踐行“自學·議論·引導”理念,賦能初中數(shù)學教學

[摘? 要] “自學·議論·引導”教學理念，歷經(jīng)四十載的實踐與研究，在初中數(shù)學教學中獲得了豐碩的成果. 隨著新課改的推進與“雙減政策”的落地，該理念對如今的數(shù)學課堂教學更具指導意義. 文章以“同底數(shù)冪的乘法”教學為例，具體從“三學”的角度來闡述學材再建構(gòu)，自然切入主題;學程重生成，巧妙揭示新知;學法三結(jié)合，建構(gòu)鞏固新知;課堂總提煉，提升思維能力.

[關(guān)鍵詞] “自學·議論·引導”;學材;學程;學法;課堂教學

作者簡介：盧波意（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事初中數(shù)學學科教學與研究工作，曾獲無錫市青年數(shù)學教師基本功大賽三等獎.

李庾南老師提出的學法三結(jié)合、學材再建構(gòu)與學程重生成（簡稱“三學”）是“自學·議論·引導”教學的核心[1]，尤其是在“雙減”的背景下，對師生的教與學提出了更高的要求. 想要師生在有限的時間內(nèi)最大限度地達到效益最大化，必然離不開各種先進的教學理念與手段的輔助. 事實證明，“三學”法的應(yīng)用，是賦能數(shù)學課堂教學，培養(yǎng)學生數(shù)學能力的催化劑.

“同底數(shù)冪的乘法”作為冪運算的基礎(chǔ)，不僅是后繼學習的基石，還是物理、化學等學科的基本運算方法. 因此，本章節(jié)的教學，對學生的發(fā)展具有重要意義. 基于以上認識，筆者在“自學·議論·引導”理念的指導下，踐行“三學”思想，呈現(xiàn)以下形態(tài)的教學過程.

<D：＼Jzianhi＼龍源＼4.13＼數(shù)學教學通訊·初中版202303＼aa-1.jpg> 學材再建構(gòu)，自然切入主題

“三學”中的學材再建構(gòu)是指在教學過程中，教師結(jié)合學情，將教學內(nèi)容進行重組、整合，如將一些學法相近或內(nèi)容互通、互逆的一些知識整合在一起，實施單元教學[2]. 這種教學方式，不僅是將知識的結(jié)論呈現(xiàn)給學生，更注重知識的形成過程. 學材再建構(gòu)也可以理解為將一些零碎的知識點有機地聯(lián)系到一起，讓學生能更加清晰地明確知識間的聯(lián)系，幫助學生建構(gòu)完整的認知體系. 實踐證明，這種教學方式對促進學生思維的成長具有直接影響.

本節(jié)課中，不少教師會選擇將“同底數(shù)冪的乘法”與“冪的乘方和積的乘方”等內(nèi)容整合到一起實施教學. 一般安排為：課時一，從乘方的意義與乘法運算律的應(yīng)用出發(fā)，獲得同底數(shù)冪的乘法，再從乘方的意義和同底數(shù)冪的乘法中，獲得冪的乘方和積的乘方;課時二和課時三，一般安排學生進行運算性質(zhì)相關(guān)的練習. 這種單元化的教學設(shè)計，能讓學生對三條性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系形成較為深刻的印象，同時也能充分感知知識的發(fā)展過程.

實踐中，筆者也應(yīng)用了以上整合方式對這部分內(nèi)容進行教學，收效尚可. 為了踐行“雙減政策”，在原有基礎(chǔ)上獲得更進一步的突破，以提高教學效益，筆者又進行了新的學材整合的嘗試，具體如下：

第一課時，師生一起探討同底數(shù)冪乘法的相關(guān)知識;第二課時，要求學生結(jié)合以上研究方法和經(jīng)驗，探索“冪的乘方與積的乘方”的內(nèi)容;第三課時，安排運算性質(zhì)的相關(guān)練習.

