淺析數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)過程中的滲透與發(fā)展

[摘? 要] 思想和方法蘊(yùn)含在知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的紐帶，其生長(zhǎng)于數(shù)學(xué)課堂的每個(gè)角落. 為了更好地發(fā)展學(xué)生，初中數(shù)學(xué)教師在關(guān)注結(jié)果教育的同時(shí)也要關(guān)注創(chuàng)新教育，帶領(lǐng)學(xué)生在知識(shí)的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程中感悟數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值，提升學(xué)生核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 思想和方法;創(chuàng)新教育;核心素養(yǎng)

作者簡(jiǎn)介：閔曉穎（1965—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是知識(shí)的一種傳承，更是思想和方法的發(fā)展. 思想和方法是知識(shí)更高層次的一種抽象和概況，更能彰顯學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思維發(fā)展水平. 但在應(yīng)試教育的束縛下，不少數(shù)學(xué)課堂還延續(xù)著“以師為主”的講授教育模式. 要知道，單純傳授知識(shí)的教育是一種結(jié)果教育、間接經(jīng)驗(yàn)教育，它重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是知識(shí)的傳承，其往往難以激發(fā)學(xué)生的潛能，不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的提升. 而創(chuàng)新教育是一種過程教育、直接經(jīng)驗(yàn)教育，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生參與知識(shí)的形成和發(fā)展過程，從而讓學(xué)生在參與的過程中獲得直接的數(shù)學(xué)感悟，將其逐漸轉(zhuǎn)化為個(gè)體的獨(dú)特學(xué)習(xí)能力，助力學(xué)生提升自主學(xué)習(xí)能力. 同時(shí)，為了更好地發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，從而幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生無限潛能，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力不斷提升.

在知識(shí)的形成過程中激發(fā)

在傳統(tǒng)教學(xué)中，為了提升教學(xué)效率，大多教師通常獨(dú)占課堂，將知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)以講授的方式直接傳授給學(xué)生，同時(shí)加以輔助的練習(xí)幫助學(xué)生理解和消化. 從練習(xí)反饋來看，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的問題學(xué)生可以通過模仿和套用順利完成，但是對(duì)于一些多變的、復(fù)雜的問題，學(xué)生常常表現(xiàn)得束手無策，究其原因是過程的缺失并沒有讓學(xué)生的思維能力和解決問題的能力獲得實(shí)質(zhì)性的提升. 為了改變這一現(xiàn)象，在日常教學(xué)中教師可以帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一些知識(shí)形成的過程，并在此過程中注重思想方法的滲透和提煉，讓學(xué)生在學(xué)懂學(xué)會(huì)的基礎(chǔ)上，可以靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)去解決問題[1].

案例1? 認(rèn)識(shí)“增根”

在實(shí)踐教學(xué)中，部分學(xué)生通常將增根與無解的概念混淆，為了讓學(xué)生更好地理解分式方程中的“增根”概念，教師完成概念教學(xué)后又帶領(lǐng)學(xué)生通過具體練習(xí)經(jīng)歷知識(shí)形成過程，以此幫助學(xué)生更好地理解和掌握概念.

師：通過以上分析，誰來說一說若使分式方程有增根需要滿足什么條件？

生1：既要保證變形后方程的根，又要使原方程中的分母為0.

師：若關(guān)于x的方程-=1有增根，則m=______. （問題給出后教師鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立求解）

生2：若該方程有增根，則方程中的分母為0，即（x+1）（x-1）=0，于是x=1和x=-1. 方程變形得6-m（x+1）=（x+1）（x-1），當(dāng)x=1時(shí)，6-2m=0，m=3，驗(yàn)證符合題意. 當(dāng)x=-1時(shí)，等號(hào)不成立，所以x=-1不是方程的增根.

師：很好，看來大家已經(jīng)熟練掌握了增根的成立條件，現(xiàn)在大家看一下這個(gè)問題. （教師用PPT給出問題1）

問題1：若關(guān)于x的方程-=1有增根，則a=______.

問題給出后，學(xué)生按照上述過程求解，很快得到了答案.

生3：若該方程有增根，則x=0或x=1. 方程變形得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)不成立;當(dāng)x=1時(shí)，1-a=0，所以a=1.

生4：這個(gè)題有問題，若a=1，則有-=1，即=0，方程無解，這是怎么回事呢？

師：很好，觀察得非常仔細(xì)，這確實(shí)是一個(gè)問題. 問題到底出在哪里呢？（生沉思）

師：仔細(xì)觀察分式，在什么情況下分式才有意義？

生5：當(dāng)x-1≠0，即x≠1時(shí)，分式才有意義.

