題選擇要立足學(xué)情、立足教學(xué)目標(biāo)中的核心目標(biāo)，以蘇科版教材內(nèi)容例題為第一選擇，之后根據(jù)學(xué)生學(xué)情選擇有一定思維含量的例題作為有益補(bǔ)充，以更好地達(dá)成教學(xué)目標(biāo).在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，通過(guò)生生互動(dòng)或師生互動(dòng)，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.