為了將教材有機地融合到實際教學中，筆者經(jīng)過反復揣摩、分析與思考，設(shè)計了如下教學過程，以帶領(lǐng)學生自然而然地進入“同底數(shù)冪的乘法”的研究中去.

情境創(chuàng)設(shè)：為了提高生活質(zhì)量，相關(guān)部門準備將街心花園一塊長、寬分別為p，b米的長方形花圃往兩邊分別加寬a，c米.

問題1：若想求出擴大后的花園面積，你能想到幾種方法？

問題2：觀察不同的表示方法，說說它們之間的聯(lián)系.

問題3：怎樣從數(shù)學的角度來辨析不同表示方法之間的關(guān)系？

設(shè)計意圖? 教材中提到與“街心花園”相關(guān)的內(nèi)容，教師結(jié)合這個點，提出三個問題，成功地吸引了學生的注意力，讓學生對知識產(chǎn)生了探究欲，并初步感知整式運算學習的現(xiàn)實意義. 此情境，不僅揭示了整式乘法與因式分解之間的互逆運算，而且“積化和”也是后繼將會涉及的整式乘法，而“和化積”則為因式分解.

此過程中，利用教材所呈現(xiàn)的內(nèi)容，經(jīng)過重組，順利引出本堂課的教學主題，學生通過對這三個問題的分析，自然而然地過渡到“同底數(shù)冪的乘法”的研究中去.

問題4：若加寬后的長方形的長、寬分別是33，32，能否用式子來表示加寬后的長方形的面積？

學生列式為33×32.

問題5：這個式子屬于什么運算（乘法）？式子中的乘數(shù)具備什么特征（冪）？兩個冪之間有什么聯(lián)系？

教師若基于初始的三個問題，直接提出“我們在之前已經(jīng)研究了整式的加減法，今天我們一起來學習整式的乘法以及與之關(guān)系密切的因式分解，并一起來探討同底數(shù)冪的乘法”或向?qū)W生直接呈現(xiàn)33×32這個式子，而后切入本節(jié)課的研究主題，這種教學方式顯然有點生硬.

為了讓學生從心理上更加流暢地接受本節(jié)課的教學內(nèi)容，教師可在原有問題的基礎(chǔ)上進行改編，讓學生對知識產(chǎn)生親切感. 如將長方形的邊長p與a+b+c改成32與33，引導學生感知“長方形的面積可以從一個同底數(shù)冪的乘法式子”中獲得.

當學生對本節(jié)課的教學主題有了一定的了解與認識后，教師也無須著急帶領(lǐng)學生對式子進行運算，可以從進一步了解同底數(shù)冪的運算具備怎樣的特點的角度去分析，引導學生從以下三個問題著手探究：①這個式子是什么運算？②式子中的乘數(shù)是什么形式？③式子中乘數(shù)之間兩個冪具備怎樣的關(guān)系？

隨著問題的探究，學生逐步弄清該式為一種乘法運算，是冪的乘法運算，是同底數(shù)冪的乘法運算，由此抽象出此類運算的特征，提煉出運算名稱——同底數(shù)冪的乘法.

學程重生成，巧妙揭示新知

“自學·議論·引導”教學法指導下的“三學”課堂，主張開放、互動的形態(tài). 其實，課堂教學本就是一個動態(tài)的過程，隨著教學的推進，常會出現(xiàn)預設(shè)之外的情況，此時也是課堂動態(tài)生成的契機. 因此，教師應(yīng)注重課堂教學的動態(tài)，注重知識的生成，以彰顯數(shù)學教學的生機與活力.

教學過程中，學生常會呈現(xiàn)出一些新穎的想法或有建設(shè)性的問題，教師應(yīng)抓住這些預設(shè)外的想法與問題作為教學的契機，沿著學生的思維進入深層次的探究. 本節(jié)課中，為了帶領(lǐng)學生順利獲得同底數(shù)冪乘法的一般形式，教師可作如下處理：

問題1：請大家列舉一些與“同底數(shù)冪乘法”有關(guān)的例子.