師：那么分式何時(shí)才能約分呢？

生6：只有當(dāng)分式中分子和分母的公因式不等于0時(shí)才能約分.

師：很好，也就是說只有當(dāng)分式有意義時(shí)，分式才能約分.

師：我們來回顧一下求解過程，“當(dāng)x=1時(shí)，1-a=0，所以a=1”，也就是說a=1時(shí)，變形方程的根x=1，此時(shí)分式?jīng)]有意義，所以分式不能直接約分.

生7：那么該如何驗(yàn)證呢？代入原方程不能驗(yàn)證，難道代入變形方程進(jìn)行驗(yàn)證？

師：解分式方程時(shí)，對(duì)于含有未知數(shù)的因式若想做約分處理必須保證分子和分母的公因式不等于0，否則若盲目約分容易使方程失根. 驗(yàn)證時(shí)代入原方程或變形方程的結(jié)果是一樣的，但是代入變形方程一般會(huì)更簡(jiǎn)捷，因此本題可直接代入變形方程進(jìn)行驗(yàn)證. 當(dāng)a=1時(shí)，x（x-1）-3（x-1）=x（x-1），得x=1. 其滿足方程有增根的要素，即變形后的方程有根，根為x=1，且滿足原方程的分母為0. 所以當(dāng)a=1時(shí)，有增根x=1.

教學(xué)中，教師通過精心設(shè)計(jì)的練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解分式、分式方程、增根之間的聯(lián)系，通過親身經(jīng)歷切身體驗(yàn)回驗(yàn)的重要性，同時(shí)讓學(xué)生在參與的過程中積極思考與互動(dòng)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，有助于學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)和分析能力的提升.

師：大家思考一下，這個(gè)問題該如何求解呢？（教師用PPT給出問題2）

問題2：若關(guān)于x的方程-=1無解，則a=______.

師：將“增根”變?yōu)椤盁o解”，該如何求解呢？

生8：若想求解首先需要變形，若變形方程有根，而原方程的分母為0，產(chǎn)生增根，原方程無解，故當(dāng)a=1時(shí)，方程無解.

生9：當(dāng)a=-2時(shí)方程也無解.

師：具體說一說你的理由.

生9：方程變形并整理可得（a+2）x=3，若a=-2，則變形方程無解，所以原方程無解.

師：補(bǔ)充得非常好，大家思考一下，是不是分式方程無解都會(huì)存在這樣的兩種情況呢？（生沉默）

師：這個(gè)問題似乎有些難以解答，現(xiàn)在我們借助具體習(xí)題分析一下. （教師用PPT給出問題3）

問題3：若關(guān)于x的分式方程-2=無解，則m=______.

（問題給出后，教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，反應(yīng)快的學(xué)生很快就有了答案）

生10：方程變形并整理得x=m+10，此時(shí)只滿足上述的第一種情況，即當(dāng)x=5時(shí)，方程有增根，此時(shí)m=-5.

師：很好，結(jié)合以上過程請(qǐng)大家總結(jié)歸納一下求分式方程“無解”的解題過程.

在教師的指導(dǎo)和鼓勵(lì)下，學(xué)生通過互動(dòng)交流，總結(jié)歸納出了分式方程“無解”的具體解題過程. 這樣讓學(xué)生親歷“增根”與“無解”的形成過程，有利于學(xué)生更深刻地理解兩者的本質(zhì)聯(lián)系，可有效避免因理解不清而造成的錯(cuò)解，有利于提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

在實(shí)踐教學(xué)中，學(xué)生面對(duì)一些相似或相關(guān)的問題時(shí)，常常會(huì)因?yàn)槔斫獠粔蛏羁潭霈F(xiàn)“張冠李戴”，因此實(shí)踐教學(xué)中教師有必要精心挑選一些具有代表性的問題進(jìn)行引導(dǎo)和強(qiáng)化，從而借助實(shí)際操作讓學(xué)生更好地理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、內(nèi)化知識(shí).

