巧借相對運動原理,妙解數(shù)學動點問題

[摘? 要] 縱覽近些年的數(shù)學中考試題，動點問題常出現(xiàn)在壓軸的位置. 此類問題具備綜合性高、分值大等特點，對學生的基本功要求較高. 不少學生遇到此類問題常常唉聲嘆氣，感覺力不從心. 鑒于此，文章以翻折（軸對稱）、平移、旋轉三類動點問題的解決為例，具體談談如何巧借相對運動原理，妙解數(shù)學動點問題.

[關鍵詞] 動點問題;相對運動;解題

作者簡介：李斌（1986—），本科學歷，從事初中數(shù)學教學工作.

物理學中，常借助相對運動原理解決一些運動問題. 其中，參照物的選擇尤為重要，它決定著運動的角度、效果與運算等. 實踐證明，相對運動原理除了廣泛應用于物理學科外，對處理數(shù)學中的定點與動點問題也有較好的效果[1].

一般情況下，遇到動態(tài)問題的求解，學生首先想到的就是用函數(shù)模型來解決問題，這種方法雖然符合學生的認知，但過程過于煩瑣. 如果根據(jù)問題條件，從運動變化的角度來觀察圖形以解決問題，這對于初中生而言，難度又相對偏高. 而巧借運動的相對性特征，不僅能將復雜的動態(tài)問題簡單化，還能激活學生的思維，幫助學生建構新的模型.

經(jīng)典例題分析

初中階段，數(shù)學教學涉及的動態(tài)變化問題常見的有翻折、平移與旋轉等. 如何快速、準確地把握此類問題的核心，實現(xiàn)求解呢？實踐發(fā)現(xiàn)，掌握規(guī)律、以靜制動、巧用模型、應用函數(shù)思想等方法，能起到較好的效果. 在此，筆者以三類問題為研究方向，結合運動的相對性特征的應用，進行解題分析.

1. 翻折（軸對稱）相對運動

此類問題一般以軸對稱類問題為代表，學生解題時常因缺乏良好的空間感而出現(xiàn)思維障礙. 若能借助相對運動原理解題，則能化繁為簡，突破思維的瓶頸，使解題得心應手.

例1? 如圖1所示，在矩形ABCD中，已知AB=12，BC=9，AE為∠CAB的平分線，其中點O為射線AE上的動點，若以點O為圓心作圓，使得☉O分別與直線AC，AB相切于點G，F(xiàn)，再作☉O關于射線AC的對稱圖形☉O′. 當☉O′與直線CD為相切的關系時，此時☉O的半徑為多少？

分析? 從問題條件著手進行分析，如圖2所示，將☉O翻折，獲得☉O′，但點O為一個動點，☉O會隨著點O位置的變化而變化. 因此，解決本題的關鍵步驟在于刻畫出☉O′的活動軌跡，找出它與直線CD發(fā)生相切關系的具體位置，位置一旦固定，求☉O的半徑就不成問題了.

處于運動狀態(tài)的☉O本身就比較復雜，若再將它翻折，則給學生思考增加了難度. 面對如此復雜的問題，若換個角度去分析，可能會有新的收獲.

如圖3所示，根據(jù)題意可知，☉O的軸對稱圖形☉O′是相對于直線CD在運動的，CD這條直線一直處于靜止狀態(tài)，若將CD這條直線沿著對角線AC翻折，僅需考慮☉O與CD的翻折線相切的情況即可.

解答：將CD沿著AC翻折，獲得CD′，由∠ACD′=∠ACD=∠CAH可知△ACH為一個等腰三角形. 容易證明點G為AC的中點，可得AG=CG=7.5，再從切線長定理出發(fā)，可得FA=GA=7.5.

分別連接OG，OF，根據(jù)切線性質，容易獲得Rt△OGA，Rt△OFA，BC∥OF，通過相似比可得=.

根據(jù)題設條件與證明，AB，AF的長已經(jīng)知道了，那么該如何求得BE的長呢？

根據(jù)角平分線的性質，可知BE的長與點E到AC的距離相等，因此自然想到，過點E作AC的垂線，再運用面積法得（12+15）BE=9×12，計算得BE=4，將其代入式子=，得=，計算得OF=2.5.

至此，就完美地解決了本題. 從該解題過程來看，相對運動原理的應用，有效地解決了這個復雜的軸對稱翻折問題，而且解題過程思路清晰，學生順利解決這一道題就能獲得解決這一類問題的能力.

例2? 如圖4所示，四邊形ABCD為一個菱形，其中AC=6，BD=6，點E為BC邊的中點，點P，M分別為AC，AB邊上的動點，若分別連接PE，PM，求PE+PM的最小值.