若學生的列舉過于單一，毫無創(chuàng)意可言，教師還可適當?shù)丶右宰穯柌⑦M行啟發(fā).

問題2：剛剛大家所列舉的一些同底數(shù)冪乘法的例子，我觀察了一下，都是底數(shù)為整數(shù)的情況，有沒有同學能列舉出底數(shù)非整數(shù)的例子？

在學生回答的基礎(chǔ)上，教師還可順著學生的思維，繼續(xù)提出：

問題3：從以上例子來看，大家列舉的底數(shù)均為正數(shù)，有沒有哪位同學能列舉底數(shù)為非正數(shù)的例子呢？

問題4：同底數(shù)冪相乘的式子，底數(shù)一定是我們列舉的那些數(shù)嗎？是否存在其他情況呢？底數(shù)可以是哪些數(shù)？若想推廣底數(shù)的一般形式，該如何表示（引出字母a表示底數(shù)）？大家能列舉一些底數(shù)為a的例子嗎？

問題5：同底數(shù)冪相乘的指數(shù)一定是2，3，4，…嗎？指數(shù)可以是什么范圍的數(shù)（正整數(shù)范圍）？若要將指數(shù)推廣到一般，該如何表示？

當學生使用同一個字母來表示兩個指數(shù)時，教師可引導學生探索指數(shù)是否一定相等，以及兩個指數(shù)能否使用不同的字母表示的問題.

問題6：底數(shù)與指數(shù)均推廣到一般狀態(tài)后，同底數(shù)冪相乘的情況又可以怎么表示呢？

設(shè)計意圖? 從乘法、冪的乘法與同底數(shù)冪的乘法三個層次出發(fā)，引出底數(shù)分別為整數(shù)、分數(shù)、正負數(shù)的情況. 鑒于學生對“用字母表示數(shù)”的廣泛意義存在一定的認識，此時再將底數(shù)從“特殊推廣到一般”就顯得更加合乎情理了.

對于學生而言，用字母表示指數(shù)冪比較陌生，因此會感到這部分知識較抽象、難理解. 若教師引導學生類比底數(shù)，找出指數(shù)具備怎樣的特征，則能讓教學變得更加流暢，學生很快就能獲得借用字母表示數(shù)的能力，順利解決將指數(shù)推廣到一般的問題，從而得到同底數(shù)冪乘法的一般形式，即am·an. 值得注意的是，探究過程中不可忽略底數(shù)a，以及指數(shù)m，n的實際意義.

練習設(shè)計：計算32×33，a2·a3，3m×3n（m，n為正整數(shù)），要求說出每一步的計算依據(jù).

設(shè)計意圖? 當學生獲得同底數(shù)冪乘法的一般形式后，會對其應(yīng)用產(chǎn)生更加深刻的理解，此練習設(shè)計則從學生已有的認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，鼓勵學生自主探索幾個典型式子的運算. 學生說出每一步運算依據(jù)的同時，就是深化理解知識的過程.

從冪的定義出發(fā)，32就是兩個3相乘;33就是三個3相乘，32×33是五個3相乘. 將底數(shù)3轉(zhuǎn)化為字母a，計算a2·a3，參照以上計算過程，則為五個a相乘.

隨著前三個練習的完成，教師可引導學生將運算結(jié)果與式子中的底數(shù)和指數(shù)進行比較，感知它們之間存在怎樣的聯(lián)系，并利用這種聯(lián)系充分發(fā)揮想象，猜想出am·an的結(jié)論.

問題7：猜想am·an的結(jié)論，并加以證明.

問題8：隨著兩個同底數(shù)冪相乘的研究，大家是否存在什么疑問或想法？

學生交流想法，并自主獲得其性質(zhì)為am·an·…·ap=am+n+…+p（m，n，p為正整數(shù)）.