在知識(shí)的發(fā)展過程中滲透

數(shù)學(xué)知識(shí)具有一定的邏輯性、關(guān)聯(lián)性和發(fā)展性，隨著學(xué)生認(rèn)知水平的不斷提升，學(xué)生解決問題的能力也得到了較大的發(fā)展和提升. 教學(xué)中教師要用發(fā)展的眼光看待學(xué)生，善于應(yīng)用一些啟發(fā)性的問題激發(fā)學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例2? 如圖1所示，在Rt△ABC和Rt△DEA中，∠BAC=∠D=90°，AB=AC，AD=DE，AB

（1）圖1中共有多少個(gè)三角形？分別是什么？

（2）圖1中共有幾對(duì)相似三角形？分別是什么？

教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)“相似三角形的性質(zhì)和判定”時(shí)，借助開放性問題引導(dǎo)學(xué)生通過直觀觀察和邏輯推理完成知識(shí)的回顧. 案例2較為簡(jiǎn)單，學(xué)生順利地找出了所有的三角形，并用相似三角形的判別方法進(jìn)行了證明. （教學(xué)過程略）

師：接下來，我們將問題“變一變”，大家有沒有信心求解呢？

生齊聲答：有.

師：很好. （教師繼續(xù)展示問題）

如圖2所示，△ABC和△DEF為兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊中點(diǎn)重合. 現(xiàn)將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)（如圖3所示），線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q.

（1）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上時(shí)，△BPE與△CEQ相似嗎？為什么？

（2）如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接PQ，圖中有幾個(gè)與△CEQ相似的三角形？分別是什么？

問題（1）較為簡(jiǎn)單，與上面問題基本類同，因此證明問題（1）讓學(xué)生獨(dú)立完成，對(duì)于個(gè)別有問題的學(xué)生教師進(jìn)行單獨(dú)指導(dǎo). 問題（2）難度略有提升，教師讓學(xué)生經(jīng)過討論、交流后再回答，通過合作交流大家很快也找到了解題方法.

生11：由△BPE∽△CEQ，可得=. 因?yàn)锽E=CE，所以=. 又∠FED=∠C=45°，根據(jù)相似三角形的判定定理可證△CEQ∽△EPQ.

師：你是受什么啟發(fā)的？

生12：主要是受問題（1）的啟發(fā)，△BPE易找，而△EPQ難找，但是有了前面問題的鋪墊，容易發(fā)現(xiàn)隱含條件“對(duì)應(yīng)邊成比例”，這樣根據(jù)已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就尋得了△EPQ.

師：說得很好，在一些綜合題，尤其是壓軸題中，前面的問題往往是后面的鋪墊，因此解題時(shí)要用發(fā)展的眼光去看待問題，善于應(yīng)用類比和轉(zhuǎn)化的思想去思考與解決問題，這樣往往會(huì)收到事半功倍的效果.

接下來，教師將題目進(jìn)行了改編，將“△ABC和△DEF為兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中∠BAC=∠EDF=90°”改編為“△ABC為等腰三角形，∠BAC=120°”，若△BPE與△CEQ相似，求∠DEF的度數(shù). 這樣通過靈活的變化易于激發(fā)學(xué)生思維活力，讓學(xué)生在逆向推理的過程中靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題.

解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題，但是解題不應(yīng)局限于“就題論題”，教師可以借助一些變式問題引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探究，從而借助“變”實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化、順應(yīng)和發(fā)展，助力學(xué)生解決問題能力的提升.

在知識(shí)的應(yīng)用過程中落實(shí)

因思維差異的存在，使得學(xué)生在解題時(shí)往往會(huì)呈現(xiàn)一種多樣性，在教學(xué)中教師不僅要鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)多角度、多維度思考問題，同時(shí)還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生嘗試應(yīng)用多種解法來解決問題，從而幫助學(xué)生找到解決問題的通法，提升思維的靈活性[2].

案例3? 函數(shù)y=-的圖象上有A（1，y），B（-1，y），C（-2，y）三點(diǎn)，則下列各式正確的是（? ?）

A. y

C. y

師：對(duì)于案例3你認(rèn)為應(yīng)該如何求解？

生13：這個(gè)很簡(jiǎn)單，將三點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入函數(shù)就可以得到答案，代入后分別求得y=-4，y=4，y=2，所以y

師：很好，運(yùn)用計(jì)算法，通過計(jì)算、比較、判斷，輕松地求得了答案. 還有其他方法嗎？

生14：還可以用觀察法，先畫出函數(shù)y=-的圖象，然后分別描出三點(diǎn)，這樣通過直觀觀察也能輕松得到答案.

師：很好！以上兩種方法都是常用的方法，而且生14的方法還體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的思想方法，借助“形”可以使問題更加直觀化、具體化.