分析? 觀察題設條件，可知點P，M為兩個動點，點E為定點，那么點P，M在相對于點E的運動中，在什么情況下PE+PM的值最小呢？學生參考自身已有的認知經(jīng)驗，得到P，M，E三點共線時，PE+PM的值是最小的. 問題是，這三點并沒有實質運動到同一條直線上，該怎么辦呢？這讓不少學生感到茫然.

如圖5所示，反過來思考，將點E看作相對于點P，M運動的一點，從菱形的性質出發(fā)，利用翻折法將PE轉化成PE′，這相當于E，P，M三點就在同一條直線上，當E′M與AB垂直時，待求的PE+PM的值最小.

解答：如圖5所示，作點E關于AC的對稱點E′，再過點E′作E′M垂直于AB，點M為垂足，且與AC相交于點P，此時點P，M的位置為PE+PM取最小值的位置（證明過程略），因此PE+PM=PE′+PM=ME′.

因為四邊形ABCD為一個菱形，所以點E′位于CD上，又AC=6，BD=6，因此AB=3. 根據(jù)菱形的性質可得S=AC·BD=ME′·AB，計算得ME′=2，即PE+PM的最小值為2.

運動與靜止是相對而言的，本題將定點視為動點，將動點理解為定點，有效突破了思維的障礙，讓解題變得簡便. 通過本題的解決，讓學生深切體會到，解決數(shù)學問題，必須學會從多角度分析問題，當一條路行不通時，要換一種思維方式，則有可能見到曙光.

2. 平移類相對運動

平移類問題是近些年的熱門話題，一個點、一條線或一個圖形的移動，會帶動整個圖形的變化，這讓不少學生感到難以想象. 其實，相對運動能化動為靜，也能化靜為動，可降低問題難度，突破解題障礙.

例3? 在直角坐標系xOy中，點O的坐標為（0，0），已知點At

，t為第一象限內(nèi)的一個動點，點B（0，m）為y軸正半軸上的一個動點. 求AB=4時，△ABO的最大面積值.

分析? 從動點A的特征出發(fā)，能判斷出點A在直線y=x（x>0）上運動，而點B則在y軸上運動. 那么待求的△ABO就存在兩個動點，想要直接求出該三角形的面積，幾乎不可能.

觀察圖形，從圖中的幾何元素來思考，發(fā)現(xiàn)點A，B分別相對于點O在進行運動. 若將點A，B理解成靜止的，那么點O則相對于點A，B在運動. 從這個角度出發(fā)，問題則簡單多了.

解答：如圖6所示，根據(jù)點A的坐標，可知點A為直線y=x（x>0）上運動的點. 根據(jù)k=，不難發(fā)現(xiàn)∠AOB=60°. 又點O相對于A，B兩點在運動，可確定點O的活動軌跡為圓，由此可知△ABO為該圓（活動軌跡）的內(nèi)接三角形. 若想使得△ABO的面積最大，那它應為一個等邊三角形. 根據(jù)AB=4，可得該等邊三角形的高為2，故（S）=×4×2=4.

3. 旋轉型相對運動

例4? 如圖7所示，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=BC=6，點D為AB邊延長線上的一點，AB=CD. 若將△ACD圍繞點C逆時針旋轉α°（0<α<360），可得△A′CD′，如果點M恰巧為AC的中點，而點N為A′D′上的任意點，那么在三角形的旋轉過程中，線段NM長的取值范圍是多少？

分析? 根據(jù)題意可知，點M為定點，N為動點，點N會隨著△A′CD′的旋轉而發(fā)生旋轉運動，點N為相對于點M在一個動圓中不斷變化的點. 至于運動到哪個位置距離最大，哪個位置距離最小為本題的難點所在. 不少學生受空間想象力的限制，很難把握住NM長的取值范圍.

若將△ACD理解為一個固定不動的三角形，點N的位置一直落于線段AD上，將點M理解成相對于點N在不斷運動的點，點M到點C的距離不變，那么點M的運動軌跡就是以點C為圓心，以線段MC為半徑的圓.

解答：如圖8所示，當CN垂直于AD，與圓C相交于點M時，線段NM的長是最短的;當點N重合于點D時，延長DC可與圓C相交于點M，這時的NM最長.

依照直角三角形的相關性質，可得CN=3，CN=6，M1C=M2C=3，由此可確定NM長的取值范圍是

通過以上三類例題的分析，不難發(fā)現(xiàn)，它們雖然是不同種類的問題，但都蘊含著共性：以題設條件所提供的圖形進行分析并試圖求解，反而會將問題變得更加復雜，難度更大，而換個思維角度，引入相對運動的方法，則能讓原本動態(tài)、復雜的圖形變?yōu)殪o止、簡單的圖形. 隨著參照物的變化，問題變得越發(fā)簡單，學生能從中感知到一片新的解題天地.