設(shè)計意圖? 學生在積極參與中，不僅體會到乘方的實際意義、逆運算以及乘法結(jié)合律，還在探究過程中獲得了成就感，當教師提出“加以證明”的要求時，不僅為學生指明了探索的方向，還有效培養(yǎng)了學生用文字語言與符號語言進行知識互譯的能力. 問題8的提出，讓學生從兩個同底數(shù)冪相乘的角度出發(fā)，進一步推廣到同底數(shù)冪乘法運算性質(zhì).

學法三結(jié)合，建構(gòu)鞏固新知

學法三結(jié)合需要將學生的個人學習、小組合作與班級交流有機地融合在一起，應(yīng)用到教學中. 學生通過自主觀察、實驗、歸納，能將知識內(nèi)化到自身的認知結(jié)構(gòu)中，但每個學生都存在個體差異，在知識整理與消化的過程中存在顯著的差別，這就需要教師為學生提供合作交流的機會，讓每個學生都提出自己的想法，并在組員的相互交流中取長補短、總結(jié)經(jīng)驗，深刻理解知識.

練習訓練：觀察下列式子，說說哪些式子可以用同底數(shù)冪相乘運算性質(zhì)進行運算.

（1）x6+x6;（2）x·x6;

（3）22×36;（4）xn·xn+1.

問題1：（2）（4）兩個式子為同底數(shù)冪的乘法運算，它們的底數(shù)分別是什么？指數(shù)是什么？大家能直接說出這兩個算式的結(jié)論嗎？獲得這個結(jié)論的依據(jù)是什么？

問題2：要求每個學生自主出一道類似（2）（4）兩個式子的題目，小組內(nèi)解答，并將解題中存在的問題羅列出來.

問題3：同底數(shù)冪乘法的運算，需要注意些什么問題？

設(shè)計意圖? 讓學生在練習訓練中理解同底數(shù)冪乘法的運算，弄清該運算的性質(zhì)與特點. 教師幾個問題的提出，不僅幫助學生回顧了同底數(shù)冪乘法的特點，還讓學生開動腦筋自主出題，在合作交流中完成了計算. 這種帶著問題的練習訓練，有效地揭示了底數(shù)為任意數(shù)，指數(shù)為正整數(shù)，底數(shù)與指數(shù)可以用字母或多項式表示等性質(zhì).

學生回答底數(shù)、指數(shù)分別是什么，結(jié)論是如何得到的過程，就是深化理解這種運算性質(zhì)的過程. 在適當時機，教師還可以引導學生做一些補充填空的練習，如710=72×7 （? ），a7=a·a （? ）·a （? ），以此來訓練學生的逆向思維.

課堂總結(jié)提煉，提升思維能力

課堂小結(jié)是一節(jié)課的點睛之筆，是幫助學生理清知識結(jié)構(gòu)的主要環(huán)節(jié). 在課堂尾聲，教師引導學生回顧一堂課的學習過程與方法，可對所學內(nèi)容產(chǎn)生一個全局性的認識，積累學習經(jīng)驗，為后繼學習提供研究方法[3]. 本節(jié)課中，教師可以帶領(lǐng)學生從所學知識、方法等方面出發(fā)，總結(jié)如下：

學生通過總結(jié)，能更加清晰地認識本節(jié)課的教學內(nèi)容，為今后的學習積累了研究經(jīng)驗.

總之，“自學·議論·引導”是一種集“教法”與“學法”于一體的理念，教師可結(jié)合學情與教學內(nèi)容的特點，因勢利導地將這種教學方法貫穿課堂教學的各個環(huán)節(jié)，讓學生在豐富的教學活動中感知教材的再建構(gòu)、學程的生成以及學法三結(jié)合的優(yōu)勢，為思維能力的提升奠定基礎(chǔ).

參考文獻：

[1]馮衛(wèi)東. “自學·議論·引導”教學法的基本原理與操作要義[J]. 課程·教材·教法，2011（05）：43-48.

[2]李庾南，陳育彬. 構(gòu)建促進學力發(fā)展的數(shù)學課堂[J]. 課程·教材·教法，2008（08）：46-48.

[3]李庾南. 自學·議論·引導教學法[M].北京：人民教育出版社，2013.