師：大家思考一下，是否可以直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來比較三者之間的數(shù)量關(guān)系呢？

生15：可以. 由已知k=-4<0，所以y隨x的增大而增大，因?yàn)?2<-1<1，所以y

生16：這個(gè)結(jié)果指定是不對(duì)的. （生16補(bǔ)充道）

師：?jiǎn)栴}到底出現(xiàn)在哪里呢？

雖然大家知道生15的結(jié)果有問題，但是一時(shí)不知問題到底出現(xiàn)在哪里，課堂氣氛沉悶.

師：請(qǐng)各小組討論交流一下，為什么不對(duì)呢？（通過交流，大多學(xué)生找到了問題的癥結(jié)，紛紛舉手）

生17：我知道了，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)不是連續(xù)函數(shù)，若想利用增減趨勢(shì)來判斷大小只適用于同一個(gè)象限，而根據(jù)已知可以看出三點(diǎn)并非同一個(gè)象限內(nèi)的點(diǎn)，所以不能籠統(tǒng)地用反比例函數(shù)的增減性質(zhì)來比較函數(shù)值的大小.

師：很好，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓莞寮埳袭嫵龊瘮?shù)y=-. （教師看有部分學(xué)生還沒有認(rèn)清問題的本質(zhì)，于是讓學(xué)生通過“畫一畫”親身體驗(yàn)圖象的不連續(xù)性，從而為下面的探究掃清障礙）

師：若想利用函數(shù)的性質(zhì)判斷數(shù)量關(guān)系是否可行呢？

生18：可以. 根據(jù)已知，點(diǎn)A在第四象限，所以y<0;點(diǎn)B，C同為第二象限上的點(diǎn)，y隨x的增大而增大，而-2<-1，所以0

師：說得很好，條理清晰. 接下來請(qǐng)同學(xué)們看一下這個(gè)問題該如何比較三個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系呢.（教師用PPT展示題目）

變式1：已知點(diǎn)A（x，y），B（x，y），C（x，y）在反比例函數(shù)y=（k>0）的圖象上，且x>x>0>x，則y，y，y的大小關(guān)系是______.

為了深化對(duì)剛剛問題的理解，引導(dǎo)學(xué)生從特殊向一般轉(zhuǎn)化，教師對(duì)題目進(jìn)行了改編，進(jìn)而讓學(xué)生在鞏固知識(shí)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)問題的深化.

生19：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=中的k>0，所以函數(shù)的圖象位于第一、第三象限，y隨x的增大而減小. 又x>x>0>x，所以點(diǎn)A，B在第一象限，0

師：說得很好！現(xiàn)在我們?cè)僭黾右稽c(diǎn)難度，看看你們是否還會(huì).

變式2：知點(diǎn)A（x，y），B（x，y），C（x，y）在y=的圖象上，x

問題給出后，學(xué)生很快就給出了答案，這次教師點(diǎn)名基礎(chǔ)較弱的學(xué)生來回答變式2，從學(xué)生回答反饋上來看，大多數(shù)學(xué)生經(jīng)歷了以上變式練習(xí)已經(jīng)熟練地掌握了應(yīng)用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較數(shù)的大小的方法.

在以上教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用“多解”探究同一問題，同時(shí)在“問題鏈”的引導(dǎo)下讓學(xué)生自然地融入思考和討論問題的過程中，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 同時(shí)在探究過程中，借助“錯(cuò)解”讓學(xué)生進(jìn)行合作交流，并發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的癥結(jié)，幫助學(xué)生理解了連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)在具體應(yīng)用上的本質(zhì)區(qū)別. 另外，教師在問題的設(shè)計(jì)上遵循由易到難、逐層遞進(jìn)的變化規(guī)律，讓學(xué)生在特殊中認(rèn)識(shí)了問題的一般規(guī)律，有助于學(xué)生思維能力盤旋上升.

總之，教師在日常教學(xué)過程中應(yīng)關(guān)注過程教學(xué)，注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，善于應(yīng)用“多變”“多解”等教學(xué)手段來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，拓展學(xué)生的視野，讓思想與方法在知識(shí)的生成、發(fā)展和應(yīng)用過程中扎根、開花、結(jié)果.

參考文獻(xiàn)：

[1]盛盈丹，周孝輝. 踐行過程教育，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)——“探索確定位置的方法”教學(xué)實(shí)踐與反思[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（24）：1-3.

[2]趙齊猛. 在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中獲取有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（11）：58-60.