借助相對運動解決問題的關鍵，在于明確其中的運動過程，并結合問題中所涉及的翻折、平移與旋轉等性質，可巧妙地結合圖形中運動的相對性原理，破解思維上的難點，達到解決問題的目的.

教學思考

1. 注重思維過程，提煉知識本質

解題過程反映了學生的思維能力，教師應注意避免學生出現(xiàn)“思維劃過”的現(xiàn)象，所謂思維劃過就是指“知其然而不知其所以然”的狀態(tài)，即看到問題能知曉答案，卻不知道答案的由來;或只能就題論題，知道某一題的解答方法，卻無法理解一類題的解答通法，更談不上變通與舉一反三. 通過一道題的解決，獲得觸類旁通的解題能力，才是真正掌握了知識的本質.

弗賴登塔爾提出，再創(chuàng)造是數(shù)學學習最正確的方法[2]. 也就是說，教師應引導學生將所學知識再創(chuàng)造一次，讓學生親歷知識的形成與發(fā)展過程，對知識的本質產(chǎn)生深刻理解，為知識的靈活應用奠定基礎.

鑒于此，教師在課程設計、教學實施的過程中，應做個有心人，通過對例題的精挑細選，營造民主、和諧的教學氛圍，鼓勵學生在獨立思考、自主分析與合作交流中，經(jīng)歷問題的辨析過程，提出合理的解題策略，自覺發(fā)現(xiàn)知識的核心性質以及解題的通法與技巧等，從而體悟出數(shù)學的本源與意義.

巧借相對運動原理解決數(shù)學問題的教學中，教師應注重結合學生原有的認知結構，應用同化與順應的教學方法，引導學生充分感知運動過程，以及參照物發(fā)生改變后的運動與靜止的相對關系，以提升學生的空間想象力與數(shù)學思維.

2. 立足實踐操作，親歷體驗感悟

對初中生而言，相對運動確實有點抽象，想要讓學生從“紙上談兵”中理清圖形間運動與靜止的關系，真不是一件容易的事情. 若借助實踐操作，則能讓學生通過直觀感受發(fā)現(xiàn)問題中圖形元素靜止與運動的相對狀態(tài)，為解題奠定基礎[3].

隨著社會的發(fā)展，科技的進步，幾何畫板、多媒體等的應用越來越廣泛. 為了增強學生的空間想象力，并理解運動與靜止的相對關系，教師可借助這些先進的多媒體工具，鼓勵學生親自參與動態(tài)圖形的繪制，讓學生在操作、觀察、演示與測量中，更加直觀地感知問題中的相對運動關系，為發(fā)現(xiàn)并深刻理解動態(tài)問題的本質奠定基礎，也為形成良好的解題能力夯實基礎.

3. 加強知識梳理，提高思維能力

數(shù)學是一門系統(tǒng)性學科，教學過程遵循循序漸進的原則. 在整合圖形變化類的知識點時，教師應鼓勵學生自主感知題組解答與互動過程，為有效推動知識入網(wǎng)做準備. 上述幾個例題，都是筆者精心篩選出來的問題，主要是從圖形運動變化的規(guī)律來思考相對運動的問題，幫助學生梳理此部分知識，為后期解決更多綜合性動態(tài)問題提供強有力的支撐.

日常教學中，教師可以時常帶領學生總結各類基本圖形，通過多次、反復的有效訓練，讓學生形成一種解題的條件反射. 尤其要注重對知識本身的追溯，讓學生學會思考、善于思考，并在思考中形成自己獨有的解題經(jīng)驗與技巧. 當再次遇到同類型的問題時，學生即使搞不清問題的來龍去脈，也能快速地想到作輔助線去解決問題.

當然，最關鍵的在于教師要做到心中有數(shù)，只有引導學生做好知識梳理工作，幫助學生建立完備的認知體系，學生才能自主地打通各個知識點之間的脈絡，建立良好的知識體系，獲得問題的本源，提高解題能力與數(shù)學素養(yǎng).

總之，巧借相對運動解決數(shù)學問題并不復雜，關鍵是要抓住相對運動的過程，結合翻折、平移、旋轉等性質，巧妙地改變圖形相對運動的關系，則能順利解決問題. 解題中，常會涉及數(shù)形結合思想、轉化思想、極端化思想以及建模思想等，這些數(shù)學思想作為數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是課堂教學中滲透的重點.

參考文獻：

[1]波利亞. 數(shù)學的發(fā)現(xiàn)[M]. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學出版社，2006.

[2]弗賴登塔爾. 作為教育任務的數(shù)學[M]. 上海：上海教育出版社，1995.

[3]李健. 妙用相對運動? 巧解動態(tài)問題[J]. 初中數(shù)學教與學，2019（11）：35